Дифференциальные уравнения высшего порядка
жүктеу/скачать 0,72 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
|
и так далее. 4) Уравнения вида
(4) в которых левая часть может быть представлена как полная производная от некоторой функции . В этом случае порядок уравнения сразу понижается на единицу:
Например,
Уравнения вида
(1) где
– заданные непрерывные функции, называются линейными дифференциальными уравнениями n-го порядка. 3
Если функция равна нулю, то соответствующее уравнение называется линейным однородным. Введем оператор , который определим формулой
(2)
Тогда уравнение (1) можно записать в виде
(3) Нетрудно убедиться в том, что оператор является линейным: (4)
где – произвольные числа. Это, в частности, означает, что если функции являются решениями однородного уравнения
(5) является решением этого уравнения. Рассмотрим случай вещественных функций . Если комплексная функция
является решением однородного уравнения (5), то вещественная и мнимая части этой функции также являются решениями уравнения (5). Действительно, в силу линейности оператора и свойств комплексных чисел имеем:
Функции
называются линейно независимыми на промежутке , если существует только тривиальное решение уравнения
(6) относительно коэффициентов В противном случае функции называют линейно зависимыми. Другими словами, функции линейно зависимы, если хотя бы одна из них может быть представлена в виде линейной комбинации остальных. 4
|