Функцияның шегі және оның қасиеттері. Монотонды функцияның шегі. Егер кез келген ε >0 саны үшін δ(ε)>0 саны табылып теңсіздігі үшін орындалса, онда А саны y=f(x) функциясының xa ұмтылғандағы шегі деп аталады. Бұл жағдайда жазылады.
A саны y = f(x)функциясының шегі деп атайды (x →∞), егер M(ε)>0 табылып үшін теңсіздігі орындалса.
Бұл жағдайда оны мына түрде жазады Практикада шектерді есептеу келесі теоремаларға негізделеді:
, мұндағы с – тұрақты.
мұндағы с – тұрақты.
Егер және болса, онда
, егер g(x) ≠ 0
Бір жақты шектер. Егер x және x → a болса, онда шарт бойынша x →a – 0 жазылады, керісінше, егер x >a және x →a болса, онда оны x →a+0 түрінде жазылады.
және сандарын сәйкес a нүктесіндегі f(x) функциясының сол жақтағы шегі және a нүктесіндегі f(x) функциясының оң жақтағы шегі деп аталады. (егер ондай нүктелер бар болса) x →a f(x) функциясының шегі бар болуы үшін f(a-0) = f(a+0) теңдігі орындалуы қажетті және жеткілікті.
Теорема. (a,b) интервалындағы кемімейтін (өспейтін) функцияның x →b ұмтылғандағы шегі бар болуы үшін оның жоғарыдан (төменнен) шенелген болуы қажетті және жеткілікті.
Тамаша шектер. е саны. 1) қарастырық, мұндағы Pn(x) және Qm(x) – n және m дәрежелі көпмүшеліктер.
түрлендірейік, онда
Ескерту 2.e = 2.71828182845… - саны иррационалды болады, себебі натурал логарифмнің негізі болып табылады. lnx = logex Ескерту 3 Басқа логарифмдермен байланыс келесі формуламен анықталады:
