ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО, ОСЕСИММЕТРИЧНОГО

 
61 
                              
 
 
 















































,
sin
cos
sin
cos
)
(
cos
cos
sin
sin
)
(















U
Cr
dt
d
U
U
U
rp
A
C
Aq
dt
d
U
U
U
qr
C
A
Ap
dt
d
                              (1.4) 
где 



,
,
 
–  углы  Эйлера.  Рассматриваемая  система  уравнений  замыкается 
кинематическими уравнениями Эйлера 
                               
,
cos
,
sin
sin
cos
,
cos
sin
sin

























r
q
p
                                                                              (1.5) 
 p,  q,  r  –  проекции  угловой  скорости  вращения  спутника  на  оси  собственной  системы 
координат.  Уравнения  (1.2),  (1.4),  (1.5)  и  выражения  (1.1),  (1.3)  определяют  совместное 
поступательно – вращательное движение спутника в неограниченной постановке. 
 
В  настоящей  работе  рассматривается  только  ограниченная  постановка. 
Предполагается,  что    движение  центра  инерции  спутника  можно  рассмотреть  отдельно  от 
вращательного  движения  спутника  вокруг  центра  инерции.  При  этом  ограничивается  в 
силовой  функции  (1.3)  только  первым  членом.  Тогда  поступательное  движение  центра 
инерции  спутника  относительно  центра  инерции  шара  в  рассматриваемой  задаче 
определяется  задачей  Гюльдена-Мещерского.  С  учетом  этих  ограничений,  уравнение  (1.2) 
запишется в виде 
                                
.
,
,
3
3
3
z
R
m
f
z
y
R
m
f
y
x
R
m
f
x












                                       (1.6) 
                                
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
0
2
0
1
0
0
2
1
t
m
t
m
t
m
m
t
m
t
m
t
m
m






,                      (1.7) 
0
t
-  начальный момент времени. Общее решение  уравнения (1.6) при произвольных законах 
изменения массы (1.7) неизвестно [6]. Поэтому определяется общее приближенное решение 
задачи (1.6), (1.7) методами теории возмущений.   
 
Уравнения  движения  (1.6)  рассматривается  как  возмущенное  апериодическое 
движение  по  эллипсу,  при  наличии  соответствующей  возмущающей  силы,  как  это  было 
впервые  представлено  Т.Б.Омаровым  [12]  и  J.D.Hadjidemetriou  [13].  Тогда  уравнение 
движения в оскулирующих элементах имеет известный вид [1,14] 
             
,
sin
,
)
cos
(
,
1
)
cos
2
1
(
2
2
m
m
e
m
m
e
e
m
m
e
e
e
a
a




















                       (1.8)     
             
.
,
,
sin
)
1
(
)
cos
1
(
)
1
(
0
0
2
2
2
const
const
i
i
m
m
e
e
a
e
e
a
fm


















                   
Если  разлагать  правые  части  уравнения  (1.8)  в  ряд  и  осреднить  по  быстрой 
переменной,  то  получатся  эволюционные  уравнения  решения  которых  можно  написать 
следующим образом 
                                 
,
,
)
(
)
(
0
const
e
e
const
a
t
m
t
m
a
эвол
эвол




                                              (1.9)       
.
,
,
0
0
const
i
i
const
const
эвол










                        (1.10) 
Обозначается 







эвол
эвол
.  Тогда  решение  уравнения  (1.6),  (1.7)  в  приближении 
(1.9), (1.10) можно написать следующим образом 

 
62 
                                 
,
)
1
(
,
cos
1
2
1
e
a
p
e
p
R





                                                              (1.11) 
               




.
)
(
,
cos
1
1
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2
/
3
0
0
2
2
/
3
2
0
2
0
1
0
a
t
fm
n
e
e
n
t
m
t
m
R
t
m
t
m
R
















             (1.12) 
При 
1
0


e
  формула  (1.11)  характеризует  эллиптическую  траекторию  [12-14]  с 
параметром 
p
  и  с  большой  полуосью 
a
.  Соответственно,  соотношения  (1.12)  при 
возрастании (или убывании) 
),
(t
m
что и предположим, определяет эллиптический спираль по 
которой центр инерции спутника движется апериодически [2,5]. 
Таким образом в настоящей работе ставится ограниченная задача о вращательном 
движении нестационарного, осесимметричного спутника вокруг центра инерции.  
2.1Уравнение  возмущенного  вращательного  движения.  Вращательное  движение 
спутника  вокруг  собственного  центра  инерции  исследуем  также  методом  оскулирующих 
элементов. Уравнения описываются аналогами переменных Белецкого-Черноусько [15,16] 
                                                   
L
, 

, 

, 

, 

, 
,

                                                                (2.1)   
где 
L
L


  -  модуль  вектора  кинетического  момента 
L

  спутника  относительно 
собственного  центра  масс 
2
O
  в  системе  координат 

O
.  При  выполнении  условии  1-5, 
пункта  1,  за  невозмущенное  вращательное  движение  принимается  свободное  вращательное 
движение нестационарного спутника по инерции вокруг собственного центра масс [17].  
 
Вводится невращающаяся система координат 

2
O
 с началом в центре инерции 
2
O
 
спутника,  с  осями  параллельными  осям  системы 
1
1
1
1
z
y
x
O
  –  «перигейная»  орбитальная 
система  координат  [15].  Система  вместе  с  центром  инерции  спутника  движется 
поступательно, как было выше отмечено согласно (1.11)-(1.12), по эллиптической спирали.  
Вращательную  систему  координат,  оси  которой  направлены  вдоль  осей  инерции 
спутника и жестко связаную со спутником, обозначим 






2
O
.  
Рассматривается следующая  система координат 
L
L
L
O
2
1
2
, которая связана с вектором 
кинетического  момента  L

  вращательного  движения  спутника  вокруг  собственного  центра 
инерции.  Ось 
L
O
2
  направлена  вдоль  вектора  L

.  В  плоскости 
L
O

2
  проводится  ось 
1
2
L
O
, 
перпендикулярная  вектору  L

  и  составляющая  тупой  угол  с  осью 

2
O
.  Далее  строится  ось 
2
2
L
O
, которая дополняет оси
1
2
L
O
и 
L
O
2
 до правой системы координат. 
Взаимное  расположение  трех  введенных  систем  координат,  так  же,  как  и  в 
соответствующей  стационарной  задаче  [15], определяется  двумя  матрицами направляющих 
косинусов 
                                             










3
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
      
k
k
k
n
n
n
l
l
l
L
L
L
i
i
i



             













33
32
31
23
22
21
13
12
11
2
1












L
L
L
i
i
i
 
В выражении силовой функции (1.3) ограничивается следующим приближением  
                                  
.
))
(
)
(
(
2
)
(
)
(
)
(
3
1
2
1
3
2
2
1
W
t
A
t
C
R
t
fm
R
t
m
t
fm
R
U
R
m
fm
U














    
В  последней  формуле  выражение  возмущающей  функции  через  оскулирующие 
элементы  в  силу  выбора  «перигейной»  системы  координат  и  формул  (1.9)-(1.12) 
выполняется,  аналогично  тому,  как  это  сделано  в  соответствующей  стационарной  задаче 
[15].  Часть  возмущающей  функций  которая  содержит  оскулирующие  элементы 
вращательного движения задается формулой 

 
63 
                                                  




,
)
(
)
(
2
)
(
3
2
3
3
1

t
C
t
A
R
t
fm
W


                                                      (2.2) 
       
.
),
sin(
)
cos
1
(
sin
2
1
)
sin(
)
cos
1
(
sin
2
1
cos
cos
sin
3




















S
S
S
S
      (2.3) 
Рассматривается  уравнения  вращательного  движения  (1.4)  в  системе  переменных 
являющихся аналогами оскулирующих элементов Белецкого-Черноусько (2.1) как уравнения 
возмущенного  движения,  согласно  методу  вариации  произвольных  постоянных.  Уравнения 
возмущенного вращательного движения, в рассматриваемом нестационарном случае задачи, 
выведены  в  работе  [17]  и  по  виду  совпадают  с  известными  уравнениями  соответствующей 
стационарной задачи [15] 
                  




W
L
,      












W
L sin
1

,   


















W
W
L
cos
sin
1

,              
                  













W
L
cos
sin
1

, 




cos
)
(
1
)
(
1
sin
1
L
t
A
t
C
W
L


















,                    (2.4) 
                  


















ctg
W
ctg
W
L
t
A
L
1
)
(

. 
Последняя система, в силу цикличности переменной 
,

согласно (2.2)-(2.3), имеет интеграл  
                                                         
.
cos
const
L


                                                                (2.5) 
3.  Невозмущенное  вращательное  движение  –  аналог  уравнения  Уиттекера.  В 
рассматриваемой  задаче  при  отсутствии  возмущений  (W=0),  уравнения  вращательного 
движения легко интегрируются [17]. Уравнения невозмущенного вращательного движения – 
аналог уравнений Уиттекера имеют вид  
                                           
,
0
,
0
,
0
,
0











L
                                            (3.1) 
                                           
),
(
cos
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
t
L
t
C
t
A
t
C
t
A









                                                          (3.2) 
                                           
),
(
)
(
0
t
t
A
L






                                                                           (3.3) 
где  моменты  инерции  второго  порядка  спутника  А(t)  и  С(t)  предполагаются  заданными 
известными функциями времени.  
Система  (3.1)-(3.3)  описывает  невозмущенное  движение  при  любых  законах 
изменения моментов инерции второго порядка А(t) и С(t) спутника, при выполнении условии 
1-5,  пункта  1.  В  частности,  когда  эллипсоид  инерции  спутника  переходит  через  сферу,  из 
формулы (3.2) видно, что 
)
(t


 - угловая скорость угла собственного вращения может менять 
знак.  Это  свойство  невозмущенного  вращательного  движения  является  важным,  так  как 
спутник меняет направление вращения.  
 
4.1  Эволюционные  уравнения.  Предполагается,  что  между  поступательным  и 
вращательным движениями отсутствует резонанс. Тогда дважды осредненная возмущающая 
функция W, определяемая формулой (2.2), задается выражением [5] 
                




0
2
0
2
0
2
2
/
3
2
3
3
1
sin
)
1
cos
3
(
sin
2
)
1
(
)
(
8
)
(
)
(
)
(
3
~









e
a
t
t
C
t
A
t
fm
W
,   
.
)
(
)
(
)
(
0
t
m
t
m
t


           (4.1) 
Таким образом, из соотношений (4.1) и (2.4) получается   
    
,
,
,
0
0
0
const
const
const
L
L
эвол
эвол
эвол










,                           (4.2) 

 
64 
         






),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
4
cos
1
cos
3
3
3
1
0
2
/
3
2
0
3
0
0
0
2
t
t
t
m
t
A
t
C
L
e
a
f
эвол
эвол













                                      (4.3) 
         






),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
cos
)
(
)
(
1
4
cos
sin
3
2
3
0
0
3
1
0
2
/
3
2
0
3
0
0
0
2
t
t
C
t
A
t
A
t
C
L
t
t
m
L
e
a
f
эвол
эвол
























           (4.4) 
         


).
(
)
(
)
(
))
(
)
(
(
cos
cos
6
cos
cos
)
1
(
4
3
)
(
3
1
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
/
3
2
0
3
0
0
t
t
t
m
t
C
t
A
L
e
a
f
t
A
L
эвол
эвол



















                    (4.5) 
 
Особенности  полученных  эволюционных  уравнении  в  том,  что  их  правые  части 
являются явными функциями времени .    

жүктеу/скачать 8,59 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: