Жиын ұғымы. Жиындарға қолданатын амалдар. Сандық жиындар
жүктеу/скачать 0,59 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Үздіксіз функциялардың қасиеттері.
| Функцияның үздіксіздігі.
Егер: f(x) функция a нүктеде анықталса; шегі бар болса; ол шек сол a нүктедегі функция мәніне тең болса, яғни онда f(x) функциясы a нүктесінде үздіксіз деп аталады. Егер осы шарттың ең болмағанда біреуі орындалмай қалса, онда ол функция a нүктесінде үзілісті деп аталады, ал a нүктесінің өзін үзіліс нүктесі деп атайды. Функцияның үзілісті нүктесін оның сипатына қарай келесі түрлерге бөлуге болады: 1. Егер бар болса, бірақ f(x) функциясы a нүктесінде анықталмаған немесе анықталған, бірақ болса, онда a нүктесі жойылмалы нүкте деп аталады. 2. Егер болмаса, бірақ бір – біріне тең емес екі жақты шектері бар болса, онда a нүктесі бірінші текті үзіліс нүктесі деп аталады, ал айырмасы a нүктесіндегі f(x) функциясының секірмесі деп аталады. 3. Егер бір шектердің ең болмағанда біреуі болмаса, (дербес жағдайда шексіздікке тең), а нүктесі екінші текті үзіліс нүктесі деп аталады. Бірінші және екінші текті үзіліс нүктелерді жойылмайтын нүктелер деп атайды. Егер f(x) функциясы үшін шектеулі шектер бар болса және a нүктесіндегі f(x) функциясының үздіксіздігі үшін f(a) = f(a-0) = f(a-0) болуы қажетті және жеткілікті. Егер функция кейбір облыстың әрбір нүкесінде үзіліссіз болса, онда ол осы облыста үздіксіз деп аталады. Үздіксіз функциялардың қасиеттері. Функцияның үздіксіздігін зерттеуде келесі теоремаларға сүйену керек: 1) Кейбір облыста үздіксіз функцияның шенелген санның қосындысы мен көбейтіндісіде де осы облыста үздіксіз функция болады. 2) Кейбір облыстағы, екі үздіксіз функцияның бөліндісі осы обылыста да бөлімі нөлге айналмайтын аргументтің барлық мәнініде де үздіксіз болатын функция. 3) Егер (a,b) интервалында f(x) функциясы үздіксіз болса, мұндағы мәндер жиыны (A,B) аралығының құрамында және φ(x) функциясы (A,B) аралығында үздіксіз болса, онда φ[f(x)] күрделі функциясы (a,b) интервалында үздіксіз болады. [a,b] кесіндісінде үзіліссіз f(x) функциясы келесі қасиеттерге ие: 10. Вейерштрасстың бірінші теоремасы. f(x) функциясы [a,b] аралығында анықталған және үздіксіз болса, онда [a,b] – да шенелген функция болады, яғни қандай да бір M саны табылып, a ≤ x ≤ b, болғанда f(x) < N болады. 20. Вейерштрасстың екінші теоремасы. Егер f(x) функциясы [a,b] аралығында анықталған және үздіксіз болса, онда [a,b] – да өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды. 30. Больцано – Коши бірінші теоремасы: Егер f(x) [a,b] аралығында анықталған және үздіксіз болып, оның кесіндінің ұшындағы қабылдайтын мәндерінің таңбасы әр түрлі болса, онда ол аралықтың бойынан функцияны нольге айналдыратын (f(с) =0, a 40. Больцано – Коши екінші теоремасы: Егер f(x) функциясы [a,b] аралығында анықталған және үздіксіз болып, f(а) = A және f(b) = B (A ≠ B) болса, онда A және B сандарының аралығынан f(с) =С (a Теорема. (Вейерштрасс) кез келген кесіндіде үзіліссіз функция шенелген және төменнен , жоғарыдан шенелген болады. Анықтама. y= f(x) функциясы х нүктесінде үздіксіз болатын болса, онда мұндағы . Лемма. Егер f(x) функциясы X жиынында қатаң түрдегі өсетін және f(x) = Y болса, онда f -1 кері функциясы Y жиынында бір мәнді қатаң түрдегі өсетін функция болып табылады. Теорема. Егер f(x) функциясы [a,b] – да қатаң түрдегі өсетін және үзіліссіз f(a) = A, f(b) = B болса, онда f([a,b]) = [A,B] болады және кері функция [A,B] –дағы бір мәнді қатаң түрдегі өсетін үздіксіз функция болады. Теорема. Егер f функциясы (a,b) – да үзіліссіз және қатаң түрдегі өсетін, A = , B = болса, онда f((a,b)) = (A,B) болады және f -1 кері функция (A,B) – дағы бір мәнді қатаң түрдегі өсетін үздіксіз функция болады. жүктеу/скачать 0,59 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|