Дәріс тезистері 1-дәріс. Атомның ядролық моделі

5-дәріс. Кванттық механиканың қарапайым есептері
. Тікбұрышты
потенциалдық шұнқырдағы бөлшек. Сызықтық гармоникалық
осциллятор.
5.1. Кванттық механиканың қарапайым бір өлшемді есептері
5.1.1. Тік бұрышты потенциалдық шұңқырдағы бөлшек
Бір өлшемді потенциалдық шұңқыр ішіндегі электрон үшін Шредингер
теңдеуінің шешімін қарастыралық. Мұндай жағдай өте қарапайым, әрі жасанды.
Дегенмен, ол Шредингер теңдеуінің және оның шешімдерінің негізгі
ерекшеліктерін жеткілікті түрде оңай көрсетуге мүмкіндік береді.
Шексіз терең бір өлшемді потенциалдық
шұңқырдағы бөлшек үшін меншікті энергия мәндері
мен бұларға сәйкес меншікті функцияларды табайық.
Массасы
m 
бөлшек (электрон) тек
х
осі бойымен
қозғала алатын болсын; және қозғалыс бөлшекті
өткізбейтін
x
=
0 және
x=

 
қабырғаларымен
шектелген болсын. Осы жағдайда
U
потенциалдық
энергияның түрі 5.1-суретте көрсетілгендей: 0

x


болғанда 
U
=
0, 
x<
0 және 
x>


болғанда 
U
=

болады.
Шұңқыр ішінде
U
=0
болатындықтан
Шредингер теңдеуі осы жағдайда былай жазылады:
d
2
ψ
dx
2
+
2
m
ℏ
2
Eψ
=
0
. (5.1)
k
2
=
2
m
ℏ
2
E
өрнегін ескеріп, бөлшек энергиясының мәнін табамыз:
E
n
=
π
2
ℏ
2
2
ml
2
n
2
(
n
=
1, 2,. ..
)
. (5.2)
Демек, 
Е
энергия дискреттік мәндер жиынтығын қабылдайды.
5.2 -сурет 
5.3-сурет
(5.2) өрнек қарастырылған потенциалдық шұңқырдағы бөлшектің
энергиясын анықтайды. Шұңқыр ішінде бөлшектің потенциалдық энергиясы
болмайтындықтан, толық энергия кинетикалық энергияға тең болады. 
19
5.1-сурет

 Шредингер теңдеуінің толық шешімі мына түрде өрнектеледі:
E
n
=
π
2
ℏ
2
n
2
2
mℓ
2
, ψ
n
(
x
)=
(
2
ℓ
)
1
/
2
sin
(
nπx
ℓ
)
, n
=
1,2,
... (5.3)

кесіндісінің әр түрлі 
dx
бөліктерінде бөлшектің болу ықтималдығы былай
анықталады:
w
(
x
)
dx
=|
ψ
n
|
2
dx
=
A
2
sin
2
(
nπx
ℓ
)
dx
.
5.3-суретте нормаланған 

1
, 

2
, 

3
толқындық функциялар және 


1

2
, 


2

2
, 


3

2
ықтималдық тығыздықтары бейнеленген. 

жүктеу/скачать 5,99 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: