Халықаралық ғылыми конференцияның материалдары 9-10 желтоқсан

15 
О ПРОБЛЕМЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ МОДЕЛИ 
УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 
Акыш А.Ш. 
Институт математики и математического моделирования, Алматы, Казахстан  
E-mail: akysh41@mail.ru 
 
Со  времен  появления  работы [1] изучается  качественная  теория  разнообразных  дискретных 
моделей нелинейного уравнения Больцмана. Среди которых наиболее распространенными являются 
дискретные модели Карлемана, Бродуэлла и Годунова−Султангазина.  
В работе методом функции Ляпунова изучены вопросы асимптотической устойчивости решений 
трех  и  четырех  скоростных  моделей  Годунова−Султангазина  и  Бродуэлла  в  классе  положительных 
функций. Для которых найдены функции Ляпунова.  
Получены  неравенства  для  асимптотического  поведения  решений,  равновесное  распределение  и 
оценки для существования и единственности решений в пространствах 
С 0, ∞;
 и 
0, ∞
.  
Например,  задача  Коши  для  пространственно-неоднородной  модели  Годунова - Султангазина 
[1]: 
 
≡
,
2
,
,
0,
;
, 0
, 1 ,
1,2,3.
 (1) 
Функционал Ляпунова для (1) представлен в виде [3]: 
 
≡
, 
,
,
1,2,3   
(2) 
Откуда получено  
   
 
0 exp 2
, где  0
, 
0
const.   (3) 
Задача  Коши  для  пространственно-однородной  модели  Бродуэлла  относительно  вектора-
функции 
, , ,
 [1], [3]:  
   
 
∑
1
2
≡
,
,
1,2;
 
 
   (4) 
 
   
 
 
 
0
,
1,4 .   
 
 
 
 
(5)  
Функция Ляпунова для (4), (5): 
; Откуда 
0
2
,  0 ≡
;.
0  
В  результате  развития  методологии  построения  и  методов  функции  Ляпунова  для  дискретных 
моделей  уравнения  Больцмана  получены  положительные  ответы  на  некоторые  актуальные 
математические  вопросы. (теоремы  существования  и  единственности,  асимптотические  поведения 
решений по времени и разработка вычислительных методов). 
 
Список использованных источников 
1. 
Годунов  С.К.,  Султангазин  У.М
.  О  дискретных  моделях  кинетического  уравнения  Больцмана.  Успехи 
матем. наук. -1971, -Т.36, №3. -С. 3-51. 
2. 
Akysh (Akishev) A.Sh
. Convergence of Splitting Method for the Nonlinear Boltzmann Equation// Numerical 
Analysis and Application. -2013, -Vol.6, № 2. –P.111-118. 
3. 
Акыш  А.Ш
.  Методы  функций  Ляпунова  для  некоторых  дискретных  моделей  уравнения 
Больцмана//«Математические  методы  и  современные  космические  технологии»  ТЕЗИСЫ  ДОКЛАДОВ// 
Междун. науч. конф. посв. 80-лет. академика У. М. Султангазина, Алматы, 2016, -С. 16-19. 
4.
  Акыш  А.Ш
.  Вычислительные  задачи  нелинейных  уравнений  Больцмана//Труды  международной 
конференции  «Актуальные  проблемы  прикладной  математики  и  информационных  технологий-Аль-Хорезми 
2016» Бухарский государственный университет, 2016. Т.№2. -С. 19-22. 
 
 
 
 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

16 
ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО  
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 
Ады С.
 
(Научный руководитель — к.ф.-м.н., доцент кафедры МАиДУ Орумбаева Н.Т.) 
Карагандинский государственный университет имени академика Е.А.Букетова 
E-mail: sabira.alen@mail.ru 
 
Технические задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений, включают в себя, 
как правило, описание области решения (геометрические конструкции, временного проежутка и т.д.). 
При  этом  все  дополнительные – граничные  условия  могут  задаваться  только  в  начале  области, 
например,  в  основании  конструкции  или  в  начальный  момент  времени.  Такая  задача  в  отличии  от 
краевой  задачи  называется  задачей  Коши  или  задачей  с  начальными  условиями.  Часто  эти  задачи 
связаны  с  изучением  временных  процессов.  Это  могут  быть  процессы  распределения  температуры, 
колебания конструкции и т.д. 
Пусть задана задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка: 
,
0
),
(
)
(
)
(




x
x
f
y
x
c
y
x
R
                                                    (1) 
,
)
0
(
1
g
y

     
2
)
0
(
g
y


.                                                           (2) 
Неизвестной является функция 
)
(x
y
. Для функции 
)
(x
y
 заданы начальное значение 
1
g
 и начальный 
угол наклона 
2
g
 ее графика (рис.1). 
 
Рис.1. 
 
Сведем уравнение (1) с начальными условиями (2) к системе дифференциальных уравнений первого 
порядка. Для этого введем дополнительную функцию 
)
(
)
(
x
y
x
z


. Подставляя ее в задачу (1), (2), 
получим 
),
(
)
(
)
(
x
f
y
x
c
z
x
R



    
,
0


 z
y
     
2
)
0
(
g
z

,       
,
)
0
(
1
g
y

                                  (3) 
Для нахождения численного решения задачи (3) используется метод Адамса. 
Пример. При 
3

x
 найти приближенное значение решения уравнения  
,
6
5
2
4
x
x
x
xy
y





      
,
0
)
0
(

y
       
5
)
0
(


y
. 
Решение. Введем функцию 
)
(
)
(
x
y
x
z


. Тогда получим систему уравнений первого порядка  
,
6
5
2
4
xy
x
x
x
z





   
,
z
y


   
5
)
0
(

z
,    
.
0
)
0
(

y
 
В процессе решения задачи составляем таблицу: 
k
 
k
x
 
k
z
 
k
y
 
x
x
y
5
3


 
точное решение 
0 0 
5
0
0
1 0.05 
5.0156
0.25
0.2501 
2 0.1 
5.0306
0.5008
0.501 
3 0.15 
5.0606
0.7538
0.7534 
4 0.2 
5.1056
1.0068
1.008 
5 0.25 
5.1656
1.2621
1.2656 
6 0.3 
5.2407
1.5204
1.527 
Мы  нашли  приближенное  значение 
5204
.
1
)
3
.
0
(

y
.  Точное  решение  данного  уравнения, 
удовлетворяющее указанным начальным условиям, будет 
527
.
1
3
.
0
*
5
3
.
0
)
3
.
0
(
3



y
. 
 
Список использованных источников 
1. 
Петровский И.Г.
 Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.Наука, 1970. 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

17 
ОБ ОЦЕНКАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 
Алдибеков Т.М. 
Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы, Казахстан 
E-mail: 
tamash59@list.ru 
 
Рассматривается нелинейная система дифференциальных уравнений       
                                   
, ,
≡
, ∞ ,
,                                        (1) 
где матрица  
 непрерывна и удовлетворяет условию 
‖
‖
,
, 
0, 
 
0   - непрерывная функция при   
 и 
lim
→
0, 
интеграл 
 
расходится. Векторная функция 
,
∁
, 
, 0
0.  
 -  класс векторных функций  
,   удовлетворяющих неравенству 
|
, |
| |,   
∈ ∁
,  
 
lim
→
0. 
Положим  
. 
Пусть  
,
lım
→
|
, |
 
и 
,
lim
→
|
, |
 
соответственно обобщенное верхнее и обобщенное нижнее особые показатели относительно  
, 
линейной однородной системы дифференциальных уравнений  
 
, 
,
 
Теорема. Если в нелинейной системе (1) векторная функция 
,
, то для любого 
0  существует 
0,  существует 
0  такое,  что  равномерно  для  всех  ненулевых  решений 
системы (1) выполняется неравенство 
|
|
,
|
|
|
|
,
 
при всех 
. 
 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

18 
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НАГРУЖЕННОГО ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 
В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ 
Амангалиева М.М., Дженалиев М.Т., Иманбердиев К.Б. 
Институт математики и математического моделирования КН МОН РК, Алматы, Казахстан 
E-mail: muvasharkhan@gmail.com  
 
Изучается  задача  стабилизации  по  границе  (образующей  цилиндра)  решения  граничной  задачи 
для уравнения теплопроводности с нагруженным двумерным оператором Лапласа. 
Пусть 
/2}
<
,
<
/2
:
,
{
=


y
x
y
x


 – область с границей 


.  
В  цилиндре 
0}
>
{
=
t
Q


  с  боковой  поверхностью 
0}
>
{
=
t




  рассматривается 
граничная задача для нагруженного уравнения теплопроводности  
Q
t
y
x
t
x
u
t
y
u
u
u
t





}
,
,
{
0,
=
)
,0,
(
)
,
(0,


,   
 
 
(1) 


}
,
{
),
,
(
=
,0)
,
(
0
y
x
y
x
u
y
x
u
, 
 
 
 
(2) 


}
,
,
{
),
,
,
(
=
)
,
,
(
t
y
x
t
y
x
p
t
y
x
u
. 
                                          (3) 
Требуется:  найти  такую  функцию 
)
,
,
(
t
y
x
p
,  чтобы  решение  граничной  задачи  удовлетворяло 
неравенству  
0
>
0,
>
,
)
,
,
(
0
)
(
2
t
e
C
t
y
x
u
t
L





.   (4) 
Рассмотрим спектральные задачи для нагруженного двумерного оператора Лапласа.  
В области 
}
<
<
,
<
<
:
,
{
=




y
x
y
x
Q


 изучаются следующие две спектральные задачи:  
 




















1;
0,
=
,
)
,
(
=
)
,
(
,
)
,
(
=
)
,
(
,
}
,
{
),
,
(
=
)
(0,
)
,
(
j
y
x
y
x
x
y
x
y
Q
y
x
y
x
y
y
x
j
j
j
j
j
j
j
j











 
 
 
(5) 
 





















1;
0,
=
,
)
,
(
=
)
,
(
,
)
,
(
=
)
,
(
,
}
,
{
),
,
(
=
,0)
(
)
(0,
)
,
(
j
y
x
y
x
x
y
x
y
Q
y
x
y
x
x
y
y
x
j
j
j
j
j
j
j
j












 
 
 
(6) 
 
где 

 – оператор  Лапласа, 
,

 
C


 – заданные  комплексные  числа, 
C


 – спектральный 
параметр.  
Одномерный аналог задач (5)  и (6) был изучен в работе [1].  
Решения  спектральных  задач (5) и (6) используются  для  нахождения  решения  задачи 
стабилизации (1)–(4). 
 
Список использованных источников 
1. 
Дженалиев  М.Т.,  Рамазанов  М.И
.  Стабилизация  решения  уравнения  теплопроводности,  нагруженного 
по  нуль-мерным  многообразиям,  с  помощью  граничных  условий // Математический  журнал, 2015. – Т. 15,  
4(58). – С. 33–53.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ре
по
зи
то
ри
й К
ар
ГУ

19 
PERIODIC BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SYSTEM OF THE  
HYPERBOLIC EQUATIONS  WITH DELAY ARGUMENT   
Assanova A.T.
1
, Iskakova N.B.
2
,
1
, Orumbayeva N.T.
3
 
 
1
Institute of mathematics and mathematical modeling, Almaty, Kazakhstan 
2
Abai Kazakh national pedagogical university, Almaty, Kazakhstan 
3
Buketov Karaganda State University
,
 Kazakhstan 
E-mail: assanova@math.kz; narkesh@mail.ru; orumbayevan@mail.ru  
 
Numerous problems of application  such as problems of population dynamics, management of technical 
systems, the problem of physics, mathematical economics, ecology and  etc., variational problems related to 
the regulatory process, the optimal control problem with delay systems leads to boundary value problems for 
differential equations with deviating argument [1]. One of the rapidly growing field of the theory of 
differential equations with deviating argument is the theory of boundary value problems for differential 
equations with delay argument. Periodic boundary value problems for hyperbolic equations with delay 
argument are widely used in various applications. Conditions of a solvability of the periodic boundary value 
problem for hyperbolic equations with delay argument connected with the solvability of a family of periodic 
boundary value problems for ordinary differential equations with delay argument.  
We consider the periodic boundary value problem for the system of the hyperbolic equations second 
order with delay argument  on the domain 
]
[0,
]
,
[
=






T
   
   
),
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
=
)
,
(
0
2
x
t
f
x
t
u
x
t
C
t
x
t
u
x
t
B
x
x
t
u
x
t
A
x
x
t
u
x
t
A
x
t
x
t
u















(1) 
                                                         
]
,
0
[
]
,
0
[
)
,
(



T
x
t
,     
        
,0],
[
),
(
)
,
0
(
=
)
,
(













z
z
x
x
u
diag
x
x
z
u
 
],
[0,
),
,
(
=
)
(0,


x
x
T
u
x
u
      (2) 
                                               
)
(
)
0
,
(
t
t
u


,                      
]
,
0
[
T
t

,                                        (3) 
where  
))
,
(
),...,
,
(
),
,
(
(
)
,
(
2
1
x
t
u
x
t
u
x
t
u
col
x
t
u
n

 is unknown function, the 
)
(
n
n

 matrices  
),
,
(
x
t
A
 
),
,
(
0
x
t
A
 
)
,
(
x
t
B
, 
),
,
(
x
t
C
 and 
n
vector-function 
)
,
(
x
t
f
 are continuous on 
]
[0,
]
[0,
=



T
, the  
n
vector-function 
)
(
t

 is continuously differentiable and given  on the initial set  
,0]
[


 such that  
,
1,2,...,
=
1,
=
(0)
n
i
i

 
0
>

 is  constant delay,  the  
n
vector-function 
)
(
t

 is continuously differentiable 
on 
]
,
0
[
T
, and the compatibility  condition is valid:  
)
(
)
0
(
T



. 
We introduce a new unknown functions 
x
x
t
u
x
t
v



)
,
(
)
,
(
,  
t
x
t
u
x
t
w



)
,
(
)
,
(
 [2] and the problem 
(1)—(3) reduce to an equavalent  problem, consisting the family of periodic boundary value problem for 
system of differential equations with delay argument and integral relations. For constructing  of algorithms 
of finding approximate solutions to the equavalent problem are used results of paper [3]. For solve of the 
family to the periodic boundary value problems for system  of differential equations with delay argument are 
used results of articles [4]. Algorithms of finding solutions to the families of periodic  boundary value 
problems for differential equations with delay argument are constructed and  their convergence proved. The 
conditions of the solvability  to the periodic boundary value problems for hyperbolic equations with delay 
argument are established. 
 

жүктеу/скачать 13,82 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: