3. Бірсарындытізбектер 4-мысал. сандық тізбегі өспелі болатынын дәлелдеу керек.
Шешуі. . орындалатындықтан және
.
Ендеше, , яғни тізбек өспелі.
5-мысал. сандық тізбегінің ең үлкен элементін табыңыз.
Бірсарынды тізбектің анықтамасын қолданып, қатынасты қарастырамыз.
, .
Осыдан тізбектің мүшелері үшін болғанда қатынасы орындалады. Олай болса, үшінші мүшеден бастап тізбек кемімелі. Ендеше мүшелерін салыстырамыз:
. Үшеуінің ең үлкені .
Ендеше берілген тізбектің ең үлкен элементі .
4. Шенеулі тізбектер 6-мысал. сандық тізбегі шенеулі болатынын дәлелдеу керек.
Шешуі. орындалады,
сондықтан . Ал бұл тізбектің шенеулі екендігін көрсетеді.
5. Бірсарынды және шенеулі тізбектердің жинақтылығы 7-мысал. рекуррентті қатынасымен анықталатын тізбегінің шегі
болатынын дәлелдеу керек.
Шешуі. Барлық үшін теңсіздігі дұрыс екенін дәлелдеу керек. , үшін бұл теңсіздік дәлелденді деп есептейік. Онда
орындалады.
болғандықтан математикалық индукция принципі бойынша теңсіздігі барлық үшін дәлелденді. Осыдан және орындалатындықтан шенеулі.
теңсіздігінен
тізбегі өспелі болатыны шығады. Осыдан, теорема бойынша берілген тізбек шекке ие болады.
6. Тізбектерге арифметикалық амалдар қолдануға қатысты шектердің қасиеттері 8-мысал . . шекті табу керек.
Шешуі. Шектердің қасиетін қолданып келесіні аламыз:
