Өзектің  M массасының  дәл  мәнін  анықтау  үшін

39 
 
болса,  онда  тұрақты  күштің 
A
жұмысы  мына  формуламен  есептелінеді: 


a
b
f
A



 
Айнымалы
)
(x
f
күшінің


b
a,
 кесіндісіндегі 
A
жұмысын есептеп көрейік: 
 
2- сурет. 
Ол үшін: 
I) 


b
a,
кесіндісін  осы  кесіндіге  тиісті  кездейсоқ  нүктелермен, 
бірақбелгілі 
бір 
ретпен, 
бір 
бағытта 
тізбектей 
орналасқан, 
b
x
x
x
a
x
n


,...,
,
,
2
1
0
  бөліктейміз.  Бұл  бөліктеуді 
)
(x
f
  айнымалы  жұмыстың 
мәні 


n
i
x
x
x
i
i
i
,
1
1





  жол  кесіндісінде  тұрақты  дерлік  болатындай 
жеткілікті  түрде  ұсақ  етіп  жүргіземіз.  Ол  мән 
 
i
P
f
, 
,
i
i
x
P


1




i
i
i
x
x
x
n
i
,...
2
,
1

  (

i
P
сәйкес  дербес  кесіндіден  кездейсоқ  жолмен  таңдап  алынған 
нүкте). 
i
x

  жол  бөлігіндегі  күш  жұмысының 
 
i
P
f
шамасы  мына  формуламен 
есептелінеді: 
 
i
i
i
x
P
f
A




; 
II) 
)
(x
f
күшінің  жолдың  барлық  бөлігінде  жасаған 
x
жұмысы 
жуық шамамен келесі формуламен анықталады: 
 
i
n
i
i
n
i
i
x
P
f
A
A








1
1
; 
III) 
Жұмыстың  дәл  мәнін  табу  үшін 
0


      (


i
i
x



max
  шекке 
көшеміз. Сонда 
 
i
n
i
i
x
P
f
A






1
0
lim
. 
2.2 
Интегралдық қосынды. Анықталған интеграл. 
Жоғарыда  қарастырған  (1.1  қараңыз)  есептерді  олардың  геометриялық, 
физикалық  мағыналарынан  ажыратып  қарасақ,  таза  шығару  жолына  көз 
жүгіртсек, есептердің бәрінде олардың бірдей екенін байқаймыз. 
)
(x
f
a
 
x
 
b
 
x
 

40 
 


b
a,
кесіндісінде үзіліссіз
)
(x
f
y 
функциясы берілсін: 
I) 
Берілген 


b
a,
кесіндісін 
n дербес 
кесінділерге 
b
x
x
x
a
n





...
1
0
нүктелерімен бөлеміз; 
II) 
әрбірдербес 


n
i
x
x
x
i
i
i
,
1
1





 
кесіндіде 
еркін
n
i
x
P
i
i
,
1
,



нүктелерін  алып,  сол  нүктелердегі  функцияның 
 


n
i
P
f
i
,
1

 
мәндерін  есептейміз.    Сонан  соң,  келесі 
 
n
i
x
P
f
i
i
,
1
,


көбейтінділерін 
құрастырамыз; 
III) 
алынған барлық көбейтінділерден қосынды құрастырамыз: 
 
i
n
i
i
x
P
f


1
; 
IV) 
алынған қосындының шегін табамыз: 
 
i
n
i
i
x
P
f





1
0
lim
    (


i
i
x



max
). 
Аны
қ
тама.
Келесі 
 
i
n
i
i
x
P
f


1
 
түріндегі 
қосынды
)
(x
f
y 
функциясының 


b
a
x
,

  кесіндісіндегі 

n
шіинтегралдық  қосындысы  деп 
аталады.    
Аны
қ
тама.
)
(x
f
y 
, 


b
a
x
,

  функциясының 
 
i
n
i
i
x
P
f


1
түріндегі 

n
шіинтегралдық  қосындысының
0


  (


i
i
x



max
)  шегі  осы 
)
(x
f
y 
функциясының  a -дан 
b
-ға  дейінгі  аралықтағы  анықталған  интегралы  деп 
аталады да, былай белгіленеді: 
 

b
a
dx
x
f
), яғни, 
 
dx
x
f
x
P
f
b
a
i
n
i
i






)
(
lim
1
0

. 
 
мұндағы  
a  - интегралдаудың төменгі шегі,  
b
 - интегралдаудың жоғарғы шегі,  

41 
 
 

dx
x
f
 интеграл астындағы өрнек,  
 

x
f
 интеграл астындағы функция. 
Жоғарыда қарастырылған есептерден, келесі тұжырымдар жасауға болады: 
Анықталған  интегралдың  геометриялық  мағынасы 
–  қисық  сызықты 
трапецияның ауданы. 
Анықталған 
интегралдың 
физикалық 
мағынасы. 
Анықталған 
интегралдың  физикалық  мағынасы  бар  көптеген  есептерге  қолданылатынын 
байқауға  болады,  дербес  жағдайда:  өзектің  массасы,  берілген  жол 
аралығындағы күш жұмысы, т.с.с.  
Интегралданудың  қажетті  шарты: 
Егер 
)
(x
f
y 
  функциясы   


b
a,
 
кесіндісінде интегралданса, онда ол осы кесіндіде шектеулі. 
Интегралданудың  жеткілікті  шарты: 
Егер 
)
(x
f
y 
функциясы 


b
a,
 
кесіндісінде үзіліссіз болса, онда ол бұл кесіндіде интегралданады. 
Төменде интегралды анықтама бойынша есептеудің мысалын келтірейік. 
Мысалы. Келесі 
1
2
0
x dx

 интегралын есептеу керек. 
Шешуі.Интегралдық  қосынды  құрайық.  Ол  үшін  бастапқы  кесіндіні 
бөліктеуден пайда болған барлық дербес 


1
,
i
i
x
x

 кесінділерінің ұзындығы өзара 
тең –
1
i
x
n


 болсын деп есептейік, мұндағы 
n
 дербес кесінділердің саны, және 
әрбір 


1
,
i
i
x
x

  кесіндісі  үшін 
i
P
  нүктелері  осы  кесіндінің  оң  жақ  ұшына  сәйкес 
келетін  болсын  (дербес  кесінділерден 
1
2
,
,...
n
P P
P
  нүктелерін  бұлайша  таңдап  алу 
2
y
x

функциясы 
берілген 
кесіндіде 
интегралданатын 
болғандықтан 
интегралдық қосындының шегінің мәніне әсер етпейді). Сонда  
2
2
3
1
1
1
1
1
( )
.
n
n
n
i
i
i
i
i
i
f P
x
i
n
n
n















 
Алғашқы  натурал  сандардың  квадраттарының  қосындысының  белгілі 
формуласы бойынша  
2
1
(
1)(2
1)
.
.
6
n
i
n n
n
i





 

42 
 
Соңғы теңдіктен 
n  
 шекке көшсек, сонда: 
1
2
0
(
1)(2
1)
1
1
1
1
lim
lim 1
2
.
6
6
3
n
n
n n
n
x dx
n
n





 







 


 


 
Бұл  мысалдағы  интегралдың  анықтама  бойынша  есептелуі  интегралдық 
қосынды  шек  алуға  ыңғайлы  түрде  болғандықтан  жүзеге  асырылды.  Алайда 
мұндай  мүмкіндік  барлық  жағдайларда  бола  бермейді,  сондықтан  нақты 
функциялар  жағдайында  интегралды  анықтама  бойынша  есептеу  өте  күрделі 
болып  шықты.    Интегралдарды  есептеудің  тиімді  әдісі  анықталған  және 
анықталмаған  интегралдардың  арасындағы  байланыстар  ашылғаннан  кейін 
алынды  (төмендегі  2.4  п.  және  қосымшалардағы  Ньютон,  Лейбниц 
өмірбаяндарын оқыңыз). 
2.3 Анықталған интегралдың қасиеттері 
Анықталған  интегралдың  қасиеттері  қосынды  мен  шектердің  негізгі 
қасиеттерінен шығады. 
1. 
Интегралдау жоғары және төменгі шектері тең болса, яғни
b
a 
, 
онда интегралдың мәні нөлге тең болады: 
0
)
(


a
a
dx
x
f
. 
2. 
Тұрақты  көбейткішті  анықталған  интеграл  таңбасының  алдына 
шығаруға болады:
,
)
(
)
(



b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
f
k
const

k
 
3. 
Егер  анықталған  интегралда  интегралдау  шектерінің  орнын 
ауыстырсақ,онда интегралдың таңбасы қарама-қарсы таңбаға ауысады: 




a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
 
 
4. 


b
a,
кесіндісінде 
интегралданатын 
екі 
)
(
1
x
f
 
және 
)
(
2
x
f
 
функцияларының  алгебралық  қосындысының  анықталған  интегралы,  осы 

43 
 
функциялардың  әрқайсының  анықталған  интегралдарының  алгебралық 
қосындысына тең болады, яғни 


dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
b
a
b
a
b
a






)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
. 
Бұл  қасиет  кез-келген  саны  ақырлы  интегралданатын  функциялар  үшін 
орындалады. 
5. 
Егер 


b
a,
интегралдау кесіндісі    с  нүктесі арқылы екі – 


c
a,
 және 


b
c,
 кесінділеріне бөлінген болса, онда тұтас кесінді бойынша интеграл, оның 
бөліктері бойынша алынған интегралдардың қосындысына тең болады:  





b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
. 
c  нүктесі 


b
a,
 кесіндісінің сыртында жатуы да мүмкін. 
6. 
Орта мән туралы теорема 
Егер 
)
(x
f
y 
функциясы 


b
a,
  кесіндісінде  үзіліссіз  болса,  онда  осы 
кесіндіде жататын бір


b
a
c
,

 нүктесі табылады да, келесі теңдік орындалады:  


a
b
c
f
dx
x
f
b
a




)
(
)
(
. 
Осы  теңдіктің  геометриялық  мағынасы  төмендегіде:  теңдіктің  сол 
жағындағы интеграл  қ.с.т. ауданын береді. Теңдіктің оң жағындағы көбейтінді 
–биіктігі 
)
(c
f
және  табанының  ұзындығы 


a
b 
сол  қ.с.т.-ға    тең  шамалы 
төртбұрыш (3 суретті қараңыз). 
 
3 сурет. 
x
 
y
 
)
(c
f
)
(x
f
y 
 
b
c
a
 

44 
 



b
a
dx
x
f
a
b
c
f
)
(
1
)
(
  саны 
)
(x
f
функциясының 


b
a,
кесіндісіндегі  орта 
мәні деп аталады. 
7. 
Жоғарғы  шегі  айнымалы  анықталған  интегралдың  жоғарғы 
шегі бойынша туындысы. 
Жоғарғы шегі айнымалы анықталған интегралдың жоғарғы шегі бойынша 
туындысы  –интеграл  астындағы  функцияның  сол  жоғарғы  шектегі  мәніне  тең 
болады: 
)
(
)
(
x
f
dt
t
f
x
x
a











. 
2.4 Анықталған интегралды есептеу.Ньютон-Лейбниц формуласы 
Анықталған  интегралды  оның  анықтамасы  бойынша  есептеу  практикада 
интегралдық  қосынды  құру,  шекке  көшу  т.с.с  байланысты  көптеген 
қолайсыздыққа  әкеледі  Интегралдық  есептеулердің  негізгі  формулаы  деп 
аталатын  келесі  формула,  интеграл  астындағы  функцияның  алғашқы  бейнесі 
белгілі  болған  жағдайда  анықталған  интегралдарды  есептеудің  практикада 
ыңғайлы әдісін береді.  
Теорема.
Егер 

)
(x
F


b
a,
кесіндісінде үзіліссіз  
)
(x
f
функциясының бір 
алғашқы бейнесі болса, онда келесі формула дұрыс болады: 
)
(
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a




 
Дәлелдеу
.
 Дәлелдеу үшін 1.3. пункттегі 7 қасиетті қолданамыз. Жоғарғы 
шегі айнымалы 
 

x
a
dt
t
f
интегралын  
 
x
F
деп белгілеп аламыз, яғни   
 
 


x
a
dt
t
f
x
F
. 

45 
 
Сонда 
7 
қасиет 
бойынша 
(п.1.3)былай 
жазуға 
болады:
 


 
 
x
f
dt
t
f
x
F
x
x
a













. 
Осыдан  келіп, 
 
x
F
  функциясы 
 

x
a
dt
t
f
  интегралының  алғашқы  бейнесі 
болатыны шығады. Барлық алғашқы бейнелер өзара тұрақтымен ажыратылатын 
болғандықтан, келесі теңдік орындалады:  
 
 
C
x
F
dt
t
f
x
a



,  
b
x
a


, 
мұндағы 
C
 - қайсібір тұрақты сан. Осы соңғы теңдікке 
a
x  мәнін қойсақ,  
 
 




C
a
F
dt
t
f
a
a
 



C
a
F
0
 
a
F
C


, 
яғни, кез-келген 


b
a
x
,

 үшін мынаны аламыз: 
 
 
 
a
F
x
F
dt
t
f
x
a



. 
Енді 
b
x 
деп алсақ, 
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a



 
өрнегін аламыз. 
Немесе 
 
 
 
b
a
x
F
a
F
b
F


 
деп белгілеп алсақ,  
 
 
 
 
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a




. 
Теорема дәлелденді. 
Осы  алынған  формула  Ньютон-Лейбниц  формуласы  деп  аталады  да, 
интегралдық есептеулердің негізгі формуласы деп атау қабылданған. 

46 
 
Ескерту
.
Ньютон-Лейбниц 
формуласынан, 
анықталған 
интегралды 
есептеу  үшін  интеграл  астындағы 
)
(x
f
  функциясының 
)
(x
F
  алғашқы 
бейнесін тауып, 
)
(
)
(
a
F
b
F

айырмасын есептеу қажеттігі шығады. Сондықтан, 
айналып келгенде барлығы анықталмаған интегралды есептеуге келіп тіреледі.  
Мысалдар. 1)

8
1
3
x
dx
 интегралын есептеңдер. 
Шешуі:  
5
,
4
2
3
4
2
3
1
2
3
8
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
8
1
3
2
8
1
1
3
1
8
1
3
1
8
1
3


























x
x
dx
x
x
dx
. 
2)


2
1
1
2x
dx
 интегралын есептеңдер. 
Шешуі:  Қайсібір  функцияны  дифференциал  астына  енгізу  әдісін 
қолданып, мынаны аламыз:  
.
3
ln
2
1
1
ln
2
1
3
ln
2
1
1
2
ln
2
1
1
2
)
1
2
(
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1














x
x
x
d
x
dx
x
dx
 

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: