Халықаралық ғылыми конференцияның материалдары 9-10 желтоқсан

10 
О ТЕОРЕМЕ ПОТАПОВА-СИМОНОВА 
Кеңес Ж.К. 
Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана 
E-mail: zhangeldi.94@list.ru 
 
Изучение  взаимоотношений  между  классами  составляет  предмет  теории  вложений - 
необъятного  раздела  теории  функций  с  многочисленными  ответвлениями  в  многие  области 
математики.  При  этом  постановка  задач  теории  вложений,  по  существу,  заключается  в  выяснении 
неулучшаемых  соотношений  между  числовыми  и  функциональными  параметрами,  определяющих 
два класса,  при выполнении которых один из них в том или ином смысле содержится в другом.  
Центральными  понятиями  теории  вложений  и  приближений  являются  понятия  модуля 
непрерывности и наилучшего приближения (полиномами по ортогональной системе ) 
функции 
.  
Общепринято,  что  модуль  гладкости  и  наилучшие  приближения  отражают  совершенно 
различные  свойства  функции – структурные  (как  быстро  изменяется  на  промежутке  задания)  и 
конструктивные  (как  хорошо  приближается  линейной  комбинацией  функций,  принятых  в  качестве 
эталонных) соответственно, и в этом заключается «интрига» темы.   
Тем  самым,  следующие  соотношения  между  ними  (здесь  ортогональная  система – 
тригонометрическая; 


 p
1
; n=1,2,…) 
 
 
f
c
f
E
n
p
p
n
,
1


        и        
 
 




n
k
p
k
n
p
f
E
n
с
f
0
1
1
1
,

 
составляют  основу  теории  и  называются  соответственно  прямыми  и  обратными  теоремами  теории 
приближений  (а  им  подобные - теоремами  типа Джексона  и  типа  Бернштейна  соответственно, - по 
именам авторов). 
Тем  не  менее,  развитие  теории  приближений,  даже  в  ее  основах,  продолжается  (см. [3] и 
имеющуюся в нем библ.). Здесь в качестве показательного  примера можно привести следующее, в 
какой-то мере неожиданное, соотношение Потапова – Симонова [1,2] (в одной и той же метрике 
p
, 


 p
1
; 
0


)  
         
 
p
n
p
n
p
f
S
n
f
E
f
n
)
(
)
(
;
1













 (
,...
2
,
1

n
) ,   (1)  
показывающее, что если привлечь еще и частичные суммы 
 
f
S
n
 тригонометрического ряда Фурье 
функции 



2
,
0
p
L
f

  по  спектру 
nx
nx
x
x
sin
,
cos
,...,
sin
,
cos
,
2
1
,  по  которому  производится 
наилучшее  приближение,  то  структурные  и  конструктивные  характеристики  функции 
f
 
«смыкаются».         
Зададимся  вопросом  «Насколько  в  теореме    Потапова-Симонова  важно    присутствие  каждого 
слагаемого  правой части в неравенстве (1)?».  
В данной работе получен ответ на этот вопрос в случае р=2.  
Вычислены  порядки  каждого  слагаемого  в  порядковом  соотношении  Потапова-Симонова  и 
пришли  к  выводу,  что  в  теореме  Потапова-Симонова  каждое  слагаемое  опустить    без  потери 
справедливости утверждения (1) нельзя. 
 
Список использованных источников 
1. Темиргалиев  Н.  Непрерывная  и  дискретная  математика  в  органическом  единстве  в  контексте 
направлений исследований // Электронное издание. ИТМиНВ. Астана, 2012. С. 1-259.  
2. Симонов Б.В. О свойствах преобразованного ряда Фурье //Деп. в ВИНИТИ 22.06.81, №3031-81. C. 45. 
3. Потапов  М.К.,  Симонов  Б.В.  О  взаимосвязи  обобщенных  классов  функций  Бесова-Никольского  и 
Вейля-Никольского // Analysis Mathematica. т. 22. 1996. С. 299-316. 
 
 
 
 
 
}
{
k

)
,
1
)(
,
(
)
(
C
L
p
b
a
L
x
f
p






Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

11 
ОБ ОБРАТНОЙ ТЕОРЕМЕ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОРЕНЦА 
Кенжебекова Н.Б., Акишев Г. 
Карагандинский государственный университет им Е.А.Букетова, Караганда, Казахстан 
E-mail: 18_naziko@mail.ru, akishev_g@mail.ru
 
 
В  докладе  предлагается  улучшенный  вариант  обратной  теоремы  теории  приближения  целыми 
функциями экспоненциального типа конечной степени в пространстве Лоренца. 
Пусть даны числа 



 ,
1
,

p
. Множество всех определенных на 






,
R
, измеримых по 
Лебегу функций для которых 
 






dt
t
t
f
p
1
0


 
называется  пространством  Лоренца  и  обозначается 
 
R
L
p

,
,  где 

f
-  невозрастающая  перестановка 
функции  f  (см.[1], с.213). В этом пространстве норма 
 
,
1
0
1
,


















du
u
u
f
f
p
p
 
где 
 
 





u
dt
t
f
u
u
f
0
1
. 
Отметим,  что  в  случае 
p


  пространство 
 
R
L
p

,
  совпадает  с  пространством  Лебега 
 
R
L
p
, 
норма 
.
, p
p
p


 
Через 
 


,
p
f
A
  обозначим  наилучшее  приближение  функции 
 
R
L
f
p

,

  целыми  функциями 
экспоненциального типа степени не выше 
0


(см.[2], с.218). 
Для  заданного  натурального  числа  к   величина 







,
,
sup
,
p
k
h
h
p
k
f
f



  называется  модулем 
гладкости порядка  к  функции 
 
R
L
f
p

,

, где 
 
 


х
f
х
f
k
h
h
k
h
1





 – разность порядка  к . 
Основными результатами являются следующие утверждения. 
Теорема 1. Пусть 


 p
1
  и 
2
1



или 


 p
2
и 




2
,
 
2
,
min



.  Тогда  для 
функции 
 
R
L
f
p

,

 
справедливо неравенство 


 
.
1
1
;
1
0
,
1
,
,
,



























n
p
k
k
p
k
p
k
f
A
n
с
n
f
 
Теорема 2. Пусть 


 p
1
 и 
2
1



или 


 p
2
и 




2
,
 
2
,
min



. Тогда для любых 
натуральных чисел 
k
r
 ; и функции 
 
R
L
f
p

,

 
справедливо неравенство 


 



































1
1
,
1
,
,
,
dt
t
f
t
c
f
p
r
k
k
k
p
k
 
при 
2
1
0



. 
Отметим, что в случае 
p


 из теорем 1 и 2 следуют результаты М.Ф.Тимана [3]. 
 
Список использованных источников 
1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, М.: Мир, 1974. 
2. Никольский  С.М.  Приближение  функций  многих  переменных  и  теоремы  вложения,  М.:Наука, 1977, 
455с. 
3. Тиман М.Ф. Наилучшее приближение и модуль гладкости функций, заданных на всей вещественной оси. 
Изв.вузов. Матем.,1961, №.6, с.108-120.
  
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

12 
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ФУНКЦИИ 
ПРОСТРАНСТВУ НИКОЛЬСКОГО-МОРРИ 
 
Кыдырмина Н.А. 
РГКП «Институт прикладной математики» КН МОН РК, Караганда, Казахстан 
E-mail: nurgul-k@mail.ru 
 
Определение 1. Пусть 
0
∞, 0
 и 
 – измеримая функция из 
0, ∞  в  0, ∞ . 
Через 
 обозначим пространство всех действительнозначных, измеримых на 
 функций, для 
которых  
‖ ‖
sup
∈
sup
‖ ‖
,
∞. 
 Условимся говорить, что функция 
 имеет на действительной оси производную порядка  , 
если  существует  абсолютно  непрерывная  на  любом  конечном  отрезке  оси  производная 
 
порядка 
1. Таким образом, на самом деле существует только почти всюду производная 
, 
однако такая, что 
есть ее неопределенный интеграл. Если 
1, то 
 просто абсолютно 
непрерывна  на  любом  конечном  отрезке  оси  .  В  этом  же  смысле  надо  понимать,  когда  мы  будем 
говорить,  что  функция 
, … ,
  от  многих  переменных  имеет  на  оси    при  заданных 
, … ,
 
частную производную порядка  . 
 Определение  2.  Будем  говорить,  что  измеримая  функция 
, … ,
  принадлежит  к  классу 
 
0, 1
∞ , если она удовлетворяет следующему условию. 
Представим    в  виде 
,  где   – целое  и 
0
1.  Пусть  существует  почти  для  всех 
, … ,
  частная  производная 
,  определенная  таким образом  почти  всюду  в 
,  принадлежащая 
пространству Морри 
, для которой при любом   выполняется неравенство  
                 
, ,…,
2
,…,
, ,…,
| | .               (1) 
В тех случаях, когда нас не будут интересовать величина константы  , мы будем ее опускать и 
писать 
. 
inf
  для  которых  справедливо  неравенство (1) обозначим  через 
,
,  тогда  нормой 
пространства 
,
 будет  
 
‖ ‖
,
. 
 
Определение  3.  Через 
;
  обозначим  наилучшее  приближение  функции 
∈
  посредством  целых  функций  экспоненциального  типа 
  в  метрике  пространства 
, 
т.е.  
;
inf‖
‖
. 
 Нами  была  доказана  следующая  теорема,  в  которой  содержится  необходимое  и  достаточное 
условие принадлежности функции пространству Никольского-Морри. 
 Теорема.  Для  того  чтобы  функция 
∈
  принадлежала  классу 
  (с 
некоторой константой В), необходимо и достаточно существование константы  , для которой имеет 
место  
;
 
для  всех 
1  или  же  для  всех  ,  пробегающих  геометрическую  прогрессию 
 
1,
0,1, … . 
Работа  выполнена  при  поддержке  грантового  финансирования  научных  исследований 
Комитетом науки МОН РК (проект №1777/ГФ4 КН МОН РК). 
 
 
 
 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

13 
ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ ВЛОЖЕНИЯ КЛАССОВ ТИПА МОРРИ 
Монтай А.О. 
Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана 
 E-mail: askhat.93@list.ru 
 
Пусть  даны  целые  положительные  числа 
s
 
и 


s
j
r
j
1,...,
=
,  положительные  числа 


s
j
j
1,...,
=

, 

 <
1 p
 и  положительная неубывающая на 


0,1
 функция 
 


. 
Определим множество параллелепипедов 
s
T


,...,
1
,  
 
 


1
=1
1
1
=
=
=
,
0,1 : 0 <
< 1
= 1,..., , 0 <
1
,...,
2
2
s
s
j
j
j
j
j
s
j
T
T
I
y
y
y
y
j
s































 
и соответствующую ей норму 
 
 
1
1
1
, ,
, ,
, ,
,...,
,...,
1
,
sup
Φ E
s
s
p
p
p
T
p
T
p
E
E T
x
dx






 




 










 
где 
E
 есть лебегова мера множества 
E
. 
Тогда  классом  Соболева-Морри 
 
1
1
,...,
, ,
,...,
0,1
s
s
s
r
r
p
W
 

  назовем  множество,    состоящее  из  всех 
измеримых на 
 
s
0,1
 функций 
)
(x
f
, для каждой из которых   
1
,...,
, , 1
, , 1
, ,
=1
1
1,
,...,
,...,
,...,
s
s
rj
r
r
x
W
p
j
s
p
s
p
j
s
f
f
D f
 

 

 





 
где 
rj
x j
D f
 - обобщенная производная порядка 
j
r
 по переменной  
j
x
. 
Класс 
 
s
s
r
r
s
p
W
0,1
,...,
,...,
1
1
,
,



 в случае 
s
s
r
r
r


=
...
=
,
=
=
...
=
1
1
 обозначим через 
 
, ,
0,1
s
r
p
T
W

, где 
T
 есть семейство всех 
s
-мерных кубов из 
 
s
0,1
, стороны которых параллельны осям координат. 
Ясно,  что  при 
 
1



  классы 
,...,
,...,
1
1
, ,
,1,
1
1
,...,
,...,
r
r
r
r
s
s
p
p
s
s
W
W
 




    сводятся  к  соответствующим 
пространствам Соболева 
 
1
,...,
0,1
s
s
r
r
p
W
. Для степенных функций 
 


 классы 
r
T
p
W
,
,

 впервые были 
изучены Морри [1]. Исследования Ч. Морри 1938 года [1] получили продолжение в работах Греко, 
Ниренберга,  Компанато,  Бароцци,  В.П.  Ильина,  Росса,  Ю.В.  Нетрусова  и  др. (см. §27 в [2]). К.Ж. 
Наурызбаевым и Г.Т. Джумакаевой в первой половине 80-ых годов XX века был сделан новый шаг – 
переход от степенного 
 



=

 к произвольному случаю [3-4].  
В 
данной 
работе 
получены 
необходимое 
и 
достаточное 
условия 
для 
вложения
 
 
s
q
s
r
T
p
L
W
0,1
0,1
,
,



  в  степенном 
 


0
>
=





  случае  при 
q
p
s
r
1
1 

, 


q
q
p



1
1
. 
 
Список использованных источников 
1. 
Morrey C.B
. On the solution of quasi-linear elliptic partial di
ff
erential equations // Transactions of the American 
Mathematical Society. №43. 1938. P. 126-166. 
2. 
Бесов  О.В.,  Ильин  В.П.,  Никольский  С.М
.  Интегральные  представления  функций  и  теоремы  вложения. 
М.: Наука, 1996. 
3. 
Джумакаева  Г.Т.
  Критерий  вложения  класса  Соболева - Морри 
1
,

p
W
  в  пространство 
C
 // 
Математические заметки. Т. 37. № 3. 1985. С. 399-406. 
4. 
Джумакаева  Г.Т.,  Наурызбаев  К.Ж.
  О  пространствах  Лебега – Морри // Известия  АН  Казахской  ССР, 
серия физико-математическая. № 5. 1982. С. 7-12 . 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

14 
 
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖƏНЕ ОЛАРДЫҢ ҚОСЫМШАЛАРЫ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 
DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THEIR EXHIBITS 
 
 
О СИЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА  
Акыш А.Ш. 
Институт математики и математического моделирования, Алматы, Казахстан  
E-mail: akysh41@mail.ru  
 
Начально-краевая задача для УНС относительно вектора скорости 
)
,
,
(
=
3
2
1
U
U
U
U
 и давления 
P
 в области 


]
(0,
=
T
Q
:   
 
0,
=
div
);
,
(
=
)
,
(
U
x
f
U
U
U
U
t
P
t









                           
 (1) 
 
,
0,
=
|
)
,
(
);
(
=
)
(0,





x
x
U
x
Φ
x
U
t
                                  (2) 
  где 
;
3
R



x
 
;
<
],
[0,


T
T
t
 Данные 
f
 и 
Φ
 (0) удовлетворяют требованиям: 
 
).
(
)
(
)
(
)
(
)
);
(
)
(
)
,
(
)
1
2,0








J
ii
Q
J
Q
t
i
W
C
x
Φ
C
x
f
 
В ряде работ автора [1] и др. приведены результаты поисковых исследований с целью обоснование 
принципа максимума для уавнений Навье-Стокса (УНС). В [2] доказана справедливость простейшего 
принципа максимума для УНС. На основе чего в выбранном пространстве доказана 
Теорема.  Если  входные  данные  задачи (0) удовлетворяют  требованиям    i),   ii)  и 
,
2
C



 
тогда у задачи (0) существует единственное сильное обобщенное решение 

жүктеу/скачать 13,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: