дәрістер Статистикалық физиканың негіздері
Статистикалық тәсіл. Статистикалық тәсілдердің идеологиясы
жүктеу/скачать 0,9 Mb.
|
Дәріс №1-15
- Бұл бет үшін навигация:
- Фазалық көлемнің сақталуы туралы теорема (Лиувилл теоремасы)
- 3, 4 дәрістер
| Статистикалық тәсіл. Статистикалық тәсілдердің идеологиясы
Біздің қолданатын кеңістік фазалық кеңістік. Фазалық айнымалылар бойынша физикалық қасиеттерін сипаттаймыз. Статистикалық тәсілдер бөлшектеніп сипаттайтын динамика теңдеулер анықталынбайды. Статистикалық тәсілдер, жаңа тәсілдер, жаңа ұғымдар анықталынады, пайдалынады. - осы жүйені анықтайтын, әрине ықтималдық функция. жүйені сипаттайтын функция. Жүйенің фазалық кеңістікте кейбір көлемінде орналасады ықтималдық арқылы анықталады: (12) немесе (13) - жүйені сипаттайтын ықтималдық функцияның тығыздығы. (14) дисскеретті шамалар. Фазалық көлемнің сақталуы туралы теорема (Лиувилл теоремасы) Фазалық кеңістікте аз элемент түзейтін көптеген нүктелердің жүріс тұрысын қарастырайық. Бұл элементтің формасы фазалық кеңістіктегі көлемі уақыт аралығында өзгеріп отырады да, бірақ та оның шамасы мұнда өзгеріссіз қалады. Механикалық жүйелердің әртүрлі күйлерін кескіндейтін фазалық кеңістіктің нүктелері пайда болмайды және жоғалмайды (себебі олар кескіндейтін механикалық жүйелердің өздері де пайда болмайды және жоғалмайды). Егер фазалық кеңістіктің нүктелерінің жалпы саны сақталатын болса, онда қарастырылған фазалық көлемдегі элементтің санының өзгерісі 6N өлшемді кеңістікте бұл нүктелердің элементтің фазалық көлемдегі басқа бөлігіне шығуы немесе кеңістіктің басқа бөліктеріндегі бұл нүктелердің шығуы есебінен болуы мүмкін. 6N өлшемді кеңістікте фазалық көлемдегі элементті қарастырайық. , деп беттерді таңдаймыз. фазалық кеңістіктегі тығыздығы. беттің xi координата арқылы бірлік уақыттағы кірген нүктелер саны . екінші беттің координата арқылы өткенде: . және арқылы шығатын нүктелер сандарының арасындағы айырмасы бізге мынаны береді: - нүктелер санының өзгерісі. Ол бізге бірлік уақытта мынаған тең: . Жоғарыда қарастырылған фазалық кеңістікте 6N бағыты мен аналогтық құбылыстар 6N бағыттың әрбірінде орын алады (*) Үш өлшемді жағдайда бұл қарапайым үздіксіздік теңдеуі болады: , Осыдан 6N өлшемді кеңістікте жалпыланған координаталар мен импульстарды жалпылаудың (*) үздіксіздік теңдеуі (сақталу) деп қарастыра аламыз. біз білеміз. (*) теңдеуін жалпыланған координаталар мен импульстар арқылы жазамыз: Сонда Біз консервативті жүйені қарастыратын болғандықтан, біз координаталар мен импульстарды жалпылауды анықтау үшін Гамильтон функциясын пайдаланамыз. Гамильтон теңдеуін жазамыз: және , Нәтижесін аламыз Сол себептен Гамильтон теңдеуінен ансамблі үшін фазалық нүктелердің сандық тығыздығы фазалық траектория бойымен өзінің қозғалысында өзгермейді, яғни фазалық көлемдегі элементтер сығылмайтын сұйықтық ретінде орын ауыстырады. Фазалық оның формасы өзгеруі мүмкін болса да, уақыт аралығында тұрақты. Бұл статистикалық механиканың негізгі бір жағдайы болып табылады және Лиувилл теоремасы деп аталады. Егер қандай да бір уақыт моментінде кеңістікте белгілі бір элементтің көлемі фазалық нүктені табу ықтималдылығы белгілі болса, онда ол басқа уақыт моментінде де белгілі болады. Механикада қолданатын бастапқы жағдайдың орнына көлемге тең фазалық кеңістіктегі элементтерді бейнелейтін тең ықтималды күй туралы статистикалық деп қабылдауға болады. Лиувилл теоремасынан таралу функциясы уақыт аралығында тұрақты болып қалатын және айнымалылар комбинациялары арқылы ықшамдалады. Осыдан таралу функциясының өзі қозғалыс интегралына ғана байланысты болуы керек. Сонымен таралу функциясы қозғалыс инетгралы болып табылады. Егер жүйенің жалпы және оның айнылуының қозғалысынан ауытқитын болсақ, онда мынадай тұжырым жасауға келеміз дененің статистикалық күйі тек оның энергиясына тәуелді. Тепе-теңдік күйде болатын жүйелер үшін бұл дұрыс. № 3, 4 дәрістер жүктеу/скачать 0,9 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|