Алданов е. С. «Бір айнымалыдан функцияның интегралдық есептеулері»

29 
 
а)
, 
рационалдаушы 
тригонометриялық 
ауыстырым
; 
Мысалы: 
 
в) 
,   
ауыстырымдары арқылы; 
Мысалы: 
 
 
с) 
, 
ауыстырымдарымен. 
Мысалы: 
 
 
 
Екінші тобы Эйлер ауыстырымдарын(1707-1783) қолдану: 
 
1) Егер
  болса,  онда
интегралы
 
ауыстырымы арқылы рационалданады; 
2) Егер 
және 
, 
онда 
интегралы
ауыстырымы арқылы рационалданады; 
3) Егер
,  ал  квадрат  түбір  астындағы  өрнек 
нақты 
көбейткіштерге 
жіктелсе, 
онда
интегралы
ауыстырымы арқылы рационалданады; 




dz
z
m
z
R
2
2
,
tht
m
z
t
m
z


,
sin
.
2
arcsin
2
cos
sin
2
2
2
sin
4
2
)
2
cos
1
(
2
cos
cos
sin
cos
;
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
C
x
a
x
a
x
a
C
t
t
a
t
a
C
t
a
t
a
dt
t
a
dt
t
a
tdt
a
t
a
a
tdt
a
dx
t
a
x
dx
x
a


































dz
z
m
z
R
2
2
,
t
sh
m
z
t
tg
m
z


,
.
3
)
(
1
sin
sin
1
sin
3
1
sin
sin
)
sin
1
(
1
sin
cos
cos
cos
;
cos
;
cos
;
4
2
2
3
4
2
/
3
2
2
2
2
2
2
2
4
3
4
4
2
4
4
4
3
4
4
2
2
2
2
2
2
4
C
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
x
a
a
t
C
t
a
t
a
t
t
d
t
a
t
a
tdt
ta
tg
ta
tdt
a
t
a
x
a
dt
t
a
dx
atgt
x
x
a
x
dx



























































dz
m
z
z
R
2
2
,
t
ch
m
z
t
m
z


,
cos
























tdt
ctg
t
tg
t
tdt
t
tgt
x
dt
t
t
dx
t
x
x
x
dx
4
5
5
2
2
2
2
/
5
2
32
1
2
2
cos
cos
sin
2
;
2
4
;
cos
sin
2
;
cos
2
)
4
(















tdt
ctg
ctgt
td
ctg
dt
t
t
ctg
2
2
2
2
32
1
)
(
32
1
1
sin
1
32
1
.
2
arccos
32
1
4
16
1
)
4
(
12
1
4
2
32
32
1
96
1
1
sin
1
32
1
96
1
2
2
/
3
2
2
3
2
3
C
x
x
x
x
ctgt
C
t
ctgt
t
ctg
dt
t
t
ctg
































0

a



dx
c
bx
ax
x
R
)
,
(
2
a
x
t
c
bx
ax




2
0

a
0

c



dx
c
bx
ax
x
R
)
,
(
2
c
tx
c
bx
ax




2
0

a



2
1
x
x
x
x
a





dx
c
bx
ax
x
R
)
,
(
2
)
(
1
2
x
x
t
c
bx
ax





30 
 
 
Ескеретіні, Эйлер ауыстырымдары практикалық  қолданысқа икемсіздеу, 
себебі  аса  күрделі  емес  интеграл  астындағы  функцияның  өзінде  де,  бұл 
ауыстырымдар  орасан  көп  есептеулерге  алып  келеді.  Осыдан  олардың 
теориялық маңызы басымырақ деген ой туындайды. 
Үшіншісі, анықталмаған коэффициенттер әдісі: 
Төмендегі үш түрлі интегралдарды қарастырайық: 
 
мұндағы    –  көпмүшелік, 
  –  натурал  сан.  Бұлардың  соңғы  екеуі  біріншісіне 
оңай келтірілетінін байқауға болады. 
 
Ары қарай келесі түрлендіру жасалады: 
 
 
бұлөрнектегі 
-  дәрежесі 
-тан  төмен  қандайда  бір  көпмүшелік,  ал    - 
қайсібір тұрақты шама. 
 
  көпмүшелігінің  анықталмаған  коэффициенттерін  табу  үшін, 
жоғарыдағы 
өрнектің 
екі 
жағын 
да 
дифференциалдап, 
 
өрнегінекөбейтеді,  содан  кейін  теңдіктің  екі  жағындағы 
тің  бірдей 
дәрежелерінің жанындағы коэффициенттерді салыстыру арқылы,  мәнін және 
 көпмүшелігің коэффициенттерін анықтайды. 
 
Бұл  әдіс 
  көпмүшелігінің  дәрежесі  бірден  үлкен  болған  кезде 
тиімдірек.  Басқаша  болса,  жоғарырақта  қарастырылған  рационал  бөлшектерді 
интегралдаудың    тәсілдерін  тиімді  қолдануға  болады.  Өйткені  сызықты 
функция түбір астындағы өрнектің туындысы болады. 
 
 
Мысалдар. 
 
1. 















5
2
5
2
)
(
5
2
1
7
3
2
2
2
2
2
3
x
x
dx
x
x
C
Bx
Ax
dx
x
x
x
x
. 
Енді  алынған  өрнекті  дифференциалдап, 
өрнегіне  көбейтеміз  және 
тің бірдей дәрежелерінің жанындағы коэффициенттерді топтастырамыз. 
 
