Алданов е. С. «Бір айнымалыдан функцияның интегралдық есептеулері»

33 
 
ҚАЙТАЛАУҒА АРНАЛҒАН СҰРАҚТАР 
 
Студентке кеңес:
Кез-келген дұрысқойылғансұраққа 
жауап беруге болады. Егер сен сұраққажауапбереалмасаң, 
онда сұрақдұрысқойылмаған.
 
 
1. 
Алғашқы функция ұғымы. 
2. 
Алғашқы функциялар туралы теорема. 
3. 
Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері. 
4. 
Анықталмаған интегралдар кестесі. 
5. 
Анықталмаған интегралды есептеу әдістері: 
1)Дифференциал астына енгізу; 
2)Анықталмаған интегралда айнымалыны ауыстыру; 
3) Анықталмаған интегралды бөліктеп интегралдау. 
6. 
Бөлшек рационал функцияны қарапайым бөлшектерге жіктеу. 
7. 
Қарапайым бөлшектерді интегралдау. 
8. 
Рационал функцияларды интегралдау. 
9. 
Тигонометриялық функциялармен берілген өрнектерді интегралдау. 
10. 
Иррационал өрнектерді интегралдау. 
. 
ӨЗ БЕТІНШЕ ШЫҒАРУҒА АРНАЛҒАН ЕСЕПТЕР
 
Ғ
ылым-сардар, ал практика -сарбаздар 
 
Интегралдарды есептеңдер: 
1. 


dx
x
x




1
1
ln
1
. 
 
 
 
2. 

dx
arctgx
x
2
. 
3. 
dx
x
x
x



2
3
1
. 
 
 
 
 
4. 



dx
x
x
x
x
x






3
2
3
2
1
9
13
6
. 
5. 
dx
x
x
x
x





8
8
4
5
3
2
3
4
.   
 
6. 



1
2
x
x
x
dx
. 
7. 
dx
x
x

6
2
sin
cos
. 
 
 
 
 
8. 
dx
x
x

 cos
4
sin
3
. 
9. 
dx
x
x
4
2
cos
sin

. 
 
 
 
10. 
dx
x
x
3
2
sin
cos

. 
11. 




5
8
4
3
1
x
x
dx
. 
 
 
 
12. 






dx
e
e
e
e
x
x
x
x
2
2
2
. 
13. 


2
1
sin
x
dx
x
.   
 
 
 
14. 



dx
x
x
x
x
3
cos
sin
cos
sin
. 

34 
 
15. 

x
sh
dx
.   
 
 
 
 
16. 





2
3
2
3
x
x
dx
.( 
17
dx
x
x
x



2
1
arctg
4
. 
 
 
 
18. 





dx
e
x
x
3
3
4
. 
19. 



dx
x
x
x




1
3
1
12
7
.   
 
 
20. 

 

dx
x
x
x




5
3
1
3
2
. 
21. 




dx
x
x
x
x
x






1
13
4
9
5
4
2
2
.  
 
22. 



2
2
x
x
x
dx
. 
23. 
dx
x
x

5
3
cos
sin
.   
 
 
 
24. 
dx
x
x

3
cos
cos
2
. 
25. 
dx
x
x


sin
cos
2
.  
 
 
 
26. 

x
x
dx
4
2
cos
sin
. 
27. 


3
1 x
x
dx
.   
 
 
 
28. 


dx
x
x
3
2
1
. 
29. 

dx
x
x
2
ln
. 
 
 
 
 
30. 
dx
x
x

1
2
2
. 
31. 


dx
x
x
1
2
. 
 
 
 
 
32. 


dx
e
e
x
x
1
2
. 
33. 
dx
x
x
x



sin
2
cos
2
. 
 
 
 
34. 




dx
x
x
2
cos
2
4
. 
35. 
dx
x
x
x
x





3
4
10
5
2
2
.   
 
 
36. 


dx
x
x
x




3
2
2
9
5
. 
37. 


dx
x
x
x
x




2
2
2
3
4
3
7
.   
 
 
38. 




2
2
1
2
x
x
dx
. 
39. 


dx
x


3
sin
2
1
.   
 
 
40. 
dx
x
tg

3
. 
41. 




x
x
dx
cos
1
sin
2
.   
 
 
42. 

x
x
dx
cos
sin
5
. 
43. 


4
4
1 x
dx
. 
 
 
 
 
44. 

dx
x
x
3
2
sin
cos
. 
45. 



dx
x
x
2
1
1
.   
 
 
 
46. 



5
,
2
2
x
x
dx
. 

35 
 
47. 
dx
x
x
x


cos
sin
1
2
cos
.   
 
 
48. 

dx
x
arctg
. 
49. 
dx
x
x
tg
x



2
4
1
2
arg
8
.   
 
 
50. 




dx
e
x
x
3
2
5
. 
51. 



dx
x
x
x
x




3
4
72
2
.  
 
 
52. 

 

dx
x
x
x
x
x





2
1
1
6
7
3
2
2
3
. 
53. 




dx
x
x
x
x





3
9
6
7
2
2
.  
 
 
54. 



2
2
2
1
x
x
dx
x
. 
55. 
dx
x
x
x

3
sin
cos
.   
 
 
 
56. 


dx
x
2
2
cos
3
1


. 
57. 


dx
x
x
cos
2
cos
.  
 
 
 
58. 

dx
x
x
9
sin
2
sin
. 
59. 
dx
x
x


3
2
6
5
.  
 
 
60. 




dx
bx
a
m
3
2
. 
61. 

x
x
dx
ln
.  
 
 
 
62. 


dx
x
x
8
3
1
. 
63. 





2
2
1
x
x
dx
. 
 
 
 
64. 

x
dx
4
cos
. 
65. 


dx
x
x



2
2
1
1
sin
arg
.  
 
 
66. 

 dx
x
tg
1
4
arg
. 
67. 
dx
x
x



1
1
3
2
3
.   
 
 
 
68. 


dx
x
x
x
x




2
2
3
5
25
10
. 
69. 



dx
x
x
x
x
x
x






9
2
2
17
3
4
2
2
2
3
.  
 
70. 



1
1
2
x
dx
. 
71. 


dx
x
x
x


2
sin
cos
sin
2
. 
 
 
 
72. 
dx
x
x

4
2
sin
cos
. 
73. 




dx
x
x
3
cos
1
cos
. 
 
 
 
74. 

dx
x
x
x
7
sin
5
sin
4
sin
. 
75. 
dx
x
x


3
2
3
3
7
. 
 
 
 
76. 



dx
x
x
16
1
3
2
. 

36 
 
77. 



2
9
6
8
x
x
dx
. 
 
 
 
78. 


dx
x
x
x



2
2
9
1
3
arccos
. 
79. 


dx
x
x
x




3
2
2
1
1
. 
 
 
 
80. 


dx
x
x



2
2
1
1
. 
 
2 АНЫҚТАЛҒАН ИНТЕГРАЛ 
 
Бір адамды екінші адамнан жоғарырақ 
қ
ылыпкөрсететіннәрсе-олбілім 
2.1 
Анықталған интеграл ұғымына әкелетін есептер  
 
Мына төмендегі бірсыпыра есептерді шешу анықталған интеграл ұғымына 
алып  келеді,  олар:  геометрияда  –жазықтықтағы  фигураның  ауданы,  қисық 
доғасының  ұзындығы,    денелердің  көлемі  т.б.;  физика  мен  механикада  –күш 
жұмысын  есептеу,  біртексіз  материялық  нүктелер  жүйесінің  массасы,  жазық 
пластиналар  мен  доғалардың  ауырлық  центрі  және  т.б.  Осыаталған  есептерді 
шешу жолдарын қарастырайық. 
 
2.1.1  Қисық сызықты трапецияның ауданы 
Аны
қ
тама.
Қисықсызықты трапецея (қ.с.т.)деп координаталық Оху 
жазықтығында 
a
x   және 
b
x 
   екі вертикаль түзулерімен 


b
a 
, Ох осінің 


b
a ,
 кесіндісімен және осы кесіндіде үзіліссіз, оң мәнді қайсібір 


)
0
)
(
,
,
(
 
)
(



x
f
b
a
x
x
f
y
 функциясының графигінің берілген кесіндіге 
тиісті бөлігімен шектелген фигураны атаймыз.  
1 суретте көрсетілген осындай фигураның 
S
ауданын есептеуге арналған 
келесі есепті қарастырайық. Бұл үшін: 
I) 
берілген


b
a ,
кесіндісінеркін  түрде,  кесіндінің  басынан  ұшына 
қарай  біртіндеп  келесі  тәртіппен  орналасқан,  жалпы  саны 
1

n
болатын 
нүктелермен бөлшектейік: 
b
x
x
x
a
x
n


,...,
,
,
2
1
0
; Осындағы әрбір қатар тұрған 
екі нүкте  n дербес кесінділерді анықтайды: 




n
i
x
x
i
i
,
1
 ,
,
1


 
II) 
бастапқы 


b
a ,
кесіндісін 
1

n
 
нүктелермен 
бөлшектеудің 
нәтижесінде алынатын дербес кесінділердің ұзындығын 


n
i
x
x
x
i
i
i
,
1
1





деп  белгілеп  алып,  осындай  әрбір  кесіндіден  бір 


i
i
i
i
x
P
x
P


1
еркін 

37 
 
нүктеден алып, осы нүктелердегі берілген функцияның
 


n
i
P
f
i
,
1

 мәндерін 
есептейік; 
III) 
енді  табандары 
i
x

және  биіктіктері
  

n
i
P
f
i
,...,
2
,
1

мәніне  тең 
тіктөртбұрыштарды  қарастырып,  олардың  аудандарын  есептейік:
 
i
i
x
P
f




n
i
,...,
2
,
1

.  Осы  аудандардың  барлығын  қоссақ,  келесі  қосынды  аламыз
 
i
n
i
i
x
P
f
S



1
~
.  Алынған  S
~
  қосындының  мәні  жуық  шамамен  бастапқы 
берілген қ.с.т. 
S
 ауданына тең:
 




n
i
i
i
x
P
f
S
1
.  
ЕСКЕРТУ
:  Айта  кететін  бір  жайт, 
i
x



n
i
,...,
2
,
1

  кесінділері  неғұрлым 
ұсақ болған сайын, жуықтаудың мәні жақсара түседі. Неліктен? 
 
1 сурет 
IV) 
ескертудегі  жайтты  есепке  ала  отырып,  келесі


i
i
x



max
белгілеу 
енгізейік,  яғни  дербес  кесінділердің  ұзындықтарының  ең  үлкені 

 
болсын.Қ.с.т. 
S
ауданыныңдәл  мәнін  өрнектеу  үшін  алынған  S
~
  қосындыдан 
0


 шекке көшу қажет, яғни 
 
i
n
i
i
x
P
f
S






1
0
lim
. 
x
 
2
1
P
x
y
 
)
(x
f
y 
 
1
0
P
a
x 
 
2
x
b
x
P
x
n
n
n

1

38 
 
2.1.2  Сызықты біртексіз өзек (стержень) массасы 
Ұзындығы 
a
b 
  (


b
a,
  кесіндісі)  болатын,  көлденең  қимасы  тұрақты  өзек 
қарастырайық.  Егер  өзек  біртекті  болса,  яғни  кесіндінің  әрбір 
2
1
P
x
  нүктесіндегі 
оның  тығыздығы  (ұзындық  бірлігінің  массасы)  тұрақты  және 

-ға  тең  болса,  
онда өзектің массасы 
M
келесі формуламен есептелінеді  


a
b
M




 . 
Енді өзек біртексіз, яғни әрбір  x  нүктесіндегі тығыздығы айнымалы және 
ол 
)
(x
f
  функциясының  осы  нүктедегі  мәнімен  анықталатын  болсын.  Осы 
біртексіз өзектің 
M
массасын табайық. Бұл үшін:  
I) 


b
a,
кесіндісін 
b
x
x
x
a
n





...
1
0
 
нүктелерімен 
n дербес 
кесінділерге бөлеміз; 
II) 
Ұзындығы 


n
i
x
x
x
i
i
i
,
1
1





  болатын  алынған  әрбір 


i
i
x
x ,
1

дербес  кесіндіден  еркімізше  бір 


n
i
x
x
P
i
i
i
,
1
,
,
1



нүктелерін  таңдап  аламыз 
да,  осындай  әрбір 
i
P
нүктесіндегі 
 


n
i
P
f
i
,
1

тығыздықты  есептейміз.  Әрбір 


i
i
x
x ,
1



n
i
,...,
2
,
1

кесіндісіндегі  тығыздық  тұрақты  және 
 
i
P
f
-ге  тең 
болады  деп  есептейік.  Сонда  әрбір  дербес


i
i
x
x ,
1

  кесіндісінің  массасы 
шамамен  
 
i
i
x
P
f


 мәніне тең болады. 
III) 
Келесі  қосынды  құрастырамыз
 
i
n
i
i
x
P
f


1
.  Бұл  қосынды  жуық 
шамамен біртексіз өзектің 
M
массасына тең; 
IV) 

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: