Компания «Ваш репетитор» Электродинамика

9
Закон Ома
Рассмотрим некоторый элемент электрической цепи постоянного тока. Это может быть что
угодно — например, металлический проводник, раствор электролита, лампочка накаливания
или газоразрядная трубка.
Будем менять напряжение U , поданное на наш элемент, и измерять силу тока I, протекаю-
щего через него. Получим функциональную зависимость I = I(U ). Эта зависимость называется
вольт-амперной характеристикой элемента и является важнейшим показателем его электри-
ческих свойств.
Вольт-амперные характеристики различных элементов цепи могут выглядеть по-разному.
Очень простой вид имеет вольт-амперная характеристика металлического проводника. Эту за-
висимость экспериментально установил Георг Ом.
9.1
Закон Ома для участка цепи
Оказалось, что сила тока в металлическом проводнике прямо пропорциональна напряжению
на его концах: I ∼ U . Коэффициент пропорциональности принято записывать в виде 1/R:
I =
U
R
.
(46)
Величина R называется сопротивлением проводника. Измеряется сопротивление в омах
(Ом). Как видим, Ом=В/А.
Дадим словесную формулировку закона Ома.
Закон Ома для участка цепи. Сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напря-
жению на этом участке и обратно пропорциональна сопротивлению участка.
Закон Ома оказался справедливым не только для металлов, но и для растворов электроли-
тов.
Сформулированный закон имеет место для так называемого однородного участка цепи —
участка, не содержащего источников тока. Закон Ома для неоднородного участка (на котором
имеется источник тока) мы обсудим позже.
Вольт-амперная характеристика (
46
) является линейной функцией. Её графиком служит
прямая линия (рис.
35
).
U
I
Рис. 35. Вольт-амперная характеристика металлического проводника
По этой причине металлические проводники (и электролиты) называются линейными эле-
ментами. А вот газоразрядная трубка, например, является нелинейным элементом — её вольт-
амперная характеристика уже не будет линейной функцией. Но об этом мы поговорим позднее.
47

9.2
Электрическое сопротивление
А сейчас давайте подумаем вот о чём. Пусть к концам проводника приложено постоянное на-
пряжение U . Тогда на свободные заряды проводника действует сила со стороны стационарного
электрического поля. Раз есть сила — значит, эти заряды должны двигаться с ускорением; ско-
рость их направленного движения будет увеличиваться, а вместе с ней будет возрастать и сила
тока. Но закон Ома гласит, что сила тока будет постоянной. Как же так?
Дело в том, что сила со стороны стационарного поля — не единственная сила, действующая
на свободные заряды проводника.
Например, свободные электроны металла, совершая направленное движение, сталкиваются
с ионами кристаллической решётки. Возникает своего рода сила сопротивления, действующая
со стороны проводника на свободные заряды. Эта сила уравновешивает электрическую силу, с
которой на свободные заряды действует стационарное поле. В результате скорость направлен-
ного движения заряженных частиц не меняется по модулю
15
; вместе с ней остаётся постоянной
и сила тока.
Так что величина R названа сопротивлением не случайно. Она и в самом деле показывает,
в какой степени проводник «сопротивляется» прохождению тока.
9.3
Удельное сопротивление
Возьмём два проводника из одинакового материала с равными поперечными сечениями; пусть
отличаются только их длины. Ясно, что сопротивление будет больше у того проводника, у
которого больше длина. В самом деле, при большей длине проводника свободным зарядам
труднее пройти сквозь него: каждый свободный электрон встретит на своём пути больше ионов
кристаллической решётки. Аналогия такая: чем длиннее заполненная машинами улица, тем
труднее будет через неё проехать.
Пусть теперь проводники отличаются только площадью поперечного сечения. Ясно, что чем
больше площадь, тем меньше сопротивление проводника. Снова аналогия: чем шире шоссе, тем
больше его пропускная способность, т. е. тем меньше его «сопротивление» движению машин.
Опыт подтверждает эти соображения и показывает, что сопротивление проводника прямо
пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади поперечного сечения S:
R = ρ
l
S
.
(47)
Коэффициент пропорциональности ρ уже не зависит от геометрии проводника; он является
характеристикой вещества проводника и называется удельным сопротивлением данного веще-
ства. Величины удельных сопротивлений различных веществ можно найти в соответствующей
таблице.
В каких единицах измеряется удельное сопротивление? Давайте выразим его из форму-
лы (
47
):
ρ =
RS
l
.
Получим:
[ρ] =
Ом · м
2
м
= Ом · м.
Однако такая «теоретическая» единица измерения не всегда удобна. Она вынуждает при
расчётах переводить площадь поперечного сечения в квадратные метры, тогда как на практике
15
Точнее говоря, свободные электроны всё же двигаются равноускоренно, но только в промежутках между
соударениями с ионами кристаллической решётки. В среднем же оказывается, что электроны перемещаются с
постоянной скоростью.
48

чаще всего речь идёт о квадратных миллиметрах (для проводов, например). На такой случай
предусмотрена «практическая» единица:
Ом · мм
2
м
.
В таблице задачника Рымкевича удельное сопротивление даётся как в «теоретических» едини-
цах, так и в «практических».
49

10
Соединения проводников
Есть два основных способа соединения проводников друг с другом — это последовательное и
параллельное соединения. Различные комбинации последовательного и параллельного соедине-
ний приводят к смешанному соединению проводников.
Мы будем изучать свойства этих соединений, но сначала нам понадобится некоторая вводная
информация.
10.1
Резисторы и подводящие провода
Проводник, обладающий сопротивлением R, мы называем резистором и изображаем следую-
щим образом (рис.
36
):
R
Рис. 36. Резистор
Напряжение на резисторе — это разность потенциалов стационарного электрического по-
ля между концами резистора. Между какими именно концами? В общем-то, это неважно, но
обычно удобно согласовывать разность потенциалов с направлением тока.
Ток в цепи течёт от «плюса» источника к «минусу». В этом направлении потенциал стаци-
онарного поля убывает. Напомним ещё раз, почему это так.
Пусть положительный заряд q перемещается по цепи из точки a в точку b, проходя через
резистор R (рис.
37
):
R
a
b
I
Рис. 37. U = ϕ
a
− ϕ
b
Стационарное поле совершает при этом положительную работу A = q(ϕ
a
− ϕ
b
). Так как
q > 0 и A > 0, то и ϕ
a
− ϕ
b
> 0, т. е. ϕ
a
> ϕ
b
.
Поэтому напряжение на резисторе мы вычисляем как разность потенциалов в направлении
тока: U = ϕ
a
− ϕ
b
.
Сопротивление подводящих проводов обычно пренебрежимо мало; на электрических схемах
оно считается равным нулю. Из закона Ома следует тогда, что потенциал не меняется вдоль
провода: ведь если ϕ
a
− ϕ
b
= IR и R = 0, то ϕ
a
= ϕ
b
(рис.
38
):
a
b
I
Рис. 38. ϕ
a
= ϕ
b
Таким образом, при рассмотрении электрических цепей мы пользуемся идеализацией, ко-
торая сильно упрощает их изучение. А именно, мы считаем, что потенциал стационарного
поля изменяется лишь при переходе через отдельные элементы цепи, а вдоль каждого соеди-
нительного провода остаётся неизменным. В реальных цепях потенциал монотонно убывает
при движении от положительной клеммы источника к отрицательной.
50

10.2
Последовательное соединение
При последовательном соединении проводников конец каждого проводника соединяется с на-
чалом следующего за ним проводника.
Рассмотрим два резистора R
1
и R
2
, соединённых последовательно и подключённых к источ-
нику постоянного напряжения U (рис.
39
). Напомним, что положительная клемма источника
обозначается более длинной чертой, так что ток в данной схеме течёт по часовой стрелке.
a
b
c
R
1
R
2
I
U
Рис. 39. Последовательное соединение
Сформулируем основные свойства последовательного соединения и проиллюстрируем их на
этом простом примере.
1. При последовательном соединении проводников сила тока в них одинакова.
В самом деле, через любое поперечное сечение любого проводника за одну секунду будет
проходить один и тот же заряд. Ведь заряды нигде не накапливаются, из цепи наружу не
уходят и не поступают в цепь извне.
2. Напряжение на участке, состоящем из последовательно соединённых проводников, равно
сумме напряжений на каждом проводнике.
Действительно, напряжение U
ab
на участке ab — это работа поля по переносу единичного
заряда из точки a в точку b; напряжение U
bc
на участке bc — это работа поля по переносу
единичного заряда из точки b в точку c. Складываясь, эти две работы дадут работу поля
по переносу единичного заряда из точки a в точку c, то есть напряжение U на всём участке:
U = U
ab
+ U
bc
.
Можно и более формально, без всяких словесных объяснений:
U = U
ac
= ϕ
a
− ϕ
c
= (ϕ
a
− ϕ
b
) + (ϕ
b
− ϕ
c
) = U
ab
+ U
bc
.
3. Сопротивление участка, состоящего из последовательно соединённых проводников, рав-
но сумме сопротивлений каждого проводника.
Пусть R — сопротивление участка ac. По закону Ома имеем:
R =
U
I
=
U
ab
+ U
bc
I
=
U
ab
I
+
U
bc
I
= R
1
+ R
2
,
что и требовалось.
Можно дать интуитивно понятное объяснение правила сложения сопротивлений на одном
частном примере. Пусть последовательно соединены два проводника из одинакового ве-
щества и с одинаковой площадью поперечного сечения S, но с разными длинами l
1
и l
2
.
Сопротивления проводников равны:
R
1
= ρ
l
1
S
,
R
2
= ρ
l
2
S
.
51

Эти два проводника образуют единый проводник длиной l
1
+ l
2
и сопротивлением
R = ρ
l
1
+ l
2
S
= ρ
l
1
S
+ ρ
l
2
S
= R
1
+ R
2
.
Но это, повторяем, лишь частный пример. Сопротивления будут складываться и в самом
общем случае — если различны также вещества проводников и их поперечные сечения.
Доказательство этого даётся с помощью закона Ома, как показано выше.
Наши доказательства свойств последовательного соединения, приведённые для двух провод-
ников, переносятся без существенных изменений на случай произвольного числа проводников.
10.3
Параллельное соединение
При параллельном соединении проводников их начала подсоединяются к одной точке цепи, а
концы — к другой точке.
Снова рассматриваем два резистора, на сей раз соединённые параллельно (рис.
40
).
R
1
R
2
a
b
I
I
1
I
2
U
Рис. 40. Параллельное соединение
Резисторы подсоединены к двум точкам: a и b. Эти точки называются узлами или точками
разветвления цепи. Параллельные участки называются также ветвями; участок от b к a (по
направлению тока) называется неразветвлённой частью цепи.
Теперь сформулируем свойства параллельного соединения и докажем их для изображённого
выше случая двух резисторов.
1. Напряжение на каждой ветви одинаково и равно напряжению на неразветвлённой ча-
сти цепи.
В самом деле, оба напряжения U
1
и U
2
на резисторах R
1
и R
2
равны разности потенциалов
между точками подключения:
U
1
= U
2
= ϕ
a
− ϕ
b
= U.
Этот факт служит наиболее отчётливым проявлением потенциальности стационарного
электрического поля движущихся зарядов.
2. Сила тока в неразветвлённой части цепи равна сумме сил токов в каждой ветви.
Пусть, например, в точку a за время t из неразветвлённого участка поступает заряд q. За
это же время t из точки a к резистору R
1
уходит заряд q
1
, а к резистору R
2
— заряд q
2
.
52

Ясно, что q = q
1
+ q
2
. В противном случае в точке a накапливался бы заряд, меняя по-
тенциал данной точки, что невозможно (ведь ток постоянный, поле движущихся зарядов
стационарно, и потенциал каждой точки цепи не меняется со временем). Тогда имеем:
I =
q
t
=
q
1
+ q
2
t
=
q
1
t
+
q
2
t
= I
1
+ I
2
,
что и требовалось.
3. Величина, обратная сопротивлению участка параллельного соединения, равна сумме ве-
личин, обратных сопротивлениям ветвей.
Пусть R — сопротивление разветвлённого участка ab. Напряжение на участке ab равно U ;
ток, текущий через этот участок, равен I. Поэтому:
U
R
= I = I
1
+ I
2
=
U
R
1
+
U
R
2
.
Сокращая на U , получим:
1
R
=
1
R
1
+
1
R
2
,
(48)
что и требовалось.
Как и в случае последовательного соединения, можно дать объяснение данного правила
на частном примере, не обращаясь к закону Ома.
Пусть параллельно соединены проводники из одного вещества с одинаковыми длинами l,
но разными поперечными сечениями S
1
и S
2
. Тогда это соединение можно рассматривать
как проводник той же длины l, но с площадью сечения S = S
1
+ S
2
. Имеем:
1
R
=
S
ρl
=
S
1
+ S
2
ρl
=
S
1
ρl
+
S
2
ρl
=
1
R
1
+
1
R
2
.
Приведённые доказательства свойств параллельного соединения без существенных измене-
ний переносятся на случай любого числа проводников.
Из соотношения (
48
) можно найти R:
R =
R
1
R
2
R
1
+ R
2
.
(49)
К сожалению, в общем случае n параллельно соединённых проводников компактного ана-
лога формулы (
49
) не получается, и приходится довольствоваться соотношением
1
R
=
1
R
1
+
1
R
2
+ . . . +
1
R
n
.
(50)
Тем не менее, один полезный вывод из формулы (
50
) сделать можно. Именно, пусть сопро-
тивления всех n резисторов одинаковы и равны R
1
. Тогда:
1
R
=
1
R
1
+
1
R
1
+ . . . +
1
R
1
n слагаемых
=
n
R
1
,
откуда
R =
R
1
n
.
Мы видим, что сопротивление участка из n параллельно соединённых одинаковых проводников
в n раз меньше сопротивления одного проводника.
53

10.4
Смешанное соединение
Смешанное сединение проводников, как следует из названия, может являться совокупностью
любых комбинаций последовательного и параллельного соединений, причём в состав этих со-
единений могут входить как отдельные резисторы, так и более сложные составные участки.
Расчёт смешанного соединения опирается на уже известные свойства последовательного и
параллельного соединений. Ничего нового тут уже нет: нужно только аккуратно расчленить
данную схему на более простые участки, соединённые последовательно или параллельно.
Рассмотрим пример смешанного соединения проводников (рис.
41
).
a
b
c
R
1
R
2
R
3
R
4
R
5
U
Рис. 41. Смешанное соединение
Пусть U = 14 В, R
1
= 2 Ом, R
2
= 3 Ом, R
3
= 3 Ом, R
4
= 5 Ом, R
5
= 2 Ом. Найдём силу
тока в цепи и в каждом из резисторов.
Наша цепь состоит из двух последовательно соединённых участков ab и bc. Сопротивление
участка ab:
R
ab
=
R
1
R
2
R
1
+ R
2
=
2 · 3
2 + 3
= 1,2 Ом.
Участок bc является параллельным соединением: два последовательно включённых рези-
стора R
3
и R
4
подключены параллельно к резистору R
5
. Тогда:
R
bc
=
(R
3
+ R
4
)R
5
(R
3
+ R
4
) + R
5
=
(3 + 5) · 2
(3 + 5) + 2
= 1,6 Ом.
Сопротивление цепи:
R = R
ab
+ R
bc
= 1,2 + 1,6 = 2,8 Ом.
Теперь находим силу тока в цепи:
I =
U
R
=
14
2,8
= 5 A.
Для нахождения тока в каждом резисторе вычислим напряжения на обоих участках:
U
ab
= IR
ab
= 5 · 1,2 = 6 B;
U
bc
= IR
bc
= 5 · 1,6 = 8 B.
(Заметим попутно, что сумма этих напряжений равна 14 В, т. е. напряжению в цепи, как и
должно быть при последовательном соединении.)
Оба резистора R
1
и R
2
находятся под напряжением U
ab
, поэтому:
I
1
=
U
ab
R
1
=
6
2
= 3 A;
I
2
=
U
ab
R
2
=
6
3
= 2 A.
54

(В сумме имеем 5 А, как и должно быть при параллельном соединении.)
Сила тока в резисторах R
3
и R
4
одинакова, так как они соединены последовательно:
I
3
= I
4
=
U
bc
R
3
+ R
4
=
8
3 + 5
= 1 A.
Стало быть, через резистор R
5
течёт ток I
5
= I − I
3
= 5 − 1 = 4 A.
55

11
Работа и мощность тока
Электрический ток снабжает нас энергией. Сейчас мы будем учиться эту энергию вычислять.
Откуда вообще берётся эта энергия? Она возникает за счёт работы электрического поля
по передвижению свободных зарядов в проводнике. Поэтому нахождение работы поля — наша
первая задача.
11.1
Работа тока
Рассмотрим участок цепи, по которому течёт ток I. Напряжение на участке обозначим U ,
сопротивление участка равно R (рис.
42
).
R
I
U
Рис. 42. Участок цепи
За время t по нашему участку проходит заряд q = It. Заряд перемещается стационарным
электрическим полем, которое совершает при этом работу:
A = U q = U It.
(51)
За счёт работы (
51
) на рассматриваемом участке может выделяться тепловая энергия или
совершаться механическая работа; могут также протекать химические реакции. Короче говоря,
данная работа идёт на увеличение энергии нашего участка цепи.
Работа (
51
) называется работой тока. Термин крайне неудачный — ведь работу совершает
не ток, а электрическое поле. Но с укоренившейся терминологией, увы, ничего не поделаешь.
Если участок цепи является однородным, т. е. не содержит источника тока, то для этого
участка справедлив закон Ома: U = IR. Подставляя это в формулу (
51
), получим:
A = I
2
Rt.
(52)
Теперь подставим в (
51
) вместо тока его выражение из закона Ома I = U/R:
A =
U
2
R
t.
(53)
Подчеркнём ещё раз: формула (
51
) получена из самых общих соображений, она является
основной и годится для любого участка цепи. А вот формулы (
52
) и (
53
) получены из основной
формулы с дополнительным привлечением закона Ома и потому годятся только для однород-
ного участка.
11.2
Мощность тока
Как вы помните, мощностью называется отношение работы ко времени её совершения. В част-
ности, мощность тока — это отношение работы тока ко времени, за которое эта работа совер-
шена:
P =
A
t
.
56

Из формул (
51
)–(
53
) немедленно получаем соответствующие формулы для мощности тока:
P = U I;
(54)
P = I
2
R;
(55)
P =
U
2
R
.
(56)
11.3
Закон Джоуля–Ленца
Предположим, что на рассматриваемом участке цепи не совершается механическая работа и
не протекают химические реакции. Поскольку сила тока постоянна, работа поля не вызывает
увеличение кинетической энергии свободных зарядов. Стало быть, работа поля A целиком пре-
вращается в тепло Q, которое выделяется на данном участке цепи и рассеивается в окружающее
пространство: A = Q.
Таким образом, для количества теплоты, выделяющегося на данном участке цепи, мы по-
лучаем формулы:
Q = U It;
(57)
Q = I
2
Rt;
(58)
Q =
U
2
R
t.
(59)
Но часто бывает так, что не вся работа тока превращается в тепло. Например, за счёт работы
тока может совершать механическую работу электродвигатель или заряжаться аккумулятор.
Тепло, разумеется, будет выделяться и в этих случаях, но только на сей раз получится, что
Q < A (на величину механической работы, совершённой двигателем, или химической энергии,
запасённой аккумулятором).
Оказывается, что в подобных случаях остаётся справедливой формула (
58
): Q = I
2
Rt. Это —
экспериментально установленный закон Джоуля-Ленца.
57

12
ЭДС. Закон Ома для полной цепи
До сих пор при изучении электрического тока мы рассматривали направленное движение сво-
бодных зарядов во внешней цепи, то есть в проводниках, подсоединённых к клеммам источника
тока.
Как мы знаем, положительный заряд q:
• уходит во внешнюю цепь с положительной клеммы источника;

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: