Государственного педагогического

 
109 
деңгейде  білімді  алу  ҥмітін  береді.  ―Қызықты  сҧрақтар‖  және  басқа  да  ерекше  әдістер 
оқытушылардың  еңбегін  жҥйелеп  қҧрады  және  студенттердің  танымдық  ҥрдісінің  белсенділігін 
арттыру осы мақалада баяндалған. 
Annotation. This article presents a hope to a higher mathematics lecturer for optimal knowledge sharing and 
to  students  for    acquiring  knowledge  in  difficult  times  of  class  period  shortening  in  technical  universities. 
‗Amazing questions‘ and other features of methodology. That stated here. Structure lecturer‘s work and drisk 
up student‘s cognitive process. 
 
 
 
М.Б.Муратбеков, З.Е.Мусабекова, П. Мукушева, А. Чавкарова  
 
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ   
НЕЛИНЕЙНЫХ  ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ 
 
УДК 517.956.226 
 
 
В  работе  исследованы  существование  решений  одного  класса  нелинейных  вырождающихся 
уравнений. 
 
В этой работе  будем изучать задачу: 
 
                  





















s
k
m
k
k
k
k
k
k
k
k
k
L
f
x
u
u
y
x
B
x
u
u
y
x
R
y
u
Lu
0
2
0
2
2
1
2
1
2
2
2
)
(
)
,
,
(
)
1
(
)
,
,
(
)
1
(
,    
   (1) 
                                  
,
,
2
,...,
2
,
1
,
0
,
2
0
m
s
s
i
x
u
x
u
x
i
i
x
i
i










             
           (2) 
                                      
,
0
)
1
,
(
)
0
,
(


x
u
x
u
                                           
                      (3) 
где   
}
1
0
,
2
0
:
)
,
{(
),
(
2








y
x
y
x
L
f

. 
 
В дальнейшем считаем, что функции  
)
,...,
1
,
0
(
)
,
,
(
),
,...,
1
,
0
(
)
,
,
(
m
k
z
y
x
B
s
k
z
y
x
R
k
k


 кусочно-
непрерывны и ограниченны по заданным аргументам и удовлетворяют условиям: 
 
)
0
a
]
,
0
[
],
1
,
0
[
],
2
,
0
[
),
(
)
,
,
(
)
(
1
A
z
y
x
y
C
z
y
x
R
y
C
k
k
k









,    А-  любое  фиксированное 
число ; 
 
)
0
b
 
]
,
0
[
],
1
,
0
[
],
2
,
0
[
),
(
)
,
,
(
)
(
1
A
z
y
x
y
C
z
y
x
B
y
C
k
k
k









, А- любое фиксированное число, 
где функции 
k
k
è


 удовлетворяют соответственно условиям 
)
0
i
-
)
0
0
i
i
. 
)
0
i
0
)
(
)
(
,
0
)
(
),
,...,
2
(
0
)
(
),
,...,
2
,
1
(
0
)
(
1
0
0
0










y
B
è
y
B
y
R
m
k
y
B
s
k
y
R
k
k
. 
)
0
0
i
i
).
,...,
2
,
1
(
)
(
)
2
(
);
,...,
2
,
1
(
)
(
)
2
(
lim
lim
0
0
m
k
y
B
y
B
s
k
y
R
y
R
k
k
y
k
k
y








 
 
Теорема Пусть выполнены условия: 
).
)
0
0
b
а

Тогда при 
0


 существует решение задачи (1)-( 
3),  и для него справедлива оценка: 
                       
2
0
)
(
f
C
u
C


,    ( 
2
)
(
2
2
f
C
u
W


),                               (4) 
где С и 
0
0

C
- постоянные числа. 
Прежде, чем доказать эту теорему, приводим несколько вспомогательных предложений. 
 
Рассмотрим  задачу: 
 





















s
k
m
k
k
k
k
k
k
k
k
k
v
L
f
x
u
v
y
x
B
x
u
v
y
x
R
y
u
u
L
0
2
0
2
2
1
2
1
2
2
2
)
(
)
,
,
(
)
1
(
)
,
,
(
)
1
(
,   (5) 
                     
,
,
2
,...,
2
,
1
,
0
,
2
0
m
s
s
i
x
u
x
u
x
i
i
x
i
i










                           (6) 

 
110 
                       
,
0
)
1
,
(
)
0
,
(


x
u
x
u
                                                                (7) 
 
Лемма  1.  Пусть 
)
(


C
v
  и  выполнено  условие 
).
)
0
0
b
а

Тогда  для  любой  правой  части  f  из  
)
(
2

L
 существует, притом единственное решение задачи (5)-(7) и для него справедлива оценка: 
                         
),
(
,
)
,
(
2
0
)
(
2
)
(
2
2
f
C
u
f
C
y
x
u
W
C




                               (8) 
где 
0
C
, C>0  не зависит от  u, v. 
 
Доказательство.  Положим 
)
,...,
1
,
0
(
),
,
,
(
)
,
(
~
),
,...,
1
,
0
(
),
,
,
(
)
,
(
~
m
k
v
y
x
B
y
x
B
s
k
v
y
x
R
y
x
R
k
k
k
k




. 
Тогда (5)-(7) сводится к задаче (1)-(3), где функции 
)
,
(
),
,
(
y
x
B
y
x
R
k
k
заменены, соответственно,  на 
)
,
(
~
),
,
(
~
y
x
B
y
x
R
k
k
.  При  этом  согласно  условию 
)
)
0
0
b
а

  для 
)
,
(
~
),
,
(
~
y
x
B
y
x
R
k
k
  выполняются  все 
условия теоремы 1 работы  [2], откуда вытекает утверждение доказываемой леммы. Таким образом, 
задача (5)-(7) имеет единственное решение 
f
L
u
v
1


  удовлетворяющее  оценку  (8).  Очевидно,  если 
)
(


C
v
,  то 
)
(
1




Ñ
f
L
u
v
.  Более  того,  поскольку 
f
L
u
v
1


–  решение  задачи  (5)-(7),  для 
произвольной  функции 
)
(


C
v
  имеем 
)
(
1
L
D
f
L
v


.  Поэтому,  существование  решения  краевой 
задачи  (5)-(7)  эквивалентно  существованию  неподвижной  точки  оператор 
1

v
L
  в  пространстве  
)
(

C
  т.е.  существование  функции 
)
(


C
u
  такой,  что 
f
L
u
u
1


. При этом 
)
(L
D
u

, поскольку 
).
(
1
L
D
f
L
u


 
 
Следовательно,  задача  (5)-(7)  имеет  решение,  если  оператор 
1

v
L
  имеет  неподвижную  точку.  С 
этой целью применяем известный принцип Шаудера.  
 
Пусть 
}
:
)
(
{
)
(
A
v
C
v
S
C





  –  шар  в  пространстве 
)
(

C
  и  А-  произвольное 
положительное  число.    
 
Лемма 2.  Пусть выполнено условие 
).
)
0
0
b
а

 Тогда оператор 
1

v
L
 отображает множество 
S
 
в себя. 
 
Доказательство.    Доказательство  леммы  следует  из  теоремы  работы  [11]  и  леммы  2.1,  если  в 
качестве А взять число 
2
f
C
 из оценки (8). Пусть 
}
,
:
)
(
{
1
S
v
f
L
u
C
u
M
v






 – прообраз 
шара 
S
.  
 
Лемма 3.  Пусть выполнено условие 
).
)
0
0
b
а

 Тогда оператор 
1

v
L
 непрерывен. 
 
Доказательство.    Пусть  последовательность 
 


1
n
n
v
  и  элемент 
v
  из  множества 
S
,  такие,  что 
v
v
n

 в норме пространства  
)
(

C
. 
 
Положим  
f
u
L
v

  и 
,
)
,
,
(
)
1
(
)
,
,
(
)
1
(
0
2
2
0
1
2
1
2
2
2
f
x
u
v
y
x
B
x
u
v
y
x
R
y
u
u
L
m
k
k
n
k
n
k
k
s
k
k
n
k
n
k
k
n
v
n




















 
 
где 
)
(x
f
- фиксированный элемент в 
)
(
2

L
.  Тогда 

 
111 











































m
k
k
k
k
k
s
k
k
k
k
k
m
k
k
n
k
n
k
k
s
k
k
n
k
n
k
k
n
x
u
v
y
x
B
x
u
v
y
x
R
x
u
v
y
x
B
x
u
v
y
x
R
y
u
y
u
0
2
2
0
1
2
1
2
0
2
2
0
1
2
1
2
2
2
2
2
,
0
)
,
,
(
)
1
(
)
,
,
(
)
1
(
)
,
,
(
)
1
(
)
,
,
(
)
1
(
 
или 
                                    
.
)])
,
,
(
)
,
,
(
[
)
1
(
(
)])
,
,
(
)
,
,
(
[
)
1
(
(
)
,
,
(
)
1
(
)
,
,
(
)
1
(
0
2
2
0
1
2
1
2
0
2
2
2
2
0
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2

































































m
k
k
k
n
k
k
k
s
k
k
k
n
k
k
k
m
k
k
k
k
n
k
n
k
k
s
k
k
k
k
n
k
n
k
k
n
x
u
v
y
x
B
v
y
x
B
x
u
v
y
x
R
v
y
x
R
x
u
x
u
v
y
x
B
x
u
x
u
v
y
x
R
y
u
y
u
              (9) 
 
Левая часть последнего равенства имеет вид: 

















































m
k
k
k
k
n
k
n
k
k
s
k
k
k
k
n
k
n
k
k
n
n
v
x
u
x
u
v
y
x
B
x
u
x
u
v
y
x
R
y
u
y
u
u
u
L
n
0
2
2
2
2
0
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
.
)
,
,
(
)
1
(
)
,
,
(
)
1
(
)
(
 
Отсюда и из (9) находим:  
                           


















m
k
k
k
n
k
k
k
s
k
k
k
n
k
k
k
n
v
x
u
v
y
x
B
v
y
x
B
x
u
v
y
x
R
v
y
x
R
u
u
L
n
0
2
2
0
1
2
1
2
.
)])
,
,
(
)
,
,
(
[
)
1
(
(
)])
,
,
(
)
,
,
(
[
)
1
(
(
)
(
 
По предположению, коэффициенты оператора 
n
v
L
  удовлетворяют условиям теоремы работы [2], 
следовательно существует обратный оператор  
.
)])
,
,
(
)
,
,
(
[
)
1
(
(
)])
,
,
(
)
,
,
(
[
)
1
(
(
0
2
2
0
1
2
1
2
1

























m
k
k
k
n
k
k
k
s
k
k
k
n
k
k
k
v
n
x
u
v
y
x
B
v
y
x
B
x
u
v
y
x
R
v
y
x
R
L
u
u
n
 
Отсюда  
                      
.
)])
,
,
(
)
,
,
(
[
)
1
(
(
)])
,
,
(
)
,
,
(
[
)
1
(
(
lim
lim
)
(
0
2
2
0
1
2
1
2
1
)
(































C
m
k
k
k
n
k
k
k
s
k
k
k
n
k
k
k
v
n
C
n
n
x
u
v
y
x
B
v
y
x
B
x
u
v
y
x
R
v
y
x
R
L
u
u
n
 
Пользуясь теоремами работы [2]  имеем: 

 
112 
                                   

.
)]
,
,
(
)
,
,
(
[
)
1
(
)]
,
,
(
)
,
,
(
[
)
1
(
lim
lim
2
0
2
2
2
0
1
2
1
2
)
(
1
)
(







































m
k
k
k
n
k
k
k
s
k
k
k
n
k
k
k
C
u
n
C
n
n
x
u
v
y
x
B
v
y
x
B
x
u
v
y
x
R
v
y
x
R
L
u
u
n
                       (10) 
Из теоремы  также следует, что 
                                                 
,
2
)
(
)
(
1
f
C
f
L
C
C
v
n





                                        (11) 
для всех 
 


1
n
n
u
 и 
v
. А из (8) получим оценки:          
                
0
)]
,
,
(
)
,
,
(
[
)
1
(
2
0
1
2
1
2









s
k
k
k
n
k
k
k
x
u
v
y
x
R
v
y
x
R
 , при 
,


n
                         (12) 
                 
0
)]
,
,
(
)
,
,
(
[
)
1
(
2
0
2
2







m
k
k
k
n
k
k
k
x
u
v
y
x
B
v
y
x
B
 , при 
,


n
                        (13) 
Учитывая оценки (11)-(13), из неравенства (10) имеем: 
                                                                






)
(
lim
C
n
n
u
u
.                                     (14)  
Здесь мы воспользовались тем, что 
0
)
(



C
n
v
v
  при  
.


n
  
Неравенство (14) доказывает лемму. 
 

жүктеу/скачать 2,16 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: