Элементар рационал бөлшектерді интегралдау

24 
 
4) 

dx
=



















k
k
q
px
x
dx
pM
N
dx
q
px
x
p
x
M
2
2
2
2
2
= 
 




k
k
J
pM
N
q
px
x
k
M












2
1
1
2
1
2
,  мұндағы  






k
k
q
px
x
dx
J
2
. 
 
Осы 
k
J
интегралын есептейік: 
 






k
k
q
px
x
dx
J
2
= 






























k
k
b
y
dy
p
q
p
x
dx
2
2
2
2
4
2
 




















.
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2



























































k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
b
y
k
b
y
J
k
b
J
k
b
y
y
k
J
b
b
y
k
d
y
b
J
b
dy
b
y
y
y
b
b
y
dy
b
dy
b
y
y
b
y
b
 
 
Соңғы алынған рекуррентті формула бойынша 
  интегралдарын әртүрлі 
k
    үшін  есептеуге  болады.  Ол  үшін  тек  алдын-ала  төмендегі  интегралды 
есептеп алса болғаны:
 





C
b
y
arctg
b
b
y
dy
J
1
2
2
1
 
Осылайша,  барлық  жоғарыдағы  төрт  түрлі  элементар  бөлшектер 
интегралданатыны  көрсетілді.  Сондықтан, 
рационал  функциялар  класы- 
интегралданатын функциялар класы болып табылады.
 
Рационал функцияларды интегралдау алгоритмі мынадай: 
 1)  алдымен  бүтін  бөлігі  бөліп  шығарылады;  2)  сонан  соң  алынған 
рационал бөлшек элементар рационал бөлшектерге жіктеледі; 3) алынған бүтін 
рационал функция мен элементар бөлшектер интегралданады. 
Мысалы.
 

 










 

1
1
2
1
1
1
1
1
1
3
2
2
2
2
2
2



















x
x
C
A
B
x
C
B
x
B
A
x
C
x
B
x
A
x
x
x
x
 
Анықталмаған  коэффициенттерге  қатысты  теңдеулер  жүйесін  құрып,  оны 
шешеміз (бірінші тәсіл бойынша): 













1
3
2
2
C
A
B
C
B
B
A
 
Осыдан,
1



C
B
A
. 
k
q
px
x
N
Mx
)
(
2



k
J

25 
 
Екінші тәсілді қолдануға да болады. 
X=0 | -1 = B-A-C 
X=1 | 4 = A+B+2B+C+B-A-C= 4B 
X=-1| -2 = A+B-2B-C+B-A-C= -2C. Отсюда C=1, B=1, A=1. 
Бұл жолы екінші жүйе ыңғайлырақ. 
Енді элементар бөлшектердің қосындысын интегралдаймыз. 

 












1
1
1
ln
1
ln
1
1
1
3
2
2
2
x
x
x
dx
x
x
x
x
 
 
Остроградский  әдісі.  Егеррационал  бөлшектің  бөлімінің  комплексті 
түйіндес  түбірлерінің  еселігі  үлкен  болса,  осы  әдісті  қолдану  ыңғайлы 
болады.Ол  үшін: 
 
   
)
,
(
1
x
Q
x
Q
EYOБ
x
Q


  есептелінеді. 
 
   
x
Q
x
Q
x
Q
2
1

.  Сосын 
интеграл мына түрде жазылады 
 
 
 
 
 
 




dx
x
Q
x
Y
x
Q
x
X
dx
x
Q
x
P
2
1
,  мұндағы 
 
x
X
  полиномының  дәрежесі 
 
x
Q
1
 
полиномының дәрежесінен бір бірлікке кем, ал 
 
x
Y
 дәрежесі 
 
x
Q
2
 дәрежесінен 
бір  бірлікке  кем.  Осы, 
 
x
X
, 
 
x
Y
  көпмүшеліктерінің  коэффициенттері  оң  жақ 
және  сол  жақ  бөліктерді  дифференциалдап,  айнымалының  бірдей  дәрежелері 
жанындағы коффициенттерді теңестіруден алынады.  
 
1.6 Тригонометриялық өрнектерді интегралдау 
 
1) 
Тригонометриялық 
функциялардан 
құралған 
рационал 
функцияларды интегралдау  
1. 


dx
x
x
R

cos
,
sin
,  мұндағы 
 

R
  –  өз  аргументтері  бойынша  рационал 
функция.  
Мұндай интегралдарды әрдайым төмендегі универсал тригонометриялық 
ауыстыру (1.3.3 пункттегі 13 формула) арқылы интегралдауға болады: 
dt
t
dx
t
x
t
t
t
t
x
x
x
t
t
t
t
x
x
x
x
tg
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
,
 
arctq
2
,
1
1
1
1
1
1
1
2
sin
2
cos
cos
,
1
2
1
1
1
1
1
2
2
cos
2
sin
2
sin
,
2





















 
 
 
2. 
.  
А)  Егер


x
x
R
cos
,
sin
  функциясы  sinx  бойынша  тақ  болса,  онда  t  =  cosx 
ауыстыруы жасалады. 


dx
x
x
R

cos
,
sin

26 
 
Б)  Егер
функциясы  cosx  бойынша  тақ  болса,  ондаt  =  sinx 
ауыстыруы жасалады. 
В)  Егер
функциясының  таңбасы  sinxнемесеcosx  таңбаларын 
өзгерткенде өзгермесе, онда t = tgx ауыстыруы жасалады. 
2
2
2
1
,
,
1
1
cos
,
1
sin
,
t
dt
dx
arctgt
x
t
x
t
t
x
tgx
t








 
Мысалы. 


x
dx
2
cos
3
1
. БұлВ) жағдайы. Келесі
tgx
t 
ауыстыруы арқылы 
бұл интеграл төмендегі интегралға келтіріліп былайша алынады: 













2
2
1
3
1
1
t
t
dt












C
tgx
arctg
C
t
arctg
t
dt
2
2
1
2
2
1
4
2
. 
 
3. Мына түрдегі интегралдар 
 



dx
nx
mx
dx
nx
mx
dx
nx
mx
cos
cos
,
sin
sin
,
cos
sin
 
 
тригонометриялық  функциялардың  көбейтінділерін  олардың  қосындысына 
төмендегі  формулалар  бойынша  түрлендіру  арқылы  синус  және  косинустар 
бойынша кестелік интегралдарға келтіріледі:  






















.
2
cos
1
2
1
cos
,
2
cos
1
2
1
sin
,
cos
cos
2
1
cos
cos
,
cos
cos
2
1
sin
sin
,
sin
sin
2
1
cos
sin
2
2
x
x
x
x
x
n
m
x
n
m
nx
mx
x
n
m
x
n
m
nx
mx
x
n
m
x
n
m
nx
mx
















Мысалы.









C
x
x
dx
x
x
dx
x
x
4
sin
4
1
2
sin
8
cos
2
cos
2
1
5
sin
3
sin
 
 
2.2 

dx
x
x
n
m
cos
sin
түріндегі интегралдары  
a) 
Егерmнемесеn  –  тақ  оң  сан  болса,  ондаsin  xнемесеcos 
xфункцияларының сәйкес біреуін дифференциал атаңбасының астына кіргізеді. 
Мысалы.











C
x
x
x
d
x
x
dx
x
x
5
3
2
2
2
3
cos
5
1
cos
3
1
cos
cos
cos
1
cos
sin
 
b) 
Егерm,  n  –  жұп  оң  сандар  болса,  онда  дәрежені  төмендету  (немес 
аргументті 
екі 
еселеу)формулаларын 
қолданады:
.
2
2
cos
1
sin
,
2
2
cos
1
cos
2
2
x
x
x
x




 
Мысалы:. 
C
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x









4
sin
32
1
8
1
2
4
cos
1
4
1
2
sin
4
1
cos
sin
2
2
2
 
c) 


dx
x
ctg
dx
x
tg
m
m
,
 интегралдары, мұндағы m – бүтін оң сан, мына 
формулаларды қолдану арқылы алынады:
1
cos
,
1
sec
2
2
2
2




x
ec
x
ctg
x
x
tg
.  
Мысалы:
















x
dx
x
dx
dx
x
dx
x
dx
x
ctg
2
4
2
2
4
sin
2
sin
1
1
sin
1
 


x
x
R
cos
,
sin


x
x
R
cos
,
sin

27 
 
= - 


C
x
ctgx
x
ctg
ctgx
x
ctgx
dctgx
x
ctg










2
3
1
2
1
3
2
 
d) 
Жалпы 
жағдайда 
интегралдары 
негізгі 
тригонометриялық  тепе-теңдікті  қолдану  арқылы  рекуррентті  формулалар 
арқылы интегралданады. 
Мысалы:











x
xdx
x
x
dx
dx
x
x
x
x
dx
3
3
2
2
3
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
sin
 








x
v
dx
x
du
dx
x
x
dv
x
u
2
3
sin
1
2
1
sin
sin
cos
cos
 
= 
C
x
x
x
tg
C
x
dx
x
x
x
tg













2
2
sin
cos
2
ln
2
1
sin
2
1
sin
2
cos
2
ln
. 
 
1.7 Иррационал функцияларды интегралдау. 
 
Иррационал  функциялардың  түгел  класын  интегралдаудың  белгілі  ортақ 
әдістері жоқ.  
Иррационал  функцияларды  интегралдау  кезіндегі  жалпы  ұстаным  – 
оларды рационал өрнекке түрлендіруге ыңғайлы ауыстырым жасау, яғни жаңа 
айнымалы  енгізгеннен  кейін  иррационал  функция  рационал  функцияға 
айналуы  қажет.  Ал  рационал  функцияның  кез-келгенін  интегралдауға 
болатынын алдыңғы тақырыптардан білеміз. 
1. 



























dx
d
cx
b
ax
d
cx
b
ax
x
R
q
p
n
m
,
,
,  мұндағы  R(  )  –  аргументтері  бойынша 
иррационал функция. Функцияны рационалдау үшін жасалатын ауыстырым 
d
cx
b
ax
z
n



,  мұндағы


q
n
НОК
n
,

. 
Мысалы. 







dt
t
t
dx
x
x
3
7
3
1
6
1
1
1
теңдігінің 
сол 
жағы 
рационал 
функцияның интегралы, ол 
1
,
1
6
6




x
t
x
t
ауыстырымы арқылы теңдіктің сол 
жағынан алынады. 
2. 
 



c
bx
ax
x
P
n
2
. 
Бұл 
интегралды
 



c
bx
ax
dx
x
P
n
2
= 
 







c
bx
ax
dx
c
bx
ax
x
Q
n
2
2
1

түріне  келтіріп,    ал  содан  кейін  n-1ретті 
полиномның  коэффициенттері  мен  тұрақтыларды  теңдіктің  екі  жағын  да 
дифференциалдап,  бөлшектерді  ортақ  бөлімге  келтіріп,  айнымалының  бірдей 
дәрежелерінің жанындағы коэффициенттерді теңестіру арқылы анықтайды. 

dx
x
x
n
m
cos
sin

28 
 
Мысалы. 













1
1
1
2
2
2
2
x
x
dx
x
x
B
Ax
x
x
dx
x

 . 
Екі жағын дифференциалдаймыз 


1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2



















x
x
x
x
x
B
Ax
x
x
A
x
x
x

.  
Ортақ бөлімге келтіреміз 


















2
1
1
2
2
x
B
Ax
x
x
A
x
. 
Бірдей 
дәрежелердің 
жанындағы 
коэффициенттерді  теңестіріп,аламыз:
8
1
,
4
3
,
2
1





B
A
.  Енді,  теңдіктің  оң 
жағындағы  түбірдің  астынан  толық  квадрат  бөліп  шығару  арқылы 
интегралдап, 
келесі 
жауап 
аламыз:

























C
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
1
2
1
ln
8
1
1
4
3
2
1
2
2
2
2
 

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: