Учебное пособие для студентов высших педагогических учебных заведений

187
Пробная цифра частного проверяется устно, и в этом основная
трудность деления на двузначное и трехзначное число. Если ре$
бенок не владеет приемами, облегчающими поиск и первичную
проверку пробных цифр частного, то он каждый раз умножает на
пробную цифру частного весь делитель, что является сложным
и трудоемким процессом, который невозможно выполнить без при$
менения письменных алгоритмов умножения.
Письменные алгоритмы умножения и деления на двузначное
и трехзначное число дети изучают в конце 4 класса, поэтому
учитель не всегда успевает уделить им достаточно много времени.
Большие затраты времени при непродуктивном поиске пробных
цифр частного приводят к тому, что на одном уроке дети успевают
решить 2—3 примера. Большее количество примеров может быст$
ро привести к утомлению детей и соответственно большому ко$
личеству ошибок при вычислениях. Использование продуктивных
вычислительных приемов при выполнении письменных вычисле$
ний поможет ребенку в овладении осознанной вычислительной
деятельностью.
Лекция 14.
Приемы рациональных вычислений
в начальных классах
Приемы рациональных вычислений имеют в основе хорошее
знание свойств арифметических действий, знание порядка выпол$
нения действий и умение изменять этот порядок в тех случаях,
когда это позволяют законы сложения и умножения. К приемам
рациональных вычислений можно также отнести приемы, об$
легчающие устное сложение и умножение: понимание законо$
мерности изменения результатов действий в зависимости от из$
менения одного из компонентов, а также приемы умножения на
10, 100, 1 000, 5, 15, 25, 50 и т. п.
Цель применения приемов рациональных вычислений — упро$
щение числовых выражений, приведение их к наиболее простой
для вычислений форме.
Первыми приемами рациональных вычислений можно считать
все свойства сложения, умножения и деления, с которыми дети зна$
комятся в процессе освоения вычислительной деятельности
Например:
34 + 118 + 16 = (34 + 16) + 118 = 50 + 118 = 168 — применили
переместительное и сочетательное свойство сложения: слагаемые
переставили местами для удобства вычислений, а затем заменили
сумму двух соседних слагаемых ее значением.

188
156 + 44 + 97 = 156 + (4 + 40) + 97= (156 + 4) + 40 + 97 = 160 + 40 +
+ 97 = 200 + 97 = 297 — применили разрядное разложение числа 44
и группировку слагаемых.
497 + 228 = 497 + (3 + 225) = (497 + 3) + 225 = 500 + 225 = 725 —
применили замену слагаемого суммой удобных слагаемых и груп$
пировку слагаемых.
Знаменитый пример Гаусса: надо найти сумму первых 100 на$
туральных чисел.
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 = ?
Применим парную группировку слагаемых:1 + 99 = 100
2 + 98 = 100
3 + 97 = 100...
.........................
49 + 51 = 100
Таких сумм будет 49. Остается число 50 и число 100. 4 900 + 100 +
+ 50 = 5 050.
К приемам рациональных вычислений можно отнести приемы,
порожденные наблюдением за закономерностью изменения резуль$
татов действий в зависимости от изменения одного из компонентов.
Например:
Прибавление к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же
числа разность не изменяет, поэтому
28 – 9 = (28 + 1) – (9 + 1) = 29 — 10 = 19
825 – 97 = (825 + 3) – (97 + 3) = 828 — 100 = 728
Зная эту закономерность, легко вычислять в уме примеры вида:
64 – 8; 132 – 29; 102 – 8 — которые при выполнении по общему
принципу вычитания по частям являются очень трудоемкими.
Тот же прием можно использовать в виде «округление одного
или нескольких слагаемых»:
Слагаемые заменяют ближайшими к ним «круглыми» числа$
ми, затем из суммы «круглых» чисел вычитают или прибавляют
соответствующие дополнения.
187 + 58 = (190 + 60) – (3 + 2) = 250 – 5 = 245
282 + 79 = (280 + 80) + 2 – 1 = 361
Распределительное свойство умножения относительно сложе$
ния и вычитания позволяет рационализировать вычисления не
только в средних классах школы, но и в начальных классах.
Например:
7 · 3 + 7 · 4 = 7 · (3 + 4) = 7 · 7 = 49
54 · 11 – 49 · 11 = 11 · (54 – 49) = 11 · (55 – 50) = 11 · 5 = 55
7 · 55 + 7 · 45 + 3 · 55 + 3 · 45 = 7 · (55 + 45) + 3 · (55 + 45) =
= 7 · 100 + 3 · 100 = 100 · (7 + 3) = 100 · 10 = 1 000

189
Распределительное свойство деления относительно сложения
и вычитания дает возможность рационализировать вычисления в
такой же мере:
(320 – 64) : 8 + 16 = 320 : 8 – 64 : 8 + 16 = 40 – 8 + 16 = 32 + 16 = 48
В данном случае, фактически был нарушен канонический по$
рядок действий (действия в скобках выполняется первым), но это
нарушение позволялось правилом деления суммы (разности) на
число. На последнем шаге практически можно было действовать
проще, поскольку прибавление 16 — это прибавление двух вось$
мерок, и с учетом вычитания одной восьмерки, реально остается
только одна восьмерка, т. е. сразу 40 + 8 = 48. Однако подобные
перестановки ученику начальной школы не позволяет самое пер$
вое, выученное им правило: действия сложения и вычитания в вы$
ражениях без скобок выполняют по порядку слева направо.
В качестве рационализирующего приема можно рассматривать
очевидную возможность не выполнять некоторые арифметические
действия в исходном выражении.
Например: (101 010 – 37 564) + 37 564 = 101 010
К разности прибавляется вычитаемое, очевидно, что произво$
дить действия в скобках нет смысла. При этом 
не предполагается
рассуждение вида «сумма чисел противоположных знаков, равных
по модулю, равна нулю» — младшие школьники не знакомы с этим
свойством и этими числами.
137 · (53 812 – 34 946) · 0 = 0
Анализ выражения показывает, что это произведение, в кото$
ром один из множителей равен нулю, следовательно все произве$
дение равно нулю.
Более подробно рассмотрим приемы так называемого «быстро$
го умножения».
Приемы умножения на 10, 100, 1000 и другие разрядные едини$
цы рассматривались в п. 11.

жүктеу/скачать 4,06 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: