Айналу беттері. ХоZ жазықтығында z=f(x), х0, қисығы берiлсiн. Егер қисық 0z өсiн толық айналса, онда кеңiстiкте бет пайда болады. Осы беттiң теңдеуiн табайық.
Мнүктесi айналдырылғанда радиусы х теңдеуi х болатын шеңбер шығады.
Осы шеңбердiң кезкелген М нүктесiнiң координаталары х,у,zмына теңдеудi
қанағатандырады.
М нүктесi қисықтын кезкелген нүктесi болғандықтан айналмалы беттiң теңдеуiболады.
Осылайша, егер қисық О өсiн айналса онда пайда болған айналмалы беттiң теңдеуi болады. Ал О өсiн айналғанда тендеуi болатын беттi таба аламыз.
Цилиндрлiк беттер.
Кеңiстiкте берiлген қисығының бойымен Lтүзуi өзiне паралель болып, үздiксiз қозғалса, онда пайда болған беттi цилиндiрлiк бет деймiз.
– қисығы беттiн бағыттаушысы, ал L түзуi цилиндрлiк беттiң жасаушысы делiнедi.
Берiлген цилиндрлiк беттiң бағыттаушысы оху жазықтығына орналассын, ол теңдеуi болатын қисығы болсын, жасаушысы оz өсiне паралель болсын.
М (х,у,z) нүктесi беттiң нүктесi, ал М () оның хоу өсiндегi проекциясы делiк. М бетте орналасқандықтан және ол қисығында жатқандықтанF(x,y)=0 теңдеуiн қанағатандырады
Сонымен М және М нүктелерiнiң х және у координаталары Z кезкелген болса да F (x,y)=0 тендеуiн қанағатандырады.
Осыдан F(x,y)=0 теңдеуi берiлсе, онда ол цилиндрлiк беттiн теңдеуi болады, яғни бұл теңдеуде Z координатасы болмайды. Осылайша, егер цилиндрлiк беттiн жасаушысы ох өсiне паралель болса, онда оның теңдеуi F(y,z)=0, ал оу өсiне паралель болса онда тендеуi F(x,z)=0 болады.
Егер бағыттаушысы эллипсi, ал жасаушысы оz өсiне паралель болса, онда эллипстiк цилиндрдi аламыз, осылайша бағыттаушысы гипербола, =а - шеңбер, парабола болса, сәйкес гиперболалық, дөңгелек, параболалық цилиндрлер шығады (сызбаларда көрсетiлген).
Конустiк беттер. Конустiк бет деп, берiлген нұктеден өтетiн және бағыттаушы қисықтың бойымен жылжитын жасаушы түзудiң үздiксiз қозғалғанынан шыққан кеңiстiктегi беттi айтамыз.
Берiлген нүктенi конустың төбесi деймiз.
Конустiк беттiң теңдеуi F(x,y,z)=0 болады. Мұнда F(x,y,z) функциясы дәрежесi К-ға тең бiртектi функция, яғни теңдегi орындалады. Шындығында, М берiлген конустiк бетте жатсын, онда F=0 теңдiгi орындалады. Р-конустың төбесi десек және М, Р(о,о,о) нүктелерi арқылы L түзуiн жүргiссек, онда L конустың жасаушысы болады және оның параметрлiк теңдеулерi болады.
Осыдан F(x,y,z)=F(tx,ty,tz)=tF(x,y,z)=0, яғни F(x,y,z)=0 конустiк беттiң теңдеуi болады.
Осы дәріске ағымдық, аралық, қорытынды бақылау бойынша тест тапсырмалары және сұрақтар
Мынадай теңдеулер берілген:
6х2 – 4ху + 3у2 + 4х + 12у + 5 = 0,
х2 – 2ху – 2у2 – 4х – 6у + 3 = 0,
3х2 – 2ху + 3у2 + 4х + 4у – 4 = 0.
Бұл қандай сызықтардың теңдеулері екендігін зерттеңдер.
Берілген А(5, 2), В(0, 5), С(-2, 3), D(-3, 2), Е(2, -2) нүктелерінен өтетін қисықтың теңдеуін табыңдар.
Мына А(8, 7), В(4, 3), С(3, 0), D(6, 0) нүктелерінен өтетін параболаның теңдеуін жазыңдар.
Берілген теңдеуі қандай сызықтың теңдеуі екенін анықтаңдар.
Берілген қисық сызықтардың теңдеулері:
х2 + у2 – 2х + 3у – 1 = 0,
3х2 – 2ху + 3у2 + 4х + 4у – 4 = 0,
Осы қисық сызықтардың центрлерінің координаталарын табыңдар.
х2 + 6ху + ау2 + 3х + bу – 4 = 0 теңдеуі а мен b – нің қандай мәндерінде:
7. а) центрі бар қисық, б) қисықтың центрлері жататын түзу болады.
Мына х2 + ху + 2у2 – 7х – 12 у +10 = 0 қисықтың координаталар осьтерімен қиылысатын нүктелерін табыңдар.
Сұрақтар:
Екінші ретті цилиндрлік және конустық беттер.
Конустық қималар.
Айналу денелері.
1
№13дәріс
Екінші ретті беттер (эллипсоид, гиперболоид, параболоид).
Қарастырылатын сұрақтар (дәріс жоспары):
1.Эллипсоид.
2.Гиперболоид.
3.Параболоид
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Кеңiстiкте тiкбұрышты декарт координаталар жүйесi берiлсiн. Координаталары x,y,z, F(х,у,z)=0 (1) теңдеуiн қанағаттандыратын нүктелер жиыны кенiстiктегi бет делiнедi, ал (1) теңдеуi осы беттiң теңдеуi, немесе екiншi реттi беттiң теңдеуi деймiз.
Негiзгi екiншi реттi беттер және олардың канондық теңдеулерiн қарастырамыз.
Осыдан F(x,y,z)=F(tx,ty,tz)=tF(x,y,z)=0, яғни F(x,y,z)=0 конустiк беттiң теңдеуi болады.
Ендi жиi кездесетiн зор маңызды негiзгi екiншi реттi беттердiң канондық теңдеулерiн және кескiндерiн келтiрейiк
А) эллипсоид деп мынадай теңдеумен, анықталатың беттi айтамыз, мұнда аэллипсоидтың жарты өсьтерi. Берiлген бетiң түрiн зерттеу үщiн көп жағдайда қима әдiсi қолданылады.
Эллипсоидты координата жазықтықтарына паралель орналасқан z=h,y=m, x=k,
жазықтықтарымен қисақ, қию қисығы әрқашанда эллипс болады.
Б) теңдеуiмен анықталган бет бiр қуысты гиперболоид делiнедi.
Z=h жазықтығымен қиылсу сызығы қимада эллипс бередi, ал x=h, немесе y=h жазықтықтарымен қиылысу сызығы гипербола болады.
В) Екi қуысты гиперболоидтың теңдеуi былай жазылады .
Егер 1) а=2, в=3, 2) в=4, с=5, 3) с=3, е= 4) с=0, у= ассимтоталарының теңдеулерi болса, онда гиперболаның канондық теңдеуi қандай болатынын табыңыздар.
Эксцентрицитетi, фокусыF(2,-3) жәнедиректрисасыныңтеңдеулерi 3x-y+3=0 болатын гиперболаныңтеңдеуiнжазыңыздар.
