Дәріс электродинамиканың негізгі ұҒымдары алдағы үш тарауда басты міндеттердің бірі шешіледі – классикалық электродинамиканың құрылысын салу және егжей-тегжейлі талқылау. Ол кестеде келтірілген
Электростатика есептерін шешу әдістері
жүктеу/скачать 1,72 Mb.
|
Дәрістер
| 6.2. Электростатика есептерін шешу әдістері
Электростатиканың негізгі міндеті зарядтардың берілген таралуы үшін олар жасаған электростатикалық өрісті табу болып табылады. Кейде электростатиканың кері мәселесі де кездеседі – олар жасаған өріс бойынша зарядтардың таралуын қалпына келтіру. Бұл тапсырманы шешу өте оңай. Егер Е өрісі кеңістіктің барлық нүктелерінде үздіксіз (және дифференциалданатын) болса, онда ол кеңістік зарядымен туады. Оның ρ тығыздығы бірінші теңдеуден (5.19.2) табылады: (6.22.1) егер Е өрісінің өзі берілген болса немесе Пуассон теңдеуінен (5.19.11): (6.22.2) егер электростатикалық потенциал φ берілсе. Кейбір беттерде өрісі секіріп кетсе, бұл беттік зарядтардың болуына сәйкес келеді, олардың тығыздығы σ (5.19.5), егер берілсе, немесе берілсе (5.19.17) шартынан табылады. . Электростатиканың негізгі мәселесін шешудің екі тәсілі бар: (а) өріс ізделеді, содан кейін потенциал (5.20.10) түріндегі формуламен анықталады; (б) потенциал ізделеді, содан кейін өрісі (5.20.1) формула бойынша анықталады. Алдымен осы тәсілдердің біріншісін қарастырайық. Электр зарядтарының берілген таралу нәтижесінде пайда болатын электростатикалық өрісін табу есебінің жалпы математикалық тұжырымы 5 дәріс бөлімінде тұжырымдалған. Ол қажетті шекаралық шарттармен (5.19.4) -.(5.19.8) толықтырылған (5.19.2) дифференциалдық теңдеулердің шешімін қабылдайды. Дегенмен, барлық негізгі нәтижелерді дифференциалдық теңдеулер теориясына жүгінбей-ақ іс жүзінде алуға болады. Табиғи физикалық ойларды, Гаусс теоремасын және суперпозиция принципін қолдану жеткілікті. Алдымен координат басы тыныштықта заряды q0 болатын бөлшектің E0 өрісін табайық. Есептің айқын сфералық симметриясына байланысты ерікті нүктесіндегі бұл өріс оның бөлшекке дейінгі қашықтығына ғана тәуелді, ал күш сызықтары координаталар басы арқылы өтетін түзулер болып табылады. Сондықтан біз жаза аламыз (6.22.3) Бұл өрісті есептеу үшін Гаусс теоремасын қолданамыз, (5.19.3) бірінші теңдеудегі интегралдау беті ретінде координаттың басында центрленген r радиусының Cr сферасын таңдаймыз: Мұнда шар үшін және оның бетінде функциясы тұрақты болатыны ескерілген. Осылайша, , демек (6.22.4) Егер q зарядын нүктесіне қойсақ, онда оған заряд жағынан күш әсер етеді. (6.22.5) және Кулон заңына қайта ораламыз. Егер заряд болса және , нүктесінде тыныштықта болса, онда оның өрісі ↦ және : (6.22.4)-де айқын өзгерістерді енгізу арқылы алынады. : (6.22.6) Өріс бір емес, бірнеше бөлшектер арқылы жасалғанда, суперпозиция принципін қолдана отырып, т. (19.2) теңдеулерінің сызықтық қасиетін пайдаланып, бізде (6.22.7) Енді зарядтар белгілі бір кеңістіктік аймақта үздіксіз таралатын жағдайды қарастырайық. Осы аймақтың ерікті нүктесін және оның заряды бар шағын төңірегін алайық (суретті қараңыз). Осы зарядпен жасалған өріс үшін (6.22.6) пішін формуласы жарамды: Суперпозиция принципінің арқасында толық өріс зарядтар бар бүкіл аймаққа біріктіру арқылы алынады: (22.8) Бұл формула ең жалпы және кез келген зарядты бөлу үшін жарамды. Егер олар кейбір V көлемді алып жатса, онда , ал (6.22.8)-ден аламыз. (6.22.9) Егер зарядтар бетке таралған болса, онда және бізде бар (6.22.10) Соңында, зарядтың сызықтық таралуы жағдайында , және (6.22.11) (6.22.8) - (6.22.11) формулалары электр зарядтарының берілген таралуы үшін өрісін табу туралы электростатиканың негізгі есебін толығымен шешеді. Дегенмен, іс жүзінде сәйкес интегралды есептеу біршама еңбекті қажет етеді. Кем дегенде заряды q біркелкі таралған көлеміне (бетіне) R радиусы бар шардың (шардың) электростатикалық өрісінің есебін еске түсіру жеткілікті. Мұндай жағдайларда өрістерді табудың басқа әдістері пайдалы. Олардың бірі бесінші дәрісте айтылған. Бұл Гаусс теоремасының тікелей қолданылуы, ол симметриялық жағдайларда интегралдарды есептемей-ақ қажетті нәтижелерді алуды өте жеңілдетеді. Сонымен, шар мен шардың өрістерінің жоғарыда аталған есептерінде олардың жалпы құрылымы бар екендігі симметриялық ойлардан шығады (6.22.3). Гаусс теоремасын кейінгі қолдану бірден береді): доп үшін ; (6.22.12) сфера үшін ; (6.22.13) Пайдалы тәуелсіз жаттығу ретінде оқырманға сәйкес кері есептерді шығару ұсынылады: зарядтарды тудыратын өрістердің (6.22.12) және (6.22.13) таралуларын табу. Мұндағы жауаптар, әрине, белгілі, бірақ оларды (6.22.1) және (5.19.5) жалпы қатынастарды пайдалана отырып алу өте пайдалы. Сонымен, біз зарядтардың берілген үлестірімінен өрісін табуды үйрендік. Оны біле отырып, электростатикалық потенциалды анықтау оңай. Сонымен, егер заряды q0 болатын бөлшек координат басында тыныштықта болса, онда оның өрісі (6.22.4) формуласымен, ал (6.20.11) потенциалы үшін бізде болады. , мұнда және болатынын ескерсек, нүктелік зарядтың потенциалы үшін келесі формулаға келеміз: (6.22.14) Дегенмен, көп жағдайда осы бөлімнің басында айтылған электростатиканың негізгі мәселесін шешуге арналған тәсілдердің екіншісі практикалық болып шығады. Оның мәні мынада: алдымен потенциалы іздестіріледі, содан кейін (5.20.1) формула бойынша өрісі қайта құрылады. Бұл тәсілді толығырақ қарастырайық. Ол қажетті шекаралық шарттармен (5.19.14) және (5.19.16) - (5.19.19) толықтырылған Пуассон теңдеуінің (5.19.11) немесе Лаплас теңдеуінің (5.19.12) шешіміне негізделген. Қайтадан ең қарапайым жағдайдан бастайық – координат басында тыныштықта тұрған заряды бар бөлшектің өрісімен. Пуассон теңдеуінің түрі бар (6.22.15) Бастауыштан басқа барлық нүктелерде , демек, үшін ол Лаплас теңдеуіне айналады. . (6.22.16) Оны сфералық координаттармен жазайық: , (6.22.17) мұндағы – Лаплас операторының бұрыштық бөлігі, оның нақты түрі бізге қажет емес. Мәселенің айқын сфералық симметриясына байланысты потенциал бұрыштарға тәуелді емес, яғни. , сондықтан (6.22.17) береді (6.22.18) Бұл теңдеудің жалпы шешімі бірден табылады: , (6.22.19) ал интегралдау тұрақтылары шекаралық шарттардан анықталады. Табиғи жағдайдан (5.19.14) болатыны шығады. (5.19.19) шекаралық шарттан С тұрақтысын табамыз: мұндағы C = q0. Нәтижесінде біз бұрыннан белгілі формулаға келеміз (6.22.14) (6.22.20) E0 өрісі үшін осыдан бізде бар , және біз оның өрнекіне 6.(22.4), демек, Кулон заңына ораламыз. (6.22.19) С тұрақтысын Пуассон теңдеуі (6.22.15) мен қатынасты пайдаланып, басқаша табуға болатынын ескеріңіз.
(6.22.21) Соңғысын алу оңай, егер теңдікті еске түсірсек (2.7.4): Енді (6.22.19) орнына (6.22.15) ауыстырсақ, (6.22.21) көмегімен бізде болады. мұндағы тағы да C = q0. Жалпы жағдайдағы электростатикалық потенциал үшін өрнектер (6.22.7) - (6.22.11) формулаларын (6.22.4) алу үшін пайдаланылған ойларды пайдалана отырып (6.22.20) алынады. Егер өріс бірнеше зарядталған бөлшектермен жасалса, онда
ал зарядтардың үздіксіз бөлінуі жағдайында (22.23) (6.22.23) Сонымен, зарядтардың көлемдік таралуы үшін (6.22.24) бетін таратуға арналған (6.22.25) сызықтық бөлу үшін (6.22.26) Нүктелік зарядтар жүйесінің өріс потенциалы үшін өрнекті (6.22.22) бірінші қатынасқа (1.2.12) сәйкес онда қойылған (6.22.24) формуласынан алуға болатынын ескеріңіз, (6.22.27) Шынында да, (6.22.24) бұл өрнекті ауыстыру береді мұнда 3 өлшемді -функцияның негізгі қасиеті қолданылады (6.22.28) (6.22.25) және (6.22.26) өрнектерін (6.22.24) ұқсас жолмен алуға болады, бірақ біз бұл мәселеге тоқталмаймыз. Сонымен, электростатикалық потенциал үшін (6.22.24) өрнек өте жалпы. ρ функциясын дұрыс түсіндіре отырып, ол зарядтардың көлемдік таралу жағдайын ғана емес, сонымен қатар зарядтардың дискретті, беттік және біркелкі сызықтық таралу жағдайларын қамтиды. Осыған байланысты бұл сөзге толығырақ тоқталған жөн. (6.22.24) формуласымен берілген φ потенциалы Пуассон теңдеуін (5.19.11) қанағаттандыратынын көрсетейік. (6.22.21) сияқты қатынасты пайдалану (6.22.29) δ-функцияның паритеті және оның негізгі қасиеті (6.22.28), бізде болады орнату қажет болды. Енді потенциалға сәйкес келетін өрісін табайық (6.22.24). Векторлық талдау формуласын қолдану (6.22.30) аламыз
. Нәтижесінде потенциалының (6.22.24) формуласымен бірдей жалпы сипатқа ие электростатикалық өріс үшін (6.22.9) өрнекке ораламыз. Ол сондай-ақ электр зарядының кең таралуына қатысты. Потенциалды φ үшін берілген жалпы формулаларды тәжірибеде қолдануға қатысты өрісінің жалпы формулаларына қатысты сияқты ескертулерді жасауға болады. Сәйкес интегралдарды есептеу көбінесе көп еңбекті қажет етеді. Мұндағы жағдайды кейде бұл интегралдардың дивергентті болып шығуы қиындатады. Бұл зарядтың таралуы шексіз болған кезде орын алады және оның тығыздығы ρ ретінде салыстырмалы түрде баяу төмендейді жылдам емес. Мысал ретінде оның көлемі бойынша біркелкі зарядталған шексіз цилиндрдің өрісін табу мәселесін келтіруге болады. Онда (6.22.24) интеграл логарифмдік алшақтайды. Осындай барлық жағдайларда сәйкес шекаралық шарттармен толықтырылған потенциал теңдеуінің тура шешіміне жүгінген орынды. Бұл процедураны түсіндіру үшін біз бұрыннан көрген екі қарапайым мысалды қарастырайық. 1. Заряды q көлемге біркелкі таралған радиусы R шардың электростатикалық өрісін табайық. Пуассон теңдеуі былай жазылады , (6.22.31) осыдан . (6.22.32) Оған бұл жағдайда нысаны бар (5.19.18), (5.19.14), (5.19.16) және (5.19.17) шекаралық шарттарды қосу қажет. (6.22.33) мұнда екенін ескеріп, үшін және үшін қойдық. Есептің айқын симметриясына байланысты , сондықтан (6.22.31) деп жазуға болатын сфералық координаталарды таңдау заңды. . (6.22.34) Бұл теңдеудің жалпы шешімі қарапайым интегралдау арқылы табылады: . (6.22.35) Алғашқы екі шекаралық шарттан (6.22.33) және болатыны шығады, егер де (6.22.32) теңдікті ескерсек, бізде болады. . (6.22.36) Соңғы екі шекаралық шарт (6.22.33) теңдеулер жүйесіне әкеледі қайдан
Осы шамаларды (6.22.36) орнына қойып, соңында табамыз (6.22.37) Өріс кернеулігі үшін біз бұдан бұрыннан белгілі өрнекті (6.22.12) үйренеміз. 2. Радиусы R шардың электростатикалық өрісін табайық, оның бетінде q заряды біркелкі таралған. үшін де үшін де болғандықтан, ішкі және сыртқы аймақтарда потенциал Лаплас теңдеуіне бағынады. Есептің симметриясына байланысты екенін ескере отырып, оны сфералық координаталар арқылы жазамыз.: (6.22.38) және оған шекаралық шарттарды қосыңыз , (6.22.39) осыдан . (6.22.40) (6.22.38) теңдеудің жалпы шешімі анық: (6.22.41) Алғашқы екі шекаралық шарттан (6.22.39) былай шығады (6.22.42) Соңғы екі шарт (6.22.39) теңдеулер жүйесіне әкеледі , одан (5.20.48) ескере отырып аламыз (6.22.43) (6.22.42) және (6.22.43) тармақтарын (6.22.41) орнына қойып, соңында табамыз (6.22.44) Демек, өріс кернеулігі E⃗ = -grad φ үшін белгілі өрнекке (5.19.19) келеміз. Пайдалы тәуелсіз жаттығу ретінде оқырманға сәйкес кері есептерді шығару ұсынылады: потенциалы (6.22.37) және (6.22.44) өрістерін тудыратын зарядтардың таралуларын табу. Мұны (6.22.2) және (5.19.17) жалпы қатынастар арқылы оңай жасауға болады. жүктеу/скачать 1,72 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|