Компания «Ваш репетитор» Электродинамика

между тучей и землёй. Если этого напряжения будет достаточно для пробоя воздушного про-
межутка, то произойдёт разряд — хорошо известная вам молния.
1.3
Закон сохранения заряда
Вернёмся к примеру электризации трением — натирании палочки тканью. В этом случае па-
лочка и кусок ткани приобретают равные по модулю и противоположные по знаку заряды. Их
суммарный заряд как был равен нулю до взаимодействия, так и остаётся равным нулю после
взаимодействия.
Мы видим здесь закон сохранения заряда, который гласит: в замкнутой системе тел алгеб-
раическая сумма зарядов остаётся неизменной при любых процессах, происходящих с этими
телами:
q
1
+ q
2
+ . . . + q
n
= const.
Замкнутость системы тел означает, что эти тела могут обмениваться зарядами только между
собой, но не с какими-либо другими объектами, внешними по отношению к данной системе.
При электризации палочки ничего удивительного в сохранении заряда нет: сколько заряжен-
ных частиц ушло с палочки — столько же пришло на кусок ткани (или наоборот). Удивительно
то, что в более сложных процессах, сопровождающихся взаимными превращениями элемен-
тарных частиц и изменением числа заряженных частиц в системе, суммарный заряд всё равно
сохраняется!
Например, на рис.
5
показан процесс γ → e
−
+ e
+
, при котором порция электромагнитного
излучения γ (так называемый фотон) превращается в две заряженные частицы — электрон e
−
и позитрон e
+
. Такой процесс оказывается возможным при некоторых условиях — например, в
электрическом поле атомного ядра.
γ
e
−
e
+
Рис. 5. Рождение пары электрон–позитрон
Заряд позитрона равен по модулю заряду электрона и противоположен ему по знаку. За-
кон сохранения заряда выполнен! Действительно, в начале процесса у нас был фотон, заряд
которого равен нулю, а в конце мы получили две частицы с нулевым суммарным зарядом.
Закон сохранения заряда (наряду с существованием наименьшего элементарного заряда)
является на сегодняшний день первичным научным фактом. Объяснить, почему природа ведёт
себя именно так, а не иначе, физикам пока не удаётся. Мы можем лишь констатировать, что
эти факты подтверждаются многочисленными физическими экспериментами.
9

2
Закон Кулона
Взаимодействие неподвижных (в данной инерциальной системе отсчёта) зарядов называется
электростатическим. Оно наиболее просто для изучения.
Раздел электродинамики, в котором изучается взаимодействие неподвижных зарядов, на-
зывается электростатикой. Основной закон электростатики — это закон Кулона.
По внешнему виду закон Кулона удивительно похож на закон всемирного тяготения, кото-
рый устанавливает характер гравитационного взаимодействия точечных масс. Закон Кулона
является законом электростатического взаимодействия точечных зарядов.
Точечный заряд — это заряженное тело, размеры которого много меньше других разме-
ров, характерных для данной задачи. В частности, размеры точечных зарядов пренебрежимо
малы по сравнению с расстояниями между ними.
Точечный заряд — такая же идеализация, как материальная точка, точечная масса и т. д.
В случае точечных зарядов мы можем однозначно говорить о расстоянии между ними, не
задумываясь о том, между какими именно точками заряженных тел это расстояние измеряется.
Закон Кулона. Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме пря-
мо пропорциональна произведению абсолютных величин зарядов и обратно пропорциональна
квадрату расстояния между ними.
Эта сила называется кулоновской. Вектор кулоновской силы всегда лежит на прямой, соеди-
няющей заряды. Для кулоновской силы справедлив третий закон Ньютона: заряды действуют
друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.
В качестве примера на рис.
6
показаны силы F
1
и F
2
, с которыми взаимодействуют два
отрицательных заряда.
−
q
1
F
1
−
q
2
F
2
r
Рис. 6. Кулоновская сила
Если заряды, равные по модулю q
1
и q
2
, находятся на расстоянии r друг от друга, то они
взаимодействуют с силой
F = k
q
1
q
2
r
2
.
(1)
Коэффициент пропорциональности k в системе СИ равен:
k = 9 · 10
9
Н
·
м
2
Кл
2
.
Если сравнивать с законом всемирного тяготения, то роль точечных масс в законе Кулона
играют точечные заряды, а вместо гравитационной постоянной G стоит коэффициент k. Мате-
матически формулы этих законов устроены одинаково. Важное физическое отличие заключает-
ся в том, что гравитационное взаимодействие всегда является притяжением, а взаимодействие
зарядов может быть как притяжением, так и отталкиванием.
Так уж вышло, что наряду с константой k имеется ещё одна фундаментальная константа ε
0
,
связанная с k соотношением
k =
1
4πε
0
.
Константа ε
0
называется электрической постоянной. Она равна:
ε
0
=
1
4πk
= 8,85 · 10
−12
Кл
2
Н
·
м
2
.
10

Закон Кулона с электрической постоянной выглядит так:
F =
1
4πε
0
q
1
q
2
r
2
.
(2)
2.1
Принцип суперпозиции
Опыт показывает, что выполнен так называемый принцип суперпозиции. Он состоит из двух
утверждений.
1. Кулоновская сила взаимодействия двух зарядов не зависит от присутствия других заря-
женных тел.
2. Предположим, что заряд q взаимодействует с системой зарядов q
1
, q
2
, . . . , q
n
. Если каж-
дый из зарядов системы действует на заряд q с силой F
1
, F
2
, . . . , F
n
соответственно,
то результирующая сила F , приложенная к заряду q со стороны данной системы, равна
векторной сумме отдельных сил:
F = F
1
+ F
2
+ . . . + F
n
.
Принцип суперпозиции проиллюстрирован на рис.
7
. Здесь положительный заряд q взаимо-
действует с двумя зарядами: положительным зарядом q
1
и отрицательным зарядом q
2
.
+
q
1
−
q
2
q
F
1
F
2
F
Рис. 7. Принцип суперпозиции
Принцип суперпозиции позволяет прийти к одному важному утверждению.
Вы помните, что закон всемирного тяготения справедлив на самом деле не только для точеч-
ных масс, но и для шаров со сферически-симметричным распределением массы (в частности,
для шара и точечной массы); тогда r — расстояние между центрами шаров (от точечной массы
до центра шара). Этот факт вытекает из математической формы закона всемирного тяготения
и принципа суперпозиции.
Поскольку формула закона Кулона имеет ту же структуру, что и закон всемирного тяготе-
ния, и для кулоновской силы также выполнен принцип суперпозиции, мы можем сделать анало-
гичный вывод: по закону Кулона будут взаимодействовать два заряженных шара (точечный
заряд с шаром) при условии, что шары имеют сферически-симметричное распределение за-
ряда; величина r в таком случае будет расстоянием между центрами шаров (от точечного
заряда до шара).
Значимость данного факта мы увидим совсем скоро; в частности, именно поэтому напря-
жённость поля заряженного шара окажется вне шара такой же, как и у точечного заряда.
Но в электростатике, в отличие от гравитации, с этим фактом надо быть осторожным. На-
пример, при сближении положительно заряженных металлических шаров сферическая симмет-
рия нарушится: положительные заряды, взаимно отталкиваясь, будут стремиться к наиболее
11

удалённым друг от друга участкам шаров (центры положительных зарядов будут находиться
дальше друг от друга, чем центры шаров). Поэтому сила отталкивания шаров в данном случае
будет меньше того значения, которое получится из закона Кулона при подстановке вместо r
расстояния между центрами.
2.2
Закон Кулона в диэлектрике
Отличие электростатического взаимодействия от гравитационного состоит не только в наличии
сил отталкивания. Сила взаимодействия зарядов зависит от среды, в которой заряды находятся
(а сила всемирного тяготения от свойств среды не зависит).
Диэлектриками, или изоляторами называются вещества, которые не проводят электриче-
ский ток.
Оказывается, что диэлектрик уменьшает силу взаимодействия зарядов (по сравнению с ва-
куумом). Более того, на каком бы расстоянии друг от друга заряды ни находились, сила их
взаимодействия в данном однородном диэлектрике всегда будет в одно и то же число раз
меньше, чем на таком же расстоянии в вакууме. Это число обозначается ε и называется диэлек-
трической проницаемостью диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость зависит только от
вещества диэлектрика, но не от его формы или размеров. Она является безразмерной величиной
и может быть найдена из таблиц.
Таким образом, в диэлектрике формулы (
1
) и (
2
) приобретают вид:
F = k
q
1
q
2
εr
2
,
F =
1
4πε
0
q
1
q
2
εr
2
.
Диэлектрическая проницаемость вакуума, как видим, равна единице. Во всех остальных
случаях диэлектрическая проницаемость больше единицы. Диэлектрическая проницаемость
воздуха настолько близка к единице, что при расчёте сил взаимодействия зарядов в возду-
хе пользуются формулами (
1
) и (
2
) для вакуума.
12

3
Напряжённость электрического поля
Основной закон электростатики — закон Кулона — позволяет вычислить силу взаимодействия
двух точечных зарядов. Данный закон, однако, ничего не говорит нам о том, каким образом
осуществляется это взаимодействие. Как так получается, что один заряд может действовать на
другой даже на весьма большом расстоянии?
3.1
Дальнодействие и близкодействие
Опыт показывает, что электрические заряды действуют друг на друга даже в отсутствие между
ними вещества, то есть в вакууме. Поэтому долгое время в науке преобладала теория дально-
действия. Эта теория утверждала, что один заряд действует на другой непосредственно, без
участия какого-то промежуточного агента. В частности, изменение взаимного расположения
зарядов приводит к мгновенному изменению силы их взаимодействия.
Теория дальнодействия возникла под влиянием небесной механики, основанной на законах
Ньютона и законе всемирного тяготения. Движение планет рассчитывалось с большой точно-
стью, и вместе с тем не было объяснения того, что такое тяготение. Поэтому господствовала
точка зрения, что гравитационные и электромагнитные силы являются врождённым, первич-
ным свойством материи; эти силы нельзя объяснить на основе каких-то других понятий, и
единственное, что науке доступно — это описывать их свойства. Основные положения теории
дальнодействия были простыми и ясными, а сама теория обладала изяществом и математиче-
ской строгостью. Этой теории придерживалось абсолютное большинство учёных первой поло-
вины XIX столетия.
Противоположной точкой зрения служила теория близкодействия. Согласно этой теории,
для взаимодействия тел нужен промежуточный агент — физический объект, передающий взаи-
модействие от одной точки пространства к другой. В частности, скорость передачи взаимодей-
ствий конечна: при изменении положения одного из зарядов другой заряд «почувствует» это
изменение не сразу, а спустя некоторый интервал времени.
Что же это за промежуточный объект, передающий взаимодействие, если заряды могут
действовать друг на друга сквозь пустоту? Данный вопрос был одним из главных возражений
сторонников дальнодействия, среди которых были крупнейшие физики и математики своего
времени (Кулон, Ампер, Лаплас, Пуассон, Гаусс, Вебер, Кирхгоф).
3.2
Электрическое поле
Тем не менее, теория близкодействия одержала верх. Физическим объектом, передающим вза-
имодействие между зарядами даже сквозь пустоту, оказалось электромагнитное поле. Решаю-
щими здесь оказались идеи и труды двух великих учёных XIX столетия — Фарадея и Максвел-
ла. Экспериментальным подтверждением теории близкодействия явилось открытие электро-
магнитных волн.
Неподвижные заряды не создают магнитного поля; поэтому, пока мы изучаем электроста-
тику, мы будем говорить только об электрическом поле. Итак:
Электрический заряд создаёт вокруг себя электрическое поле, которое, в свою очередь,
действует с некоторой силой на другие заряды.
Электрическое поле не нуждается в какой-то специальной среде, которая являлась бы его
носителем. Оно может возникать как в веществе, так и в вакууме, и является, наряду с веще-
ством, альтернативной формой существования материи.
По современным физическим представлениям электрическое поле является первичным фи-
зическим объектом: мы пока не можем сказать, каково его внутреннее устройство (точно так же
мы не можем сказать, например, из чего состоит электрон). Мы можем лишь изучать свойства
13

электрического поля, устанавливать законы его поведения и использовать эти законы в своих
целях.
Источниками электрического поля являются электрические заряды. Индикатором для об-
наружения поля также является электрический заряд — так называемый пробный заряд. По
действию на пробный заряд мы и можем судить о наличии электрического поля в данной об-
ласти пространства. Кроме того, с помощью пробного заряда мы можем исследовать величину
поля в различных пространственных точках. Разумеется, для этого пробный заряд должен
быть точечным.
Опыт показывает, что сила, с которой поле действует на пробный заряд, прямо пропорцио-
нальна величине заряда. Поэтому отношение силы к заряду уже не зависит от величины заряда
и является характеристикой поля.
Напряжённость электрического поля — это отношение вектора силы F , с которой поле
действует на пробный заряд q, к самому пробному заряду (с учётом его знака):
E =
F
q
.
(3)
Напряжённость поля, как видим, является векторной величиной. В каждой точке простран-
ства электрическое поле характеризуется вектором напряжённости. Поле считается заданным,
если нам известна зависимость вектора напряжённости от координат точки и, вообще говоря,
от времени.
Как следует из определения, напряжённость измеряется в Н/Кл. Общепринятая единица
напряжённости есть В/м. Мы скоро увидим, что это одно и то же.
Если напряжённость поля известна, то формула (
3
) позволяет найти силу, которая действует
на точечный заряд со стороны электрического поля:
F = qE.
Сила и напряжённость, таким образом, являются коллинеарными векторами. Если заряд по-
ложительный, то сила направлена в ту же сторону, что и напряжённость. Если заряд отрица-
тельный, то сила направлена противоположно напряжённости.
Одна из основных задач электростатики – нахождение напряжённости поля, создаваемого
данной системой зарядов. Рассмотрим некотрорые примеры.
3.3
Напряжённость поля точечного заряда
Определение модуля и направления вектора напряжённости поля точечного заряда — это самая
простая и легко решаемая задача.
Рассмотрим положительный точечный заряд q, находящийся в вакууме. Поместим на рас-
стоянии r от него положительный пробный заряд q
0
. Со стороны заряда q на пробный заряд
действует сила отталкивания, поэтому напряжённость поля положительного заряда q направ-
лена от него (рис.
8
):
+
q
q
0
r
E
Рис. 8. Напряжённость поля положительного заряда
Величина силы отталкивания равна:
F =
kqq
0
r
2
.
14

Делим силу на пробный заряд q
0
и находим модуль напряжённости поля заряда q:
E =
kq
r
2
.
(4)
Пусть теперь заряд, создающий поле, будет отрицательным; модуль этого заряда также обо-
значаем q. Сила, действующая на положительный пробный заряд, станет силой притяжения.
Поэтому напряжённость поля отрицательного заряда направлена к нему (рис.
9
):
−
q
q
0
E
r
Рис. 9. Напряжённость поля отрицательного заряда
Модуль напряжённости поля снова находится по формуле (
4
).
Если заряд q находится в среде с диэлектрической проницаемостью ε, то сила его действия
на пробный заряд уменьшается в ε раз:
F =
kqq
0
εr
2
.
Следовательно, в ε раз уменьшается и напряжённость поля:
E =
kq
εr
2
.
(5)
Модуль напряжённости поля точечного заряда q находится по формуле (
4
) в вакууме и
по формуле (
5
) в диэлектрической среде. Вектор напряжённости в данной точке направлен
вдоль прямой, соединяющей точку с зарядом: от заряда при q > 0 и к заряду при q < 0.
По мере удаления от заряда модуль напряжённости поля убывает пропорционально квадра-
ту расстояния от точки наблюдения до заряда. На рис.
10
дано примерное графическое пред-
ставление электрического поля точечного заряда в пространстве (показаны векторы напряжён-
ности поля в различных точках).
+
−
Рис. 10. Векторы напряжённости поля точечного заряда
Рябит в глазах, не правда ли? Ниже мы познакомимся с более удобным способом изображе-
ния поля — линиями напряжённости.
15

3.4
Принцип суперпозиции электрических полей
Начнём со случая двух зарядов. Пусть положительный заряд q
1
создаёт в точке M электри-
ческое поле E
1
, и пусть отрицательный заряд q
2
создаёт в этой же точке поле E
2
. Какое поле
создают в точке M оба заряда вместе?
Поместим в точку M пробный заряд q. Тогда со стороны заряда q
1
на него будет действовать
сила F
1
, а со стороны заряда q
2
— сила F
2
. Согласно принципу суперпозиции, с которым вы
познакомились в предыдущем разделе, на заряд q действует результирующая сила
F = F
1
+ F
2
.
Поделим данное равенство на пробный заряд q:
F
q
=
F
1
q
+
F
2
q
.
С учётом определения (
3
) напряжённости поля получаем:
E = E
1
+ E
2
.
Таким образом, напряжённость результирующего поля в точке M оказывается равна век-
торной сумме напряжённостей полей каждого из зарядов (рис.
11
):
+
q
1
−
q
2
M
E
1
E
2
E
Рис. 11. Принцип суперпозиции полей
Напряжённости полей складываются векторно и в общем случае. В самом деле, поделив
формулу F = F
1
+ F
2
+ . . . + F
n
на пробный заряд q, приходим к общей формулировке принципа
суперпозиции.
Принцип суперпозиции. Пусть заряды q
1
, q
2
, . . . , q
n
по отдельности создают в данной
точке поля E
1
, E
2
, . . . , E
n
. Тогда система этих зарядов создаёт в данной точке поле E,
равное векторной сумме напряжённостей полей отдельных зарядов:
E = E
1
+ E
2
+ . . . + E
n
.
С помощью принципа суперпозиции можно найти напряжённость поля любой системы заря-
дов — разбивая систему на малые заряды, которые можно считать точечными, с последующим
суммированием напряжённостей малых зарядов. Обычно это приводит к достаточно сложным
вычислениям.
16

3.5
Поле равномерно заряженной плоскости
Важным примером системы зарядов является заряженная плоскость. В качестве бесконечной
плоскости мы можем рассматривать любую плоскую пластину, если расстояние от точки, в
которой ищется поле, до пластины много меньше размеров самой пластины.
Заряженная плоскость характеризуется величиной поверхностной плотности заряда. Что это
такое? Возьмём небольшой участок плоскости площадью S. Пусть заряд этого участка равен q.
Тогда поверхностная плотность заряда определяется как отношение заряда к площади:
σ =
q
S
.
Иными словами, поверхностная плотность заряда — это заряд единицы площади.
Поверхностная плотность заряда может меняться от участка к участку. Но если на любом
участке плоскости поверхностная плотность заряда одинакова (σ = const, т. е. заряд распреде-
лён равномерно), то плоскость называется равномерно заряженной.
Вектор напряжённости поля равномерно заряженной плоскости перпендикулярен плоско-
сти; он направлен от плоскости, если плоскость заряжена положительно, и к плоскости, если
плоскость заряжена отрицательно (рис.
12
).
+σ
−σ
Рис. 12. Поле равномерно заряженной плоскости
Самое удивительное заключается в том, что величина напряжённости поля не зависит от
расстояния до плоскости. Она оказывается равна:
E =
σ
2ε
0
.
(6)
Эта формула справедлива для вакуума (мы принимаем её без доказательства). В среде с
диэлектрической проницаемостью ε поле, как обычно, уменьшается в ε раз:
E =
σ
2ε
0
ε
.
(7)
Пример заряженной плоскости важен потому, что мы встречаемся здесь с понятием одно-
родного поля. Электрическое поле в данной области пространства называется однородным,
если вектор напряжённости поля одинаков в каждой точке области. Иными словами, напря-
жённость поля в каждой точке рассматриваемой области имеет одно и то же направление и
неизменную величину.
Поле точечного заряда, например, не является однородным. В самом деле, напряжённость
поля точечного заряда может меняться от точки к точке как по величине, так и по направлению
(она обратно пропорциональна квадрату расстояния до заряда и направлена вдоль прямой, со-
единяющей заряд с точкой наблюдения).
А вот заряженная плоскость создаёт однородное электрическое поле в каждом из полупро-
странств, на которые она разбивает пространство. Напряжённость этого поля вычисляется
по формулам (
6
) или (
7
).
17

3.6
Линии напряжённости электрического поля
Давайте вернёмся к пространственной картине поля точечного заряда. Вместо векторов напря-
жённости в разных точках нарисуем более приятные глазу линии напряжённости (рис.
13
):
+
−
Рис. 13. Линии напряжённости поля точечного заряда
Линии напряжённости идут вдоль векторов напряжённости, указывают направление этих
векторов и даже содержат информацию об их абсолютных величинах: чем гуще расположены
линии напряжённости, тем больше величина напряжённости поля в данной области простран-
ства.
Аналогичную картину линий напряжённости мы можем нарисовать и для заряженной плос-
кости (рис.
14
). Как видим, линии напряжённости однородного поля являются участками
параллельных прямых.
+σ
−σ
Рис. 14. Линии напряжённости поля заряженной плоскости
Линии напряжённости можно провести и в произвольном электрическом поле. Каким обра-
зом? В каждой точке пространства вектор напряжённости поля направлен по касательной
к линии напряжённости. Линии напряжённости как бы «подстраиваются» под векторы напря-
жённости, «обтекая» их по касательной (рис.
15
):
E
E
Рис. 15. Линия напряжённости
Линии напряжённости всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на
отрицательных.
18

4
Потенциал электрического поля
Мы начнём с обсуждения потенциальной энергии, которую имеет заряд в электростатическом
поле. Прежде всего необходимо вспомнить, при каких условиях можно вообще ввести понятие
потенциальной энергии.
4.1
Консервативные силы
Сила называется консервативной (или потенциальной), если работа этой силы не зависит от
формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела.
Пусть, например, тело под действием консервативной силы F переместилось из начальной
точки 1 в конечную точку 2 (рис.
16
). Тогда работа A силы F зависит только от положения
самих точек 1 и 2, но не от траектории движения тела. Например, для траекторий 1 → a → 2
и 1 → b → 2 величина A будет одинаковой.
a
b
1
2
Рис. 16. К понятию консервативной силы
Отметим, что работа консервативной силы по любому замкнутому пути равна нулю. Дей-
ствительно, давайте выйдем из точки 1 по траектории 1 → a → 2 и вернёмся назад по траекто-
рии 2 → b → 1. На первой траектории сила совершит работу A, а на второй траектории работа
будет равна −A. В итоге суммарная работа окажется нулевой.
Так вот, понятие потенциальной энергии можно ввести только в случае консервативной
силы. Потенциальная энергия W — это математическое выражение, зависящее от координат
тела, такое, что работа силы равна изменению этого выражения со знаком минус:
A = −∆W.
(8)
Или, что то же самое:
A = −(W
2
− W
1
) = W
1
− W
2
.
Как видим, работа консервативной силы есть разность значений потенциальной энергии,
вычисленных соответственно для начального и конечного положений тела.
Примеры консервативных сил вам хорошо известны. Например, сила тяжести является кон-
сервативной. Сила упругости пружины тоже консервативна. Именно поэтому мы можем го-
ворить о потенциальной энергии тела, поднятого над землёй, или о потенциальной энергии
деформированной пружины.
А вот сила трения не консервативна: работа силы трения зависит от формы траектории и
не равна нулю на замкнутом пути. Поэтому не существует никакой «потенциальной энергии
тела в поле силы трения».
19

4.2
Потенциальность электростатического поля
Оказывается, что сила, с которой электростатическое поле действует на заряженное тело, также
является консервативной. Работа этой силы, совершаемая при перемещении заряда, называется
работой электростатического поля. Имеем, таким образом, важнейший факт:
Работа электростатического поля не зависит от формы траектории, по которой пере-
мещается заряд, и определяется лишь начальным и конечным положениями заряда. Работа
поля по замкнутому пути равна нулю.
Этот факт называется также потенциальностью электростатического поля. Как и поле
силы тяжести, электростатическое поле является потенциальным. Работа электростатического
поля одинакова для всех путей, по которым заряд может двигаться из одной фиксированной
точки пространства в другую.
Строгое математическое доказательство потенциальности электростатического поля выхо-
дит за рамки школьной программы. Однако «на физическом уровне строгости» мы можем
убедиться в справедливости этого факта с помощью следующего простого рассуждения.
Нетрудно видеть, что если бы электростатическое поле не было потенциальным, то можно
было бы построить вечный двигатель! В самом деле, тогда существовала бы замкнутая тра-
ектория, при перемещении заряда по которой поле совершало бы положительную работу (и
при этом никаких изменений в окружающих телах не происходило бы). Крутим себе заряд по
этой траектории, черпаем неограниченное количество энергии ниоткуда — и все энергетические
проблемы человечества решены :-) Но такого, увы, не наблюдается — это вопиющим образом
противоречит закону сохранения энергии.
Так как электростатическое поле потенциально, мы можем говорить о потенциальной энер-
гии заряда в этом поле. Начнём с простого и важного случая.
4.3
Потенциальная энергия заряда в однородном поле
Потенциальная энергия тела, поднятого над землёй, равна mgh. Случай заряда в однородном
поле оказывается очень похожим на эту механическую ситуацию.
Рассмотрим однородное электростатическое поле E, линии напряжённости которого направ-
лены вдоль оси X (рис.
17
). Пусть положительный заряд q перемещается вдоль силовой линии
из точки 1 (с координатой x
1
) в точку 2 (с координатой x
2
).
X
E
E
0
1
2
x
1
x
2
q
F
Рис. 17. Перемещение заряда в однородном поле
Поле действует на заряд с силой F , которая направлена вдоль линий напряжённости. Работа
этой силы, как легко видеть, будет равна:
A = F (x
2
− x
1
) = qE(x
2
− x
1
).
20

Что изменится, если точки 1 и 2 не лежат на одной линии напряжённости? Оказывается,
ничего! Формула для работы поля останется той же самой. Убедимся в этом с помощью рис.
18
.
X
E
E
0
1
2
x
1
x
2
3
Рис. 18. Перемещение заряда в однородном поле
Двигаясь из точки 1 в точку 2, давайте выберем путь 1 → 3 → 2, где точка 3 лежит на одной
силовой линии с точкой 1. Тогда работа A
32
на участке 32 равна нулю — ведь мы перемещаемся
перпендикулярно силе. В результате получим:
A = A
13
+ A
32
= A
13
= qE(x
2
− x
1
).
Мы видим, что работа поля зависит лишь от абсцисс начального и конечного положений заряда.
Запишем полученную формулу следующим образом:
A = qEx
2
− qEx
1
= −((−qEx
2
) − (−qEx
1
)) = −(W
2
− W
1
) = −∆W.
Здесь W
1
= −qEx
1
, W
2
= −qEx
2
. Работа поля, в соответствии с формулой (
8
), оказывается
равна изменению со знаком минус величины
W = −qEx.
(9)
Эта величина и есть потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле.
Через x обозначена абсцисса точки, в которой ищется потенциальная энергия. Нулевой уровень
потенциальной энергии в данном случае соответствует началу координат x = 0 и на рисунках
изображён пунктирной линией, перпендикулярной линиям напряжённости
4
.
Напомним, что пока считается q > 0. Из формулы (
9
) следует, что при движении заряда
вдоль силовой линии потенциальная энергия убывает с ростом x. Это естественно: ведь поле
совершает положительную работу, разгоняя заряд, а кинетическая энергия заряда растёт за
счёт убыли его потенциальной энергии.
Несложно показать, что формула (
9
) остаётся справедливой и для q < 0. В этом случае
потенциальная энергия возрастает с ростом x. Это тоже понятно: ведь сила, с которой поле
действует на заряд, теперь будет направлена влево, так что движение заряда вправо будет
осуществляться против действия поля. Заряд тормозится полем, кинетическая энергия заряда
уменьшается, а потенциальная энергия — увеличивается.
Итак, важный вывод: в формуле для потенциальной энергии через q обозначается алгебра-
ическая величина заряда (с учётом знака), а не его модуль.
4
На самом деле нулевой уровень потенциальной энергии можно выбирать где угодно. Иными словами, потен-
циальная энергия определена лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной C, т. е. W = −qEx+C.
Ничего страшного в такой неопределённости нет: физическим смыслом обладает на потенциальная энергия сама
по себе, а разность потенциальных энергий, равная работе поля. В этой разности константа C сократится.
21

4.4
Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов
Пусть два точечных заряда q
1
и q
2
находятся в вакууме на расстоянии r друг от друга. Можно
показать, что потенциальная энергия их взаимодействия даётся формулой:
W =
kq
1
q
2
r
.
(10)
Мы принимаем формулу (
10
) без доказательства. Две особенности данной формулы следует
обсудить.
Во-первых, где находится нулевой уровень потенциальной энергии? Ведь потенциальная
энергия, как видно из формулы (
10
), в нуль обратиться не может. Но на самом деле нулевой
уровень существует, и находится он на бесконечности. Иными словами, когда заряды располо-
жены бесконечно далеко друг от друга, потенциальная энергия их взаимодействия полагается
равной нулю (что логично — в этом случае заряды уже «не взаимодействуют»).
Во-вторых, q
1
и q
2
— это снова алгебраические величины зарядов, т. е. заряды с учётом их
знака.
Например, потенциальная энергия взаимодействия двух одноимённых зарядов будет поло-
жительной. Почему? Если мы отпустим их, они начнут разгоняться и удаляться друг от друга.
Их кинетическая энергия возрастает, стало быть потенциальная энергия — убывает. Но на бес-
конечности потенциальная энергия обращается в нуль, а раз она убывает к нулю, значит — она
является положительной.
А вот потенциальная энергия взаимодействия разноимённых зарядов оказывается отрица-
тельной. Действительно, давайте удалим их на очень большое расстояние друг от друга — так
что потенциальная энергия равна нулю — и отпустим. Заряды начнут разгоняться, сближаясь,
и потенциальная энергия снова убывает. Но если она была нулём, то куда ей убывать? Только
в сторону отрицательных значений.
Формула (
10
) помогает также вычислить потенциальную энергию системы зарядов, если
число зарядов больше двух. Для этого нужно просуммировать энергии каждой пары зарядов.
Мы не будем выписывать общую формулу; лучше проиллюстрируем сказанное простым при-
мером, изображённым на рис.
19
.
q
1
q
2
q
3
c
a
b
Рис. 19. Взаимодействие трёх зарядов
Если заряды q
1
, q
2
, q
3
находятся в вершинах треугольника со сторонами a, b, c, то потенци-
альная энергия их взаимодействия равна:
W =
kq
1
q
2
a
+
kq
2
q
3
b
+
kq
1
q
3
c
.
4.5
Потенциал
Из формулы W = −qEx мы видим, что потенциальная энергия заряда q в однородном поле
прямо пропорциональна этому заряду.
То же самое мы видим из формулы W = kq
1
q
2
/r: потенциальная энергия заряда q
1
, находя-
щегося в поле точечного заряда q
2
, прямо пропорциональна величине заряда q
1
.
22

Оказывается, это общий факт: потенциальная энергия W заряда q в любом электростати-
ческом поле прямо пропорциональна величине q:
W = qϕ.
(11)
Величина ϕ уже не зависит от заряда, является характеристикой поля и называется потенци-
алом:
ϕ =
W
q
.
(12)
Так, потенциал однородного поля E в точке с абсциссой x равен:
ϕ = −Ex.
(13)
Напомним, что ось X совпадает с линией напряжённости поля. Мы видим, что с ростом
координаты x потенциал убывает. Иными словами, вектор напряжённости поля указывает
направление убывания потенциала.
Для потенциала поля точечного заряда q на расстоянии r от него имеем:
ϕ =
kq
r
.
(14)
Единицей измерения потенциала служит хорошо известный вам вольт. Из формулы (
12
)
мы видим, что В = Дж/Кл.
Итак, теперь у нас есть две характеристики поля: силовая (напряжённость) и энергетиче-
ская (потенциал). У каждой из них имеются свои преимущества и недостатки. Какую именно
характеристику удобнее использовать — зависит от конкретной задачи.
4.6
Разность потенциалов
Пусть заряд q перемещается в электростатическом поле из точки 1 в точку 2. Траектория
заряда, напомним, роли не играет — работа поля A от этой траектории не зависит и равна
разности потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках:
A = −∆W = −(W
2
− W
1
) = W
1
− W
2
.
С учётом формулы (
11
) имеем:
A = qϕ
1
− qϕ
2
= q(ϕ
1
− ϕ
2
).
(15)
Здесь ϕ
1
— потенциал поля в точке 1, ϕ
2
— потенциал поля в точке 2. Величина ϕ
1
− ϕ
2
, от
которой зависит работа поля, так и называется: разность потенциалов. Обратите внимание, что
разность потенциалов есть потенциал начальной точки минус потенциал конечной точки,
а не наоборот!
Разность потенциалов называется также напряжением между точками 1 и 2 и обозначается
через U :
U = ϕ
1
− ϕ
2
.
(16)
Наряду с формулой (
15
) получаем тогда:
A = qU.
(17)
Записывая формулы (
15
) и (
17
) в виде:
U = ϕ
1
− ϕ
2
=
A
q
,
(18)
23

получаем полезное истолкование напряжения: напряжение (или разность потенциалов) меж-
ду данными точками — это работа поля по перемещению заряда из начальной точки в ко-
нечную, делённая на величину этого заряда.
Как и потенциальная энергия, потенциал определён с точностью до прибавления произ-
вольной постоянной C: в зависимости от выбора точки, в которой потенциал полагается рав-
ным нулю, эта постоянная примет то или иное значение. Но физическим смыслом обладает
не потенциал сам по себе, а напряжение (разность потенциалов). При вычитании потенциа-
лов константа C сократится, и напряжение будет уже однозначно определённой величиной, не
зависящей от выбора начала отсчёта потенциала.
Выбор точки нулевого потенциала позволяет истолковать в терминах работы сам потенциал.
Действительно, пусть 1 — данная точка, 2 — точка нулевого потенциала. Тогда в формуле (
18
)
имеем: ϕ
1
= ϕ (потенциал в данной точке), ϕ
2
= 0, A = A
0
— работа поля по перемещению
заряда q из данной точки в точку с нулевым потенциалом. В результате:
ϕ =
A
0
q
.
(19)
Таким образом, потенциал поля в данной точке — это работа поля по перемещению заряда
из данной точки в точку нулевого потенциала, делённая на величину этого заряда.
4.7
Принцип суперпозиции для потенциалов
Рассмотрим электрическое поле, создаваемое системой из n заряженных тел. Это поле можно
рассматривать как наложение полей, создаваемых каждым телом в отдельности.
Принцип суперпозиции для потенциалов. Пусть ϕ — потенциал результирующего поля
в данной точке, а ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
n
— потенциалы полей каждого из тел. Тогда:
ϕ = ϕ
1
+ ϕ
2
+ . . . + ϕ
n
.
(20)
Иными словами, потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов
полей, создаваемых каждым из тел в отдельности.
Принцип суперпозиции для потенциалов вытекает из формулы (
19
) и из того факта, что
работа равнодействующей силы есть сумма работ её слагаемых.
4.8
Однородное поле: связь напряжения и напряжённости
Предположим, что положительный заряд q перемещается в однородном электростатическом
поле по направлению силовой линии из точки 1 в точку 2 (рис.
20
). Расстояние между точками
равно d.
E
E
1
2
q
F
Рис. 20. К выводу формулы U = Ed
C одной стороны, работа поля равна произведению силы на путь:
A = F d = qEd.
24

Работа получается положительной, так как сила и перемещение сонаправлены.
C другой стороны, работа поля есть произведение заряда на разность потенциалов между
точками 1 и 2:
A = qU.
(Напряжение также положительно, так как ϕ
1
> ϕ
2
— ведь напряжённость направлена в сто-
рону убывания потенциала.) Приравнивая правые части последних двух формул, получим:
qU = qEd, откуда
U = Ed.
(21)
Эта простая формула позволяет находить напряжение между точками однородного поля E,
находящимися на одной силовой линии; при этом напряжённость поля направлена от начальной
точки к конечной.
Выразим из формулы (
21
) напряжённость:
E =
U
d
.
(22)
Эта формула пригодится нам впоследствии, при нахождении напряжённости поля в конден-
саторе. А сейчас обратим внимание на одно следствие данной формулы: единицей измерения
напряжённости является В/м. Эта единица используется чаще, чем первоначальная Н/Кл.
Что ж, немало вещей пришлось узнать, чтобы понять равенство Н/Кл = В/м :-)
4.9
Эквипотенциальные поверхности
Как вы помните, введение силовой характеристики поля (напряжённости) дало возможность
изображать поле графически — в виде картины линий напряжённости, или силовых линий.
Энергетическая характеристика поля (потенциал) также позволяет дать графическую кар-
тину поля — в виде семейства эквипотенциальных поверхностей.
Поверхность в пространстве называется эквипотенциальной, если во всех точках этой по-
верхности потенциал электрического поля принимает одно и то же значение. Коротко говоря,
эквипотенциальные поверхности — это поверхности равного потенциала.
Например, из формулы ϕ = −Ex мы видим, что эквипотенциальными поверхностями од-
нородного поля являются всевозможные плоскости x = const. Они перпендикулярны линиям
напряжённости. Так, на рис.
21
изображены пять плоскостей — эквипотенциальных поверхно-
стей, отвечающих значениям потенциала ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
, ϕ
4
и ϕ
5
.
E
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
3
ϕ
4
ϕ
5
Рис. 21. Эквипотенциальные поверхности однородного поля
Теперь рассмотрим нашу вторую стандартную ситуацию: поле точечного заряда q > 0.
Потенциал этого поля, как мы уже видели, равен:
ϕ =
kq
r
.
25

Эквипотенциальными поверхностями здесь будут всевозможные сферы r = const. Они так-
же перпендикулярны линиям напряжённости. На рис.
22
показаны четыре такие сферы —
эквипотенциальные поверхности, отвечающие значениям потенциала ϕ
1
, ϕ
2
, ϕ
3
и ϕ
4
.
+
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
3
ϕ
4
Рис. 22. Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда
Оказывается, эквипотенциальные поверхности всегда перпендикулярны линиям напряжён-
ности. Нетрудно понять, почему это так. Предположим, что заряд перемещается по эквипо-
тенциальной поверхности. Работа поля при этом равна нулю: A = q(ϕ
1
− ϕ
2
) = 0, так как
ϕ
1
= ϕ
2
. Значит, угол между перемещением заряда и силой, с которой поле действует на заряд,
всё время остаётся прямым. Иными словами, заряд перемещается перпендикулярно вектору
напряжённости.
26

5
Проводники в электрическом поле
Если полюса батарейки замкнуть металлической проволокой, по ней пойдёт электрический
ток. Заменим проволоку стеклянной палочкой — никакого тока не возникнет. Металл является
проводником, а стекло — диэлектриком.
Проводники отличаются от диэлектриков наличием свободных зарядов — заряженных ча-
стиц, положение которых не связано с какой-то точкой внутри вещества. Свободные заряды
приходят в движение под действием электрического поля и могут перемещаться по всему объ-
ёму проводника.
Проводники — это в первую очередь металлы. В металлах свободными зарядами являются
свободные электроны. Откуда они там берутся? Это особенность металлической связи. Дело в
том, что валентный электрон, находящийся на внешней электронной оболочке атома металла,
весьма слабо связан с атомом. При взаимодействии атомов металла их валентные электроны
покидают свои оболочки, «отправляясь в путешествие» по всему пространству металла
5
.
Проводниками являются также электролиты. Так называются растворы и расплавы, сво-
бодные заряды в которых возникают в результате диссоциации молекул на положительные и
отрицательные ионы. Бросим, например, в стакан воды щепотку поваренной соли. Молекулы
NaCl распадутся на ионы Na
+
и Cl
−
. Под действием электрического поля эти ионы начнут
упорядоченное движение, и возникнет электрический ток.
Природная вода, даже пресная, является проводником из-за растворённых в ней солей
6
(но,
конечно, не таким хорошим, как металлы). Человеческое тело в основным состоит из воды, в
которой также растворены соли (хлориды натрия, калия, кальция, магния). Поэтому наше тело
также служит проводником электрического тока.
Из-за наличия свободных зарядов, способных перемещаться по всему объёму, проводники
обладают некоторыми характерными общими свойствами.
5.1
Поле внутри проводника
Первое общее свойство проводников в электростатическом поле состоит в том, что напряжён-
ность поля внутри проводника везде равна нулю.
Докажем от противного, как в математике. Предположим, что в какой-то области проводни-
ка имеется электрическое поле. Тогда под действием этого поля свободные заряды проводника
начнут направленное движение. Возникнет электрический ток — а это противоречит тому, что
мы находимся в электростатике.
Конечно, такое рассуждение не оставляет ощущения удовлетворённости. Хотелось бы по-
нять, почему обнуляется поле внутри проводника. Давайте попробуем.
Рассмотрим незаряженный проводящий шар, помещённый во внешнее электростатическое
поле E. Для простоты считаем это поле однородным, но наши рассуждения останутся верными
и в общем случае.
Под действием электрического поля E свободные электроны нашего шара скапливаются в
левом его полушарии, которое заряжается отрицательно. Справа остаётся нескомпенсирован-
ный положительный заряд. Возникновение этих зарядов, как вы помните, называется элек-
тростатической индукцией: заряды на поверхности проводника индуцируются (т. е. наводятся)
внешним электростатическим полем. Подчеркнём ещё раз, что происходит реальное разделение
зарядов: если сейчас распилить шар по диаметру в вертикальной плоскости, то получатся два
разноимённо заряженных полушария.
5
В узлах кристаллической решётки остаются положительные ионы. Казалось бы, они должны разлететься
под действием кулоновских сил. Но нет — промежутки между ионами заполнены «газом» свободных электронов,
который играет роль клея, держащего всю кристаллическую решётку
6
Поэтому нельзя купаться во время грозы!
27

Индуцированные заряды создают своё поле E
i
, направление которого внутри шара оказы-
вается противоположным внешнему полю (рис.
23
).
E
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
E
i
Рис. 23. E
i
= E
Перестроение свободных зарядов шара продолжается до тех пор, пока поле E
i
не компенси-
рует полностью внешнее поле E во всей области внутри шара. При наступлении этого момента
(а наступает он почти мгновенно) результирующее поле внутри шара станет равным нулю,
дальнейшее движение зарядов прекратится, и они окончательно займут свои фиксированные
статические положения на поверхности шара.
А что будет в области снаружи шара? Поле E
i
и тут наложится на внешнее поле E, искажая
его тем сильнее, чем ближе к шару расположена точка наблюдения. На больших расстояниях
от шара внешнее поле почти не изменится. В результате картина линий напряжённости будет
иметь примерно следующий вид (рис.
24
).
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
Рис. 24. Поле внутри проводника равно нулю
До сих пор наши рассуждения относились к случаю незаряженного проводника. Что изме-
нится, если проводнику, помещённому в электростатическое поле, сообщить вдобавок некото-
рый заряд q?
Легко понять, что результирующее поле внутри проводника всё равно окажется равным
нулю. В самом деле, заряд q начнёт перераспределяться по поверхности проводника таким об-
разом, что поле E
i
этого заряда внутри проводника будет направлено против внешнего элек-
тростатического поля E. Перераспределение будет продолжаться до тех пор, пока оба поля E
и E
i
не компенсируют друг друга во всей внутренней области проводника.
Таким образом, поле внутри проводника равно нулю вне зависимости от того, заряжен
проводник или нет. Любой проводник, помещённый в электростатическое поле, как бы «вы-
талкивает» внешнее поле из своей внутренней области.
28

5.2
Заряд внутри проводника
Следующий общее свойство проводников состоит в том, что объёмная плотность зарядов внут-
ри проводника везде равна нулю. Сформулируем это более подробно.
Какую бы область внутри проводника мы ни взяли, её суммарный заряд окажется равен
нулю. Нескомпенсированные заряды, если они имеются, располагаются целиком на поверхно-
сти проводника.
Строгое доказательство этого утверждения опирается на фудаментальную теорему Гаусса,
которую в школе не проходят. А неформальное объяснение очень простое: если бы внутри
проводника имелись нескомпенсированые заряды, то они создавали бы там электрическое поле.
Но электрического поля внутри проводника нет — стало быть, нет и зарядов.
Отсюда следует ещё один замечательный факт: если внутри проводника имеется полость,
то поле в этой полости равно нулю. В самом деле, создадим внутри проводника полость, изъяв

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: