Жас ғалымдардың VII халықаралық Ғылыми конференциясының материалдары 25-26 сәуір 2011 жыл

 
39 
 
 
Рисунок 1. График первых значений полинома Лежандра 
 
Из формулы (2) легко получается следующее общее выражение для 
 
z
P
n
: 
 
 



 

,
!
2
!
!
2
!
2
2
1
2
0
r
n
n
h
r
r
n
z
r
n
r
n
r
r
n
z
P








                                       (4) 
где 
2
n
h

 или 
2
1


n
h
, смотря по тому, которое из этих чисел целое. 
Полиномы  Лежандра  высших  порядков  могут  быть  вычислены  при  помощи 
рекуррентного соотношения  

   
  
 
.
0
1
2
1
1
1







z
nP
z
zP
n
z
P
n
n
n
n
                                (5) 
Отметим некоторые свойства полиномов Лежандра: 
1) полином Лежандра является четной или нечетной функцией в зависимости от того, 
четна или нечетна его степень, так что  
     
,
1
z
P
z
P
n
n
n



 
2) на границах интервала 


1
,
1

 полином Лежандра принимает следующие значения: 
 
   
,
1
1
,
1
1
n
n
n
P
P




 
3) для любого 
z
 из промежутка 


1
,
1

 
 
).
0
(
1


n
z
P
n
 
4) справедливы формулы 
 
    

 
,
!
!
2
!
!
1
2
1
0
,
0
0
2
1
2
n
n
P
P
n
n
n





 
 
                             (6) 
5) при больших 
n
 имеется следующая оценка: 
 


,
1
2
2
z
n
z
P
n



 
6) полином Лежандра можно представить формулой  
 


,
cos
1
1
0
2




d
z
z
z
P
n
n





 
7) многочлены Лежандра являются коэффициентами разложения некоторой функции 
в  ряд  Тейлора,  и  по  этой  причине  функция 


2
1
2
2
1





z
  называется  производящей 
функцией для 
 
z
P
n
: 
 
,
2
1
1
0
2
z
P
z
n
n
n









   
                                         (7) 

 
40 
Если рассмотреть напримере, 
r
 - расстояние от центра диска до материальной точки 


z
y
x
P
,
,
  будет  больше  радиуса  диска 
R
  и 
R
t


0
, 

  -  угол  между  осью  Ох  и 
проекцией  точки 


z
y
x
P
,
,
  на  плоскости  Оху, 

  -  угол  между  радиус-вектором 
r
  и 
плоскостью  диска, 
r

-расстояние  между  материальной  точкой 


z
y
x
P
,
,
  и  любой  точкой 
диска. 

  -  плотность  диска.  Рассмотрим  притяжение  плоским  круглым  диском  внешнюю 
материальную точку 


z
y
x
P
,
,
 на главной плоскости [2].  
Элемент  массы  равен  произведению  плотности  на  элемент  области  интегрирования. 
При этих предложениях  
 
2
2
cos
2
r
tr
t
dtd
t
G
r
Gdm
dU













                                            (8) 
выражение (8) интегрируя по параметрам диска, получим 
 
2
0
2
0
cos
2
1











 
r
t
r
t
dtd
t
r
G
U
R




.                                                  (9) 
 
Используя  формулы  (7),  а  также  теорему  сложения  для  многочлена  Лежандра  и  их 
выражения, известные при определенных значений (3) и (6), имеем: 
 


 













































0
2
0
1
2
2
1
1
1
0 0
2
0
)
(cos
2
1
0
2
1
)
0
(
cos
n
n
n
n
R
n
n
n
n
n
n
n
n
n
R
n
P
P
r
R
r
R
G
n
r
R
R
n
t
r
dt
r
t
dt
P
P
r
t
G





 
Так как рассматривается, движение на плоскости диска 
2



 имеет место формула 
(6). 
  

 
 











R
n
n
n
n
n
dt
t
r
P
n
n
U
0
1
2
1
1
2
2
0
!
!
2
!
!
1
2
1
2

 
5
4
4
3
2
2
0
64
3
,
8
1
,
1
r
R
Gm
U
r
R
Gm
U
r
Gm
U






 
 










4
4
2
2
64
3
8
1
1
)
,
(
r
R
r
R
r
Gm
d
r
U
,   
                      (10) 
(10)  –потенциал  гравитирующего  диска  для  случая 
R
r

.  Аналогично  можно  вычислить 
потенциал кругового кольца с радиусами 
1
R
 и 
2
R
, в случае 
:
2
R
r

 














4
4
1
4
2
2
2
1
2
2
64
3
8
1
1
)
,
(
r
R
R
r
R
R
r
Gm
d
r
U
 
Последние  годы  опубликовано  достаточное  количество  монографий,  трактующих 
теорию  потенциала  с  чисто  математических  позиций.  Однако  далеко  не  все  в  этих 
монографиях представляет интерес для исследователей, а некоторые проблемы недоступны, 
неразрешимы  из-за  абстрактной  формы  изложения.  При  аналитических  и  численных 
расчетах  использовать  потенциал  в  виде  интеграла  часто  бывает  невозможно,  главным 
образом  из-за  незнания  реального  распределения  плотности  вещества  в  теле.  Поэтому  для 
решения  задачи  о  движении  искусственного  Спутника  вокруг  Земли,  задачи  о  движении 
спутника вокруг планет и многих других задач небесной механики ньютоновский потенциал 
данного  гравитирующего  тела  представляется  рядом  по  полиномам  Лежандра.  Так  как 

 
41 
рассматриваемое  гравитационное  поле  находится  на  большом  удалении  от  материальной 
точки, то можно пренебречь членами второго порядка и выше в разложении потенциала по 
полиномам Лежандра [3]. Что подводит количественную основу под утверждение, о том, что 
благодаря большому расстоянию между материальной тоской и плоским круглым диском и 
позволяет дать оценку точности этого приближения.  
Литература 
1.
 
Бордовицын  Т.  В.,  Авдюшев  В.  А.,  Теория  движения  Искуственных  Спутников  Земли, 
Томск, 2007, стр. 14-17. 
2.
 
Гобсон  Е.  В.,  Теория  сферических  и  эллипсоидальных  функций,  Москва:  Изд.  Иностр. 
Литературы, 1952, стр. 43-45. 
3.
 
Чеботарев  Г.  А.,  Аналитические  и  численные  методы  небесной  механики,  М:  Наука, 
1965, стр. 200-205. 
 
 
УДК 517 
 
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ОБОБЩАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ 
МОЙСИЛА-ТЕОДОРЕСКУ 
 
Султангазиева Жанат Болатбеавна  
Магистрант, Казахский Национальный Университет им. аль-Фараби, Алматы 
Научный руководитель – д.ф.-м.н., профессор Токибетов Ж.А. 
 
Рассматривается  система  дифференциальных  уравнений  первого  порядка, 
являющейся обобщением системы Коши-Римана в четырехмерном пространстве  
 







4
1
,
)
(
j
j
j
F
U
x
b
x
u
A
MU
 
),
,
(
)
,
,
,
(
'
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x


   
 
(1) 
 
 
где
,
1
E
A

   
,
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
2















A
 

3
A
,
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
2
1
1
2
2
1
















kb
kb
kb
kb
b
b
b
b
 
                      

















0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
1
2
2
1
1
2
4
kb
kb
kb
kb
b
b
b
b
A
. 
 
 
 
(2) 
 
В  этой  работе  покажем  одну  корректно  поставленную  краевую  задачу  для  системы 
вида (1) с коэффициентами (2) с младшим членом в бесконечном слое, а именно требуется 
найти решение системы (1) 
)
,
,
,
(
)
(
4
3
2
1
u
u
u
u
x
U

 бесконечном слое  










x
h
x
D
,
0
1
, удовлетворяющее на границе слоя следующим условиям  
 
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
0
(
)
,
0
(
)
,
0
(
4
2
1
3
2
1
x
h
u
x
h
u
x
h
u
x
u
x
u
x
u

















        (3) 
 

 
42 
Через 
M
C
 
обозначим 
класс 
вектор 
функций 
)
(
)
(
)
(
2
2
h
h
D
W
D
C
x
U



 
удовлетворяющих на границе условиям (3), а его замыкание в норме пространства 
)
(
'
2
h
D
W
 
обозначим через 
M
S
. 
Лемма 1. Если матрица  
)
(
)
(
h
D
C
x
B

 и существует положительное число  
h
2


,  такое,  что 
0
0
U
BU


  то  для  любой  вектор-функций 
M
S
x
U

)
(
  выполнено 
неравенства 
1
0
1
U
MU
U




, 
 
 
.
0
,


const


 
 
Теорема. Если матрица 
)
(x
B
удовлетворяет условию Леммы 1, то для любой вектор-
функций 
)
(
)
(
2
D
L
x
F

 задача (1)-(3) имеет единственное решения 
).
(
)
(
2
h
D
W
x
U


 
Литература 
1.
 
Тоқыбетов  Ж.Ә.  Эллипстік  теңдеулер  ҥшін  шекаралық  есептер.–  Алматы:«Қазақ 
унверситеті»,2007. –30с. 
2.
 
Янушаускас  А.И.  Задача  о  наклонной  производной  теории  потенциала.  –  Новосибирск, 
1985.-264с. 
3.
 
Ошоров  Б.Б.  Об  одном  четырехмерной  аналоге  системы  уравнений  Коши-Римана// 
Неклассические уравнения математической физики. –Новосибиррск, 2007. –212-220. 
 
 
УДК 517.5 
 
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА СЕМЕЙСТВ КОНЕЧНОМЕРНЫХ  
СЕТЕВЫХ ПРОСТРАНСТВ И ПРОСТРАНСТВ ЛОРЕНЦА  
ОТНОСИТЕЛЬНО КОМПЛЕКСНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 
 
Таджигитов Аскар Айтжанович 
ст.преподаватель кафедры математики СКГУ им. М.Козыбаева, Петропавловск 
 
Пусть 


N
,  обозначим  через  M
n
  множество  всех  непустых  подмножеств  из 
{1,2,...,N},    M 

  M
n
  фиксированное  семейство  множеств,  которое  назовем  сетью.  Для 
N
i
i
a
a
1
}
{


  определим числа:  
,
,
1
,
|
|
1
max
)
(
|
|,
N
k
a
e
M
a
e
m
m
k
e
M
e
k






 
 где  |e| - количество элементов множества e. 
Заметим, что 
N
k
k
M
a
1
)}
(
{

 монотонно невозрастающая конечная последовательность.  
Пусть  
.
1
,
1






q
p
 
Определим семейство конечномерных пространств  





N
a
a
M
n
N
k
k
N
q
p
},
}
{
{
)
(
1
,
 
с нормой при 



q
1
 
,
)
(
1
1
1
/
)
(
,
q
N
k
q
k
p
q
M
n
M
a
k
a
N
q
p










 
и при 


q
 
).
(
max
1
1
)
(
,
M
a
k
a
k
p
N
k
M
n
N
q
p



 

 
43 
Данные  пространства  являются  конечномерными  аналогами  сетевых  пространств, 
введенных в [1]. 
Пусть 
.
1
,
1






q
p
  Определим  семейство  конечномерных  пространств 
Лоренца 





N
a
a
l
N
k
k
N
q
p
},
}
{
{
1
,
 
с нормой при 



q
1
 
,
)
(
1
1
1
/
,
q
N
k
q
k
p
q
l
a
k
a
N
q
p











 
при 


q
 
,
max
1
1
,




k
p
N
k
l
a
k
a
N
q
p
 
где  
N
k
k
a
1
}
{


 невозрастающая перестановка последовательности 
N
k
k
a
1
|}
{|

. 
Определим  метод  комплексной  интерполяции.  Для  заданной  пары 


1
0
, A
A
A

 
рассмотрим  пространство  S
 
A
,  состоящее  из  всех  функций 
f
  со  значениями  в 
 

A , 
ограниченных и непрерывных в полосе 
},
1
Re
0
:
{



z
z
S
 
аналитичных в открытой полосе 
}
1
Re
0
:
{
0



z
z
S
 
и таких, что отображение  
),
(
it
j
f
t


 
где 
1
,
0

j
  является  непрерывным  на  вещественной  оси  функцией  со  значениями  в 
j
A
, 
стремящимися к 0 при 
.
|
|


t
   
Очевидно, S
 
A
 - векторное пространство с нормой 
.
)
1
(
sup
)
(
sup
max
1
0
,
)
A
(








A
t
A
t
it
f
it
f
f

 
Пространство S  банахово. Действительно, предположим, что 



n
n
f
.
||
||

 
В силу ограниченности 
)
(z
f
n
 в  
 

A ,  имеем  


.
||
)
1
(
||
sup
,
||
)
(
||
sup
max
||
)
(
||
)
(
)
(
)
(





A
n
A
n
A
n
it
f
it
f
z
f
 
Поскольку 


),
(A
A
j
 мы заключаем, что  
.
||
||
||
)
(
||
)
(

n
A
n
f
z
f


 
Известно,  что 


)
(A
банахово  пространство.  Отсюда  следует,  что  ряд 

n
n
f
  сходится  в 

)
(A   равномерно  на  S   к  некоторой  функции 
).
(z
f
  Ясно,  что  эта  функция  ограничена  и 
непрерывна в   S  и аналитична в 
.
0
S
 Далее,  

||
||
||
)
(
||
n
A
n
f
it
j
f
j


 
и, значит, ряд 


n
n
it
j
f
)
(
 равномерно по 
t  сходится в 
j
A
 к некоторому элементу, который 
должен совпадать с суммой ряда в  

)
(A . Следовательно, 
j
A
it
j
f


)
(
 и ряд  


n
n
it
j
f
)
(
 

 
44 
равномерно  сходится  к   
)
(
it
j
f

  в  норме 
.
j
A
  Но  отсюда  вытекает,  что 

f
S  и  что 

n
n
f
 
сходится к 
f
 в норме пространства S. 
Интерполяционный  функтор 

C
  определяется  следующим  образом:  пространство 
1
0
),
(
]
[






A
C
A
, состоит из всевозможных элементов 


)
(A
a
, таких, что 
)
(

f
a

 
для некоторой функции 

f
 S 
)
( A
, с нормой 
 


.
,
)
(
:
||
||
inf
||
||
]
[







f
a
f
f
a
 
 

жүктеу/скачать 8,59 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: