Атты студенттердің IV жоо аралық дәстүрлі ғылыми конференциясының ЕҢбектері

435 

 

2.

 

[2].Van den Dries L. Remarks on Tarski's problem concerning (R,+,*,exp) // Logic Colloquim '82 

/ ed. G. Lolli, G. Longo, and A. Marcja. — Amsterdam: North-Holland, 1984. — P. 97–121. 

     3.    [3]Pillay A., Steinhorn Ch. Definable sets in ordered structures.1 // Trans. Amer. Math. Soc. — 

1986. — Vol. 295. — P. 565–592. 

     4.    [4]Macpherson D., Marker D., Steinhorn Ch. Weakly o-minimal structures and real closed fields 

// Transactions of The American Mathematical Society. — 2000. — Vol. 352. — P. 5435–5483. 

   5.  Baizhanov  B.  Definability  of  1-types  in  weakly  o-minimal  theories  //  Siberian  Advances  in 

Mathematics. — 2006. — V. 16. №2. — P. 1–33. 

 

УДК 003-009 

MATHEMATICAL MODELING OF PENDULUM DYNAMICS USING NUMERICAL 

METHODS  

Karibayev Almat, Kumarbek Alma, Almatakyzy Uldan, Yelshibayev Magzhan 

Scientific adviser : M.Sc. Senior Lecturer Baimenshina Gulnaz 

Introduction 

Ordinary  di

fferential  equations  tend  to  arise  whenever  you  need  to  model  changing  quantities  that 

depend on the amount of other quantities around it. For example, in chemistry, the time rate of change 

of concentration (ddt) of a chemical solution often depends on the concetrations of other chemicals that 

surround  it.  In  biology,  di

fferential  equations  are  often  used  in  population  dynamics,  to  model  the 

evolution and/or extinction of a particular species (like people, animals, bacteria, or even viruses like 

HIV)  (eg,  Volterra  Equations).  In  finance,  the  stock  market  is  often  modeled  via  sets  of  coupled 

di

fferential equations (e.g., Black-Scholes equation). In physics, dfq’s are everywhere – we’ve seen them 

in  Cosmology  (e.g.,  Friedmann’s  Equations,  non-linear  structure  growth  and  perturbation  theory), 

Classical  Dynamics  (e.g.,  the  orbits  of  planets,  stars,  and  galaxies  as  specialized  N-body  problems, 

hydrodynamics), and Radiative Transfer. Most di

fferential equations are too complicated to write down 

a solution by hand (an ”analytical solution”), so one has to revert to numerics to find any kind of solution 

at all! 

Here, We focus on Ordinary Di

fferential Equations (where the functions we solve for depend on just 

one variable, like time), and how a few simple commands in Matlab allows us to get numerical solutions 

to  even  the  most  complicated  looking  equations.  As  an  example  We  will  consider  the  pendulum 

dynamics equations. 

Model  

In this example I use a variety of approaches in order to solve the following, very simple,  equation of 

motion. It is based on Equation 3.9, with k and α =1.   

 

??????

2

??????

????????????

2

= −?????? 

The first step is to take the second order ODE equation and split it into 2 first order ODE equations. 

436 

 

These are     

      

????????????

????????????

= ??????             

????????????

????????????

= −?????? 

 

Methods 

We take 4 numerical methods  approaches to solving the equation, illustrating the use of the Euler, 

Euler Cromer, forth order Runge-Kutta [1] and finally the built in MATLAB® solver ODE23.   

 

There are many variants of the Runge-Kutta method, but the most widely used one is the following. 

Given: 

??????

′

= ??????(??????, ??????) 

??????(??????

??????

) = ??????

??????

 

We compute in turn 

??????

1

= ℎ??????(??????

??????

, ??????

??????

) 

??????

2

= ℎ??????(??????

??????

+

ℎ

2

,

??????

??????

+

??????

1

2

) 

??????

3

= ℎ??????(??????

??????

+

ℎ

2

,

??????

??????

+

??????

2

2

) 

??????

4

= ℎ??????(??????

??????

+ ℎ,

??????

??????

+ ??????

3

) 

??????

??????+1

= ??????

??????

+

1

6

(??????

1

+ 2??????

2

+ 2??????

3

+ ??????

4

) 

Euler calculation of motion of simple pendulum 

 

437 

 

Here we have figure, which shows function of the numerical solution of the equations of motion for a 

simple pendulum using the Euler [2]method. In the code, we have pendulum length in metres which is 

equal to 1, that shows oscillation, acceleration due to gravity is equal to 9,8, in the next step we need to 

discretize time into 250 intervals and give time step in seconds, then we define omega, theta, time and 

we have some initial displacement. Now that we have defined the initial values, we can determine each 

next step and show it. Note that  the oscillations grow with time and  as we can see the Euler method 

shows a lack of conservation of energy. 

 

Euler_cromer calculation of motion of simple pendulum7 

 

 

Here we have the same initial conditions. The difference is we use next step for determine theta. Note 

that the oscillations NOT grow with time and as we can see the Euler-Cromer[1] method doesn’t show 

a lack of conservation of energy. 

 

 

Second order Runge Kutta method 

 

438 

 

 

Conclusion  

As  we  can  see  the  Euler  method  shows  a  lack  of  conservation  of  energy  while  the  Runge-Kutta  [1] 

method 

is 

nicely 

conserved.   

     The  period  of  the  oscillation  versus  the  initial  starting  position  of  the  pendulum  looks  roughly 

parabolic.  There seems to be a value which minimizes the period of the pendulum with the parameters 

given in this assignment. 

It was also concluded that while using the Euler rule to obtain the equations of motion was acceptable 

for the simple pendulum, that this was not the case for the damped pendulum, for which the Runge-

Kutta method was far more accurate. Finally, the period doubling and chaotic behavior that occurs as 

the amplitude of the driving force of a damped driven pendulum is  increased, was  observed through 

phase  portraits.  For  this  kind  of  problem,  the  Runge-Kutta  method  is  the  more  suitable.  It  has  been 

confirmed. It depends on the conditions of stability that we impose but we can say that this method is 

efficient for most cases of pendulums 

References:  

1)

 

Chapra, Steven C. Applied numerical methods with MATLAB for engeneers and scientist 

3

rd

.ed – 2012 ISBN 978-0-07-340110-2 

2)

 

Attaway, Stormy. Matlabw: a practical introduction to programming and problem solving. 2

nd

 

ed.2011 ISBN 978-0-12-38381 

 

УДК: 003-009 

 

SIMULATION OF LORENZ MODEL BY USING NUMERICAL METHODS IN MATLAB 

Les Miras, Izdauov Nurzhan 

Suleyman Demirel University 

 

Introduction 

One day, Lorenz tried to recreate an interesting weather pattern, one he had seen previously, by re-

entering  the  values  the  computer  had  previously  calculated  and  reported.  However,  when  he  ran  the 

program  again,  his  results  were different  from  the initial  run.  Lorenz suspected a bug;  blown diode? 

burned-out vacuum tube? power surge? cosmic rays? After checking the two plots, however, he realized 

his "error"; on his previous computer printout, the one he had used to enter the initial conditions into the 

439 

 

computer for the second trial run, the figures were printed with three significant digits. In the program, 

all values were calculated to six significant digits. Lorenz had assumed that the difference, only one part 

in a thousand, would be inconsequential; however, due to the recursive nature of the equations, little 

errors would first cause tiny errors, which would then affect the resulting next calculation a bit more, 

which would affect the output of the next run even more. The final result of a long string of recursive 

calculations would lead to a weather pattern totally different from the expected values. 

The term "sensitive dependence on initial conditions" was coined to describe the phenomenon that 

small changes in a recursive system can drastically change the results of running that system. A term 

Lorenz coined to  describe sensitive dependence on initial  conditions  is the "butterfly effect." This is 

another  thought  experiment  which  is  hardly  testable:  imagine  that  there  exist  two  earths,  so  that  an 

incorporeal observer could compare events on one earth to another. Now imagine that both earths are 

identical except for one fact; in one, a butterfly flaps its wings somewhere in South America, and in the 

other, this butterfly remains still. One might think that such a small discrepancy between the two earths 

would be inconsequential; after all, nobody was there, nobody could even notice the butterfly's wings 

flapping, and air currents would be affected only minorly by such a miniscule event. 

His description of the 

butterfly effect

 followed in 1969. He was awarded the 

Kyoto Prize

 for basic 

sciences, in the field of earth and planetary sciences, in 1991, the 

Buys Ballot Award

 in 2004, and the 

Tomassoni Award in 2008. In his later  years, he lived in 

Cambridge, Massachusetts

. He was  an avid 

outdoorsman, who enjoyed hiking, climbing, and cross-country skiing. He kept up with these pursuits 

until very late in his life, and managed to continue most of his regular activities until only a few weeks 

before his death. According to his daughter, Cheryl Lorenz, Lorenz had "finished a paper a week ago 

with a colleague." On April 16, 2008, Lorenz died at his home in Cambridge at the age of 90, having 

suffered from cancer. 

 

Model 

Edward Lorenz's first weather model exhibited chaotic behavior, but it involved a set of 12 

nonlinear differential equations. Lorenz decided to look for complex behavior in an even simpler set of 

equations, and was led to the phenomenon of rolling fluid convection. The physical model is simple: 

place a gas in a solid rectangular box with a heat source on the bottom. 

Lorenz simplified a few fluid dynamics equations (called the Navier-Stokes equations) and ended 

up with a set of three nonlinear equations [1]: 

dx/dt = P(y - x) 

dy/dt = Rx - y - xz 

dz/dt = xy - By 

 

where P is the Prandtl number representing the ratio of the fluid viscosity to its thermal 

conductivity, R represents the difference in temperature between the top and bottom of the system, 

and B is the ratio of the width to height of the box used to hold the system. The values Lorenz used 

are P = 10, R = 28, B = 8/3. 

440 

 

On the surface these three equations seem simple to solve. However, they represent an extremely 

complicated dynamical system. If one plots the results in three dimensions the following figure, called 

the Lorenz attractor, is obtained. 

 

Projections of this attractor in the y-z and x-z two-dimensional planes are as follows: 

          Projection on the y-z plane  

 

 

      Projection on the x-z plane 

 

        

                                                    

 

 

The Lorenz attractor is an example of a strange attractor. Strange attractors are unique from other 

phase-space attractors in that one does not know exactly where on the attractor the system will be. Two 

points on the attractor that are near each other at one time will be arbitrarily far apart at later times. The 

only restriction is that the state of system remain on the attractor. Strange attractors are also unique in 

that  they  never  close  on  themselves  —  the  motion  of  the  system  never  repeats  (non-periodic).  The 

motion we are describing on these strange attractors is what we mean by chaotic behavior. 

The Lorenz attractor was the first strange attractor, but there are many systems of equations that 

give rise to chaotic dynamics. Examples of other strange attractors include the Rössler and Hénon 

attractors. 

The Lorenz equations also arise in simplified models for 

lasers

, 

dynamos

, 

thermosyphons

, brushless 

DC motors

,

 

electric circuits

, 

chemical reactions

 

and 

forward 

osmosis

.

 

From a technical standpoint, the Lorenz system is 

nonlinear

, three-dimensional  

and 

deterministic

. The Lorenz equations have been the subject of at least one book-length study. 

 

Method 

In 

numerical analysis

, the Runge–Kutta methods [2] are an important family of implicit and 

explicit iterative methods, which are used in 

temporal discretization

 for the approximation of solutions 

of 

ordinary differential equations

. These techniques were developed around 1900 by the German 

mathematicians 

C. Runge

 and 

M. W. Kutta

. 

441 

 

In 

mathematics

 and 

computational science

, the Euler method [2] is a SN-order 

numerical

 

procedure for solving 

ordinary differential equations

 (ODEs) with a given 

initial value

. It is the most 

basic 

explicit method

 for 

numerical integration of ordinary differential equations

 and is the simplest 

Runge–Kutta method

. The Euler method is named after 

Leonhard Euler

, who treated it in his book 

Institutionum calculi integralis

.  

 

Discussion and Results 

Here is the code of how we solved this Lorenz Equations using Matlab. We will see, that there is 

no difference between solving Lorenz Equations using Runge-Kutta or Euler’s method. Firstly, let us 

see our Matlab code, where we solved Lorenz Equation by Runge-Kutta Method.  

 

% Matlab code: Lorenz_RungeKutta 

 

% To solve the chaotic Lorenz

 

equations using 4th order

 

Runge-Kutta

 

 

close 

all

; clear 

all

; clc 

%Clears the command window

 

 

 

% Set Lorenz

 

parameters

 

a=10.0; b=8.0/3.0; c=28.0; 

  

% Set initial condition, step length and number of steps

 

y1(1)=0;  y2(1)=1.000; y3(1)=0.0;  

h=0.01;   

xM=40.0; 

h2=h/2; 

  

% Advance solution

 

t(1)=0; 

x=t(1); 

  

i=1; 

while

 x

   i=i+1; 

 

% Step from t(i-1) to t(i) using 

 

% the provisional points yt1,yt2,yt3 inbetween

 

 

% 1. Compute f(t,y)

 

    y1m = y1(i-1); 

    y2m = y2(i-1); 

    y3m = y3(i-1); 

   

    f01 = a*(y2m-y1m); 

    f02 = c*y1m - y2m - y1m*y3m; 

    f03 = -b*y3m + y1m*y2m; 

     

% 2. Set provisional values yt1

 

    yt11 = y1(i-1) + h2*f01; 

    yt12 = y2(i-1) + h2*f02; 

    yt13 = y3(i-1) + h2*f03; 

     

% 3. Compute phase speed ft1 at provisional points

 

    ft11 = a*(yt12-yt11); 

    ft12 = c*yt11 - yt12 - yt11*yt13; 

    ft13 = -b*yt13 + yt11*yt12; 

442 

 

     

% 4. Set provisional values yt

 

    yt21 = y1(i-1) + h2*ft11; 

    yt22 = y2(i-1) + h2*ft12; 

    yt23 = y3(i-1) + h2*ft13; 

  

% 5. Compute phase speed ft2 at provisional point

 

    ft21 = a*(yt22-yt21); 

    ft22 = c*yt21 - yt22 - yt21*yt23; 

    ft23 = -b*yt23 + yt21*yt22; 

     

% 6. Set provisional values yt3

 

    yt31 = y1(i-1) + h*ft21; 

    yt32 = y2(i-1) + h*ft22; 

    yt33 = y3(i-1) + h*ft23; 

     

% 7. Compute phase speed ft3 at provisional points

 

    ft31 = a*(yt32-yt31); 

    ft32 = c*yt31 - yt32 - yt31*yt33; 

    ft33 = -b*yt33 + yt31*yt32; 

     

% 8. Compute final phase speeds ff

 

    ff1 = (1/6)*( f01 + 2*ft11 + 2*ft21 + ft31 ); 

    ff2 = (1/6)*( f02 + 2*ft12 + 2*ft22 + ft32 ); 

    ff3 = (1/6)*( f03 + 2*ft13 + 2*ft23 + ft33 ); 

     

% 9. Set new solution values

 

    y1(i) = y1(i-1) + h*ff1; 

    y2(i) = y2(i-1) + h*ff2; 

    y3(i) = y3(i-1) + h*ff3; 

  

% Update independent variable

 

    t(i) = t(i-1) + h; 

    x = t(i-1);  

end

 

 

% Plot results

 

plot(t,y1,

'r--'

); 

plot(t,y1,

'k'

); 

hold 

on

; 

plot(t,y2,

'r:'

); 

plot(t,y3,

'b:'

); 

xlabel(

't'

,

'fontsize'

,20); 

ylabel(

'x(t)'

,

'fontsize'

,20); 

print 

-deps

 

lot1.eps

 

figure 

plot3(y1,y2,y3); 

xlabel(

'x'

); ylabel(

'y'

); zlabel(

'z'

)  

print 

-deps

 

lot2.eps  

 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

 

% Matlab code: Lorenz_Euler

 

 

%%% Euler calculation of Lorenz equations

 

clear; clc; 

a=10; 

b=8/3; 

r=25; 

443 

 

sigma=10; 

npoints =500000; 

%Discretize time

 

dt = 0.0001; 

% time step in seconds

 

x = zeros(npoints,1); 

%init x, a vector of dimension npoints X 1,to being all zeros

 

y = zeros(npoints,1); 

%init y, a vector of dimension npoints X 1,to being all zeros

 

z = zeros(npoints,1); 

%init z, a vector of dimension npoints X 1,to being all zeros

 

time = zeros(npoints,1); 

% this initializes the vector time to being all zeros

 

x(1)=1; 

for

 step = 1:npoints-1 

% loop over the timesteps and solve the difference equations

 

x(step+1)=x(step)+sigma*(y(step)-x(step))*dt; 

y(step+1)=y(step)+(-x(step)*z(step)+r*x(step)-y(step))*dt; 

z(step+1)=z(step)+(x(step)*y(step)-b*z(step))*dt; 

% Update time array

 

time(step+1) = time(step) + dt; 

end

; 

subplot (2,1,1); 

plot(time,z,

'b'

 ); 

xlabel(

'time'

); 

ylabel(

'z'

); 

subplot (2,1,2); 

plot (x,z,

'g'

 ); 

xlabel(

'x'

); 

ylabel(

'z'

) 

   

 

Our Results: 

Runge Kutta Method 

    

 

 

Euler Method 

444 

 

 

From this obtained results, we see that Lorenz Equation can be solved by both Runge-Kutta and 

Euler’s Methods. And results are almost same, with some differences accuring while solved. 

SUMMARY AND CONCLUSIONS 

While the Lorenz system is historically important and useful as a paradigm of chaos in continuous-

time  dissipative  systems,  it  is  by  no  means  the  simplest  such  example.  Its  double-lobe  structure  and 

chaotic behavior can be replicated in a number of other elegant systems containing fewer terms, fewer 

parameters, and a single nonlinearity. Lorenz would certainly have applauded these extensions of his 

seminal work, but he rightly deserves the credit for opening the door to such explorations and heralding 

the implications of chaos to the predictability of dynamical systems. 

A model of the Lorenz attractor has been constructed using the Runge-Kutta method to solve the 

Lorenz equations,  a set  of three coupled ordinary  differential  equations  that  describe chaotic flow in 

atmospheric or hydrodynamic systems. The modelling proved to be successful and the Lorenz equation 

parameters were varied to ascertain their effect on the behavior of the system. It was found that small 

changes to these parameters could have huge effects on the dynamics of the system, either making it 

more chaotic, or taming it such that the flow rate of the system tends to zero.  

In the  cases  where the flow rate tended to  zero, the parameters  gave rise  to  an unstable system 

where the dynamics could not be maintain for an extended period of time. Conversely, in the situations 

where the flow became more chaotic, the system remained stable and the orbits of the attractor surface 

were  more  pronounced.  In  respect  to  the  numerical  method  employed,  the  Runge-Kutta  method 

performed well and produced an accurate, stable model in which to observe the Lorenz attractor. 

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