«Басымдылық» мәселесі: Пифагор немесе Парменид? А. Сабо өзінің «Грек математикасының принциптері»

Зенон ұсынған 45 апорияның 9-ы бізге жеткен. Классикалық болып Зенон жиыны және қозғалыс ұғымдарын талдаған бес апория болып табылады. Біріншісі «өлшем апориясы» деп аталады. Симпликий былай деп тұжырымдайды: «Заттың шамасы болмаса, оның жоқ екенінің дәлелі». Зенон былай деп қосты: «Егер нәрсе бар болса, оның белгілі бір өлшемі, белгілі бір қалыңдығы болуы керек және ондағы нәрсенің арасында өзара айырмашылық белгілі бір қашықтық болуы керек». Бұл заттың дихотомиялық бөліністе кішігірім алдында тұрған бөлігі туралы да дәл осылай айтуға болады. Демек, бұл алғашқысының да кейбір шамасы және оның алғашқысы болуы керек. Бір рет айтылған сөз әрқашан қайталануы мүмкін. Осылайша, бір-бірінен әртүрлі бөліктер болмайтын шектен тыс шек ешқашан болмайды. Сонымен, егер көптік болса, заттардың бір мезгілде үлкен және кіші болуы және шамасы болмайтындай кішкентай және соншалықты үлкен болуы керек.

Зенонның дәлелі, ең алдымен, денелер «сандардан тұрады» деген пифагорлық түсінікке қарсы бағытталған. Шынында да, егер санды мәні жоқ нүкте ретінде қарастырсақ (қалыңдығы, ұзындығы). Сонда мұндай нүктелердің (дененің) қосындысы да мәнге ие болмайды, бірақ егер санды «тәндік» белгілі бір шекті мәнге ие деп ойласақ, онда денеде мұндай нүктелердің шексіз саны бар болғандықтан (дене үшін) , Зенонның болжамы бойынша, «шексіз» бөлуге болады, ол шексіз шамаға ие болуы керек. Бұдан шығатыны, денені бөлінбейтін бірліктердің қосындысы ретінде қарастыру мүмкін емес, мұны біз Пифагоршылардан көргенбіз

Зенонның ойын жалғастыра отырып, бәлкім айта аламыз: егер бірлік бөлінбейтін болса, онда оның кеңістіктік мәні (нүктесі) болмайды; егер оның мәні аз болса да, ол шексіздікке бөлінеді. Элеатика ғылымға алдымен сұрақ қойды, ол бүгінгі күнге дейін ең маңызды әдіснамалық сұрақтардың бірі болып табылады: континуумды қалай дискретті немесе үздіксіз деп қарастыру керек? Енді оның бірліктерден тұратындығы тұрғысынан түсіну керек ( Пифагоршылардың арифметикалық саны сияқты), бөлінбейтін «тұтас» немесе өзі бір бүтін болып табылады және оның құрамдас элементтерінің дербес тіршілігі болмайды. Бұл сұрақ санға қатысты да, кеңістіктік мөлшерге де (сызық, жазықтық, көлем) және уақытқа қатысты. Континуум мәселесін шешуге байланысты табиғат пен адамды зерттеудің әртүрлі әдістері қалыптасады, яғни әртүрлі ғылыми жұмыстар жасалды. Осы уақытқа дейін біз Зенонның «жиынтық» ұғымының сәйкессіздігін ашатын бір ғана апориясын қарастырдық. Енді қозғалыс туралы ойлау мүмкіндігі талқыланатын апорияларға көшейік. Оның негізінде не жатқанын көреміз. Аристотель бұл мәселені нақты-шексіз континуумды толығымен жою арқылы шешеді. Нақты шексіздік негізінде қалған мәселені шешу әрекетін Г.Кантор қолға алды: С.А. Богомолов жиынтық теориясы тұрғысынан Зенонның парадокстарын шешуге болатынын көрсетуге тырысты.

Үшінші апорияда, Жебеде, Зенон ұшатын жебенің тыныштықта екенін дәлелдейді. Зенон бұл жерде уақытты дискретті (бөлінбейтін) моменттердің қосындысы, бөлек «қазір» және кеңістікті нүктелердің қосындысы ретінде түсінуден шығады. Ол былай дәлелдейді: уақыттың әр сәтінде жебе оның көлеміне тең белгілі бір орынды алады (әйтпесе жебе «еш жерде» болмас еді). Бірақ егер сіз бірдей орынды алып жатсаңыз, онда қозғалу мүмкін емес (Қозғалыс объектінің өзінен үлкен орын алатынын білдіреді). Бұл қозғалысты тек тыныштық күйлерінің жиынтығы ретінде қарастыруға болатынын білдіреді және бұл мүмкін емес (өйткені нөлдердің қосындысы ешқандай мән бермейді). Бұл кеңістік бөлінбейтін орындардың қосындысынан, ал уақыт бөлінбейтін шақтардың қосындысынан тұрады деген болжамнан шығатын нәтиже.