Батыс Қазақстан облысы білім басқармасының мектепке дейінгі, жалпы орта, техникалық кәсіптік білім беру ұйымдарының облыстық оқу-әдістемелік кабинеті
§3.5. Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы туралы теоремалар
жүктеу/скачать 1,86 Mb.
|
| §3.5. Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы туралы теоремалар.
1–теорема Егер А мен В оқиғалары сыйыспайтын (бірікпейтін) оқиғалар болса, , яғни болса, онда олардың қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең: Дәлелдеу: Барлық жағдайлар саны n, ал А мен В-ға қолайлы жағдайлар саны сәйкес мен болсын. Сонда , , болғандықтан А+В қосындысына жағдайлары қолайлы болады. Демек,
Теорема дәлелденді. Егер қос-қостан сыйыспайтын оқиғалар болса, онда
1-мысал. 36 картадан тәуекелге 3 картаны суырып алайық. Алынған карталардың ең болмағанда біреуінің тұз толуының ықтималдығын тап. Шешуі: В деп ең болмағанда бір тұздың пайда болу оқиғасын белгілейік. бір тұздың пайда болу оқиғасы; екі тұздың пайда болу оқиғасы; үш тұздың пайда болу оқиғасы; В оқиғасы оқиғалардың тек біреуі пайда болғанда ғана болатын оқиғасы. Сондықтан жоғарыдағы сыйыспайтын оқиғалардың ықтималдықтарын қосу теоремасы бойынша Ал, Өзіміз білетін Теру формуласы бойынша Сонымен 2-теорема. Егер А және В үйлесімді оқиғалар болса, онда
2-мысал. Екі атқыштың нысанаға тигізу ықтималдықтары сәйкес -0,8 және 0,9. нысанаға бірінші немесе екінші атқыштың тигізу ықтималдығы қандай? Шешуі: А мен В арқылы бірінші және екінші атқыштың нысанаға тигізу оқиғаларын белгілейік. Есептің шарты бойынша ал С арқылы бірінші немесе екінші атқыштың нысанаға тигізу оқиғаларын белгілейік. Сонда (7.2) формуланы қолдансақ. енді демек, Теореманы дәлелдейік: А және В оқиғалары сыйысатын (біріккен) оқиғалар. Сондықтан яғни А+В оқиғасы немесе АВ бірікпейтін оқиғалардың біреуі пайда болғанда орындалады. Бірікпейтін оқиғалардың ықтималдықтарын қосу теоремасын қолдана отырып, Ал, А оқиғасы немесе АВ сыйыспайтын оқиғалардың біреуі пайда болғанда орындалады, яғни Сол сияқты болатыны түсінікті. Сондықтан осы табылған мәндерін (7.3) теңдікке қоя отырып: болатынын табамыз. Теорема дәлелденді. Ескерту. . Бұл ықтималдықтарды қосу теоремасын дәлелдеу үшін, А+В бірлестігін өзара қиылыспайтын үш оқиғаның бірлестігі түрінде жазуға болады. Бізге дәлелдеуге керегі де осы еді. 3-теорема. Қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең Дәлелдеу: деп белгілесек, онда 3-мысал. Күннің жауын-шашынды болуының ықтималдығы 0,6-ға тең. Күннің «ашық» болу ықтималдығын табу керек. Шешуі: Күннің «жауын-шашынды» және «ашық» болуына сәйкес А және В оқиғалары деп алсақ, онда А,В қарама-қарсы оқиғалар болады. Ал р=0,6 болғандықтан 4-теорема. Мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы нольге тең, яғни Бұл теореманы дәлелдеу үшін теңдігіне А-ның орнына Е-ні қоямыз. Сонда 5-теорема. А мен В оқиғалары үшін болсын. Сонда Әрбір оқиғасы А оқиғасы үшін Егер болса, онда 6-теорема. Егер А және В тәуелді оқиғалар болса, онда (7.4) Мұнда - шартты ықтималдықтар. Егер А және В тәуелсіз оқиғалар болса, онда
(7.4)-тен формулаларын алуға болады. (7.4)-теңдігінде Бұл формуланы (теңдікті) ықтималдықтарды көбейту формуласы дейді, яғни тәуелді екі оқиғаның көбейтіндісінің ықтималдығы олардың біреуінің орындалуының ықтималдығын екіншісінің шартты ықтималдығына көбейткенге тең. 4-мысал. 36 картаның ішінен кез келген 2 карта алынсын. Осы екі картаның бір түсті болуының ықтималдығынтабу керек. Шешуі: Айталық алынған 2 карта қарға болсын. А- бірінші карта « қарға» болсын; В- екінші карта «қарға» болсын; Бұл екі оқиға тәуелді оқиғалар, яғни В-ның пайда болу ықтималдығы А-ның пайда болуына, не пайда болмауына байланысты өзгеріп отырады. Сондықтан , , осыдан . Алынған екі картаның бірдей түсті (оқиға С) болуы оқиғаларының кез келгені орындалса пайда болады. Яғни, 5-мысал. Сүңгуір қайықты іздеп табудың ықтималдығы 0,8, ал оны жойып жіберудің ықтималдығы 0,6-ға тең. Іздеп табылған сүңгуір қайықты жойып жіберудің ықтималдығы қандай? Шешуі: А-оқиғасы сүңгуір қайықты іздеп тауып алуды білдіреді. В- оқиғсы сүңгуір қайықты жойып жіберуді білдіреді. Сонда , . Есептің шарты бойынша іздеп табылған қайықты жойып жіберудің ықтималдығын табу керек, яғни ықтималдығын табу керек. . Сонда . 6-мысал. Жәшікте 15 бірдей бұйым бар. Жәшіктен 2 сапалы бұйым алудың ықтималдығы тең. Жәшікте қанша сапалы бұйым бар еді? Шешуі: А – жәшіктен бірінші рет алғанда сапалы бұйым алынды. В – жәшіктен екінші рет алғанда сапалы бұйым алынды. Бұл екі оқиғалар тәуелді. Сондықтан егер К – сапалы бұйымдар саны десек, онда , = , Осыдан . Сонымен жәшікте 8 сапалы бұйым болды. 7 – теорема: (Ең болмағанда бір оқиғаның пайда болуының ықтималдығы туралы теорема) Егер оқиғалары тәуелсіз, әрі ықтималдықтары белгілі болса, онда олардың ең болмағанда біреуінің пайда болу ықтималдығы оларға қарама-қарсы оқиғаларының ықтималдықтарының көбейтіндісін бір санынан алып тастағанға тең, яғни (7.6) мұндағы жеке жағдайда, егер болса, онда (7.7) Дәлелдеу: айталық А оқиғасы оқиғаларының ең болмағанда біреуінің болуы делік. Бұл жағдайда А және қарама-қарсы оқиғалар болады. Олай болса, олардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең. демек теорема дәлелденді. 8-мысал. Үш аңшы қасқырға оқ атты. Біріншісінің оғы қасқырға тию ықтималдығы 0,6, ал екіншісінікі 0,5, ал үшінсінікі 0,8 ге тең. Үш рет атыоыс кезінде: А) нысанаға (қасқырға) екі оқтың даруының ықтималдығын; Ә) ең болмағанда біруінің нысанаға тию ықтималдығын табу керек. Шешуі: А) үш аңшы оғының нысанаға даруына сәйкес А, В, және С оқиғалары деп белгілейік. Оларға қарама-қарсы оқиғалар болар еді. Егер оқиғасы деп нысанаға екі оқтың екі рет дәл тиюі деп алсақ, онда қатарынан үш атылыс кезінде болар еді. Есептің шарты бойынша Сондықтан Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларын қолдана отырып Ә) Оқтың ең болмағанда бір рет нысанаға тиюі дегеніміз оқ нысанаға бір, екі немесе үш рет тиюі мүмкін деген сөз. Сондықтан, егер Н оқиғасы деп оқтың ең болмағанда бір рет тиюі болса, онда Бұл жағдайда Бұл есепті қарама-қарсы оқиғалар ықтималдықтарынпайдаланып шығаруға болады. Атап айтқанда, егер Н үшін атылыста оқтың ең болмағанда біреуінің нысанаға тиюі болса, онда оған қарама-қарсы оқиға болар еді, яғни үш атылыс кезінде бірде-бір оқтың нысанаға тимеуі. Ал атылыс кезінде бірде-бір оқтың нысанаға тимеуі. Ал болғандықтан 9 – теорема. Егер А оқиғасы, өзара үйлесімсіз, толық топ құратын оқиғаларының біреуімен бірге пайда болатын болса, онда А оқиғасының ықтималдығы мына формуламен анықталады: (7.8) мұндағы - шарттық ықтималдықтар. Бұл формула толық ықтималдықтың формуласы деп аталады. Дәлелдеу: Айталық - оқиғалардың толық тобын құроғандықтан 1) 2) шарттар орындалады шарттың екі жағын А-ға көбейтелік, шығады, немесе , ал бұдан ықтималдыққа көшіп, содан кейін ықтималдықтарды қосу теоремасын қолданайық, яғни . , бізге дәлелдеу керегі осы еді. 10 мысал. Төрт V топтың әрқайсысында 25 қыз бала, 15 ер бала оқиды, үш VI топтың әрқайсысында 22 қыз бала, 18 ер бала оқиды, үш VII топтың әрқайсысында 20 қыз бала, 20 ер бала оқиды. Факультеттің деканы бір жұмыспен осылардың ішінен кез келген бір студентті шақырды. 1) Шақырылған студенттің қыз бала болу ықтималдығын анықтау керек. 2) Осы шақырылған қыз бала V, VI, VII, топ студенті болу ықтималдығын анықтау керек. Шешуі: 1) шақырылған студент V( оқиғасы), VI(оқиғасы), VII(оқиғасы) топтардың бірінен болуы мүмкін. Сондықтан бұл студенттің қыз бала болуы А оқиғасы, яғни (7.8) түрінде өрнектеледі. Толық ықтималдық формуласы бойынша Есептің шарты бойынша , өйткені студентті шақыру үшін алдымен 10 топтың ішінен кездейсоқ бір топ, мысалы V топтың бірі аталады, ( оқиғасы орындалып, мұның ықтималдығы ). Енді сол топтан кездейсоқ шақырылған студенттің қыз бала болуын (А оқиғасы) Ықтималдығы - қе тең. Осы сияқты болатынын байқау қиын емес. Сонда іздеген ықтималдық: немесе % Екінші сұраққа жауап беру үшін Байес формуласын қолдану керек, яғни егер А оқиғасы толық жүйе (система) құратын оқиғаларының кез келген біреуімен біргне пайда болатын болса, онда болатыны түсінікті. Бірақта оқиғаларының қайсысының пайда болатынын алдын ала болжау мүмкін емес, яғни белгісіз. Сондықтан оларды гипотезалар деп атаймыз. А оқиғасының ықтималдығы (7.9) формуламен анықталады. Айталық жүргізілген сыңаулардың нәтижесінде А оқиғасы пайда болды делік, оқиғаларынң ықтималдықтарын табу керек. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы бойынша осыдан Бізге дәлелдену керегі де осы еді. Дәлелденген формуланы Байес формуласы деп атайды. Енді есептің жоғарыдағы шарты бойынша Баиес формуласын қолдансақ, яғни немесе % шығады. Қыз бала VII топтан шақырылу ықтималдығы немесе % VII топтан шақырылу ықтималдығы немесе %.
жүктеу/скачать 1,86 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|