Дәлелдеуі.-тің ɑ -ға ұмтылғандағы ƒ функциясының A-ға тең шегі бар болуы кез келген санына сәйкес саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігінің орындалуымен пара-пар болады.
Енді деп алайық. Соңғы теңсіздікті, айырым модулінің қасиетін пайдалана отырып, былай жазайық:
. Бұдан теңсіздігін қанағаттандыратын барлық -тер үшін теңсіздігі орындалатыны шығады. Осыған ұқсас теорема жағдайында шегі бар болатын ƒ функциясы үшін де дұрыс болады. ƒ функциясының шенделгендігін ақырсыз қашықтықтағы нүкте маңайында орналасқан барлық үшін де (яғни, барлық , немесе үшін) дәлелдеуге болады. Мұның дәлелдемесі жоғарыда келтірілген теореманың дәлелдемесін сөзбе-сөз дерлік қайталайды. Сон ымен, -тің а -ға ұмтылғанда (немесе жағдайда) ƒ функциясының арқылы шегі бар болса, онда ол функция ɑ нүктесінің қандай болса да бір маңайында шенделген болуы қажетті.
Теорема. ,функциясы анықталған болсын. нақты саны осы жиынның шектік нүктесі болсын.
, ақырлы шектері бар болатын болсын. Егер де мүшелері үшін теңсіздігі орындалатын болса, онда теңсіздігі орындалады.
Шектерге амалдар қолдану Теорема. , , функциялары жиынында анықталсын. нақты саны осы жиынның шектік нүктесі болсын. мүшелері үшін теңсіздітері орындалсын. Егер де
шегі бар болатын болса, онда
.
Теорема. , функциясы анықталған болсын. нақты саны осы жиынның шектік нүктесі болсын. , ақырлы шектері бар болатын болса, онда
егер болса, онда
орындалады.
Бұл теорема тізбек шектері үшін дәлелденген сәйкес теореманы пайдалана отырып дәлелденеді.