=
 
=
 
 











;
)
(
.
;
)
(
.
;
)
(
.
2
2
2
c
bx
ax
x
dx
III
dx
c
bx
ax
x
P
II
c
bx
ax
dx
x
P
I
n
n
;
)
(
)
(
2
2
2











c
bx
ax
dx
c
bx
ax
x
Q
c
bx
ax
dx
x
P
)
(x
Q
)
(x
P
)
(x
Q
c
bx
ax


2

x
)
(x
Q
)
(x
P
c
bx
ax


2

x
5
2
)
1
(
5
2
5
2
)
2
(
5
2
1
7
3
2
2
2
2
2
2
3


















x
x
x
x
x
C
Bx
Ax
x
x
B
Ax
x
x
x
x









)
1
)(
(
)
5
2
)(
2
(
2
2
x
C
Bx
Ax
x
x
B
Ax
1
7
3
2
3

 x
x













C
Bx
Ax
Cx
Bx
Ax
B
Bx
Bx
Ax
Ax
Ax
2
2
3
2
2
3
5
2
10
4
2
1
7
3
2
3

 x
x
1
7
3
5
)
3
10
(
)
2
5
(
3
2
3
2
3












x
x
C
B
x
C
B
A
x
B
A
Ax

31 
 
 
 
Сонымен  
= 
=
 
 
2.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.   
 
 
 
 
 
 
 
Осы мысалды шығарудың екінші тәсілі: 
 
































7
13
1
1
1
5
0
3
10
7
2
5
1
C
B
A
C
B
C
B
A
B
A
A














4
)
1
(
7
5
2
)
13
(
5
2
1
7
3
2
2
2
2
2
3
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
.
)
5
2
1
ln(
7
5
2
)
13
(
2
2
2
C
x
x
x
x
x
x
x



























3
3
)
(
3
)
3
)(
6
4
(
3
)
6
4
(
2
2
2
3
2
2
2
2
2
x
dx
x
D
Cx
Bx
Ax
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
3
3
)
(
3
)
2
3
(
3
18
12
6
4
2
2
2
3
2
2
2
2
3
4
















x
x
x
D
Cx
Bx
Ax
x
C
Bx
Ax
x
x
x
x
x













Dx
Cx
Bx
Ax
x
C
Bx
Ax
x
x
x
x
2
3
4
2
2
2
3
4
)
3
)(
2
3
(
18
12
6
4















Dx
Cx
Bx
Ax
C
Bx
Ax
Cx
Bx
Ax
x
x
x
x
2
3
4
2
2
3
4
2
3
4
3
6
9
2
3
18
12
6
4












C
x
D
B
x
A
C
Bx
Ax
x
x
x
x
3
)
6
(
)
9
2
(
3
4
18
12
6
4
2
3
4
2
3
4
;
2
/
9
;
6
;
2
/
3
;
2
;
1









D
C
B
A
.
3
ln
2
9
3
6
2
3
2
3
)
6
4
(
2
2
2
3
2
2
C
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x





















































2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
1
1
)
(
1
1
1
;
1
1
v
dv
v
B
Av
v
dv
v
v
v
dv
v
v
dv
dx
v
x
x
x
dx
2
2
2
2
2
1
1
)
(
1
1
v
v
v
B
Av
v
A
v
v

















Bv
Av
Av
A
v
2
2
2







A
Bv
Av
v
2
2
2
;
2
/
1
;
0
;
2
/
1





B
A
C
x
x
x
v
v
v
v
dv
v


















1
arcsin
1
2
1
arcsin
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2

32 
 
 
 
Егерarcsinжәнеarcos  функцияларының  арасындағы   
 
қатынасын  және  интегралдау  тұрақтысыС  –  кез-келген  сан  екенін  ескеретін 
болсақ,  онда  әртүрлі  әдіспен  алынған  жауаптардың  екеуі  де  интеграл 
астындағы  функцияның  алғашқы  функциясы  екенін  көруге  болады  (өзіміз 
тексеріп көрейік). 
 
Көріп  отырғанымыздай,  иррационал  функцияларды  интегралдауға  осы 
көрсетілген  әртүрлі  тәсілдерді  қолдану  мүмкін  болады.  Әдісті  таңдаудың  алғы 
шартына  негізінен  оның  тиімділігі,  қолданудың  айқындылығы,  сонымен  қатар 
есептеулер мен түрлендірулердің күрделілігі жатады. 
Мысал. 
 
 
 
 
 
1.8«Алынбайтын» интегралдарұғымы 
 
Бұл –интегралдау нәтижесі элементар функциялармен жазылмайтын, яғни 
элементар  функциялармен  есептеу  мүмкін  емес  интегралдар.  Мұндай 
интегралдар  үшін  арнайы  белгілеулер  енгізу  қабылданған.  Бұлай  болу  себебі, 
элементар функциялардан алынатын интегралдар класы элементар функциялар 
класына  қарағанда  үлкен  (интегралдау  –  дербес  жағдайдан  жалпыға  өту– 
жалпылау, ал дифференциалдау – бұл жалпыдан дербеске өту – нақтылау). 
Мысалдар.








dx
x
x
Cix
dx
x
x
Six
dx
x
e
Eix
x
dx
Lix
x
cos
,
sin
,
,
ln
және 
көптеген  басқа  интегралдар.  Осындай  интегралдар  үшін  арнайы  кестелер 
құрылады, оларды әртүрлі оқулықтар мен әдебиеттерден кездестіруге болады. 
«Алынбайтын»  интегралдарды  берілген  аралықта  жуықтап  есептеуге 
болады. 

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: