Компания «Ваш репетитор» Электродинамика

Мы видим, что сторонняя сила является непотенциальной — её работа при перемещении
заряда по замкнутому пути не равна нулю. Именно эта непотенциальность и обеспечивает цир-
кулирование электрического тока; потенциальное электрическое поле, как мы уже говорили
ранее, не может поддерживать постоянный ток.
Опыт показывает, что работа A
ст
прямо пропорциональна перемещаемому заряду q. По-
этому отношение A
ст
/q уже не зависит от заряда и является количественной характеристикой
источника тока. Это отношение обозначается
E:
E =
A
ст
q
.
(60)
Данная величина называется электродвижущей силой (ЭДС) источника тока. Как видим,
ЭДС измеряется в вольтах (В), поэтому название «электродвижущая сила» является крайне
неудачным. Но оно давно укоренилось, так что приходится смириться.
Когда вы видите надпись на батарейке: «1,5 В», то знайте, что это именно ЭДС. Равна ли эта
величина напряжению, которое создаёт батарейка во внешней цепи? Оказывается, нет! Сейчас
мы поймём, почему.
12.2
Закон Ома для полной цепи
Любой источник тока обладает своим сопротивлением r, которое называется внутренним со-
противлением этого источника. Таким образом, источник тока имеет две важных характери-
стики: ЭДС и внутреннее сопротивление.
Пусть источник тока с ЭДС, равной
E, и внутренним сопротивлением r подключён к рези-
стору R (который в данном случае называется внешним резистором, или внешней нагрузкой,
или полезной нагрузкой). Всё это вместе называется полной цепью (рис.
44
).
R
a
b
E, r
Рис. 44. Полная цепь
Наша задача — найти силу тока I в цепи и напряжение U на резисторе R.
За время t по цепи проходит заряд q = It. Согласно формуле (
60
) источник тока совершает
при этом работу:
A
ст
=
Eq = EIt.
(61)
Так как сила тока постоянна, работа источника целиком превращается в теплоту, кото-
рая выделяется на сопротивлениях R и r. Данное количество теплоты определяется законом
Джоуля–Ленца:
Q = I
2
Rt + I
2
rt = I
2
(R + r)t.
(62)
Итак, A
ст
= Q, и мы приравниваем правые части формул (
61
) и (
62
):
EIt = I
2
(R + r)t.
После сокращения на It получаем:
E = I(R + r).
59

Вот мы и нашли ток в цепи:
I =
E
R + r
.
(63)
Формула (
63
) называется законом Ома для полной цепи.
Если соединить клеммы источника проводом пренебрежимо малого сопротивления (R = 0),
то получится короткое замыкание. Через источник при этом потечёт максимальный ток — ток
короткого замыкания:
I
кз
=
E
r
.
Из-за малости внутреннего сопротивления ток короткого замыкания может быть весьма боль-
шим. Например, пальчиковая батарейка разогревается при этом так, что обжигает руки.
Зная силу тока (формула (
63
)), мы можем найти напряжение на резисторе R с помощью
закона Ома для участка цепи:
U = IR =
ER
R + r
.
(64)
Это напряжение является разностью потенциалов между точками a и b (рис. 2). Потенциал
точки a равен потенциалу положительной клеммы источника; потенциал точки b равен потен-
циалу отрицательной клеммы. Поэтому напряжение (
64
) называется также напряжением на
клеммах источника.
Мы видим из формулы (
64
), что в реальной цепи будет U <
E — ведь E умножается на
дробь, меньшую единицы. Но есть два случая, когда U =
E.
1. Идеальный источник тока. Так называется источник с нулевым внутренним сопротивле-
нием. При r = 0 формула (
64
) даёт U =
E.
2. Разомкнутая цепь. Рассмотрим источник тока сам по себе, вне электрической цепи. В
этом случае можно считать, что внешнее сопротивление бесконечно велико: R = ∞. Тогда
величина R + r неотличима от R, и формула (
64
) снова даёт нам U =
E.
Смысл этого результата прост: если источник не подключён к цепи, то идеальный вольт-
метр
16
, подсоединённый к полюсам источника, покажет его ЭДС.
12.3
КПД электрической цепи
Нетрудно понять, почему резистор R называется полезной нагрузкой. Представьте себе, что
это лампочка. Теплота, выделяющаяся на лампочке, является полезной, так как благодаря этой
теплоте лампочка выполняет своё предназначение — даёт свет.
Количество теплоты, выделяющееся на полезной нагрузке R за время t, обозначим Q
полезн
.
Если сила тока в цепи равна I, то
Q
полезн
= I
2
Rt.
Некоторое количество теплоты выделяется также на источнике тока:
Q
ист
= I
2
rt.
Полное количество теплоты, которое выделяется в цепи, равно:
Q
полн
= Q
полезн
+ Q
ист
= I
2
Rt + I
2
rt = I
2
(R + r)t.
КПД электрической цепи — это отношение полезного тепла к полному:
η =
Q
полезн
Q
полн
=
I
2
Rt
I
2
(R + r)t
=
R
R + r
.
КПД цепи равен единице лишь в том случае, если источник тока идеальный (r = 0).
16
Вольтметр называется идеальным, если его сопротивление бесконечно велико. Подключение идеального
вольтметра не приводит к искажениям тока в цепи.
60

12.4
Закон Ома для неоднородного участка
Простой закон Ома U = IR справедлив для так называемого однородного участка цепи — то
есть участка, на котором нет источников тока. Сейчас мы получим более общие соотношения,
из которых следует как закон Ома для однородного участка, так и полученный выше закон
Ома для полной цепи.
Участок цепи называется неоднородным, если на нём имеется источник тока. Иными слова-
ми, неоднородный участок — это участок с ЭДС.
На рис.
45
показан неоднородный участок, содержащий резистор R и источник тока. ЭДС
источника равна
E, его внутреннее сопротивление считаем равным нулю
17
.
a
R
b
E
I
Рис. 45. ЭДС «помогает» току: ϕ
a
− ϕ
b
+
E = IR
Сила тока на участке равна I, ток течёт от точки a к точке b. Этот ток не обязательно
вызван одним лишь источником
E. Рассматриваемый участок, как правило, входит в состав
некоторой цепи (не изображённой на рисунке), а в этой цепи могут присутствовать и другие
источники тока. Поэтому ток I является результатом совокупного действия всех источников,
имеющихся в цепи.
Пусть потенциалы точек a и b равны соответственно ϕ
a
и ϕ
b
. Подчеркнём ещё раз, что речь
идёт о потенциале стационарного электрического поля, порождённого действием всех источни-
ков цепи — не только источника, принадлежащего данному участку, но и, возможно, имеющихся
вне этого участка.
Напряжение на нашем участке равно: U = ϕ
a
− ϕ
b
. За время t через участок проходит заряд
q = It, при этом стационарное электрическое поле совершает работу:
A
поля
= U q = U It.
Кроме того, положительную работу совершает источник тока (ведь заряд q прошёл сквозь
него!):
A
ст
=
Eq = EIt.
Сила тока постоянна, поэтому суммарная работа по продвижению заряда q, совершаемая
на участке стационарным элетрическим полем и сторонними силами источника, целиком пре-
вращается в тепло: A
поля
+ A
ст
= Q. Подставляем сюда выражения для A
поля
, A
ст
и закон
Джоуля–Ленца:
U It +
EIt = I
2
Rt.
Сокращая на It, получаем закон Ома для неоднородного участка цепи:
U +
E = IR,
(65)
или, что то же самое:
ϕ
a
− ϕ
b
+
E = IR.
(66)
Обратите внимание: перед
E стоит знак «плюс». Причину этого мы уже указывали — ис-
точник тока в данном случае совершает положительную работу, «протаскивая» внутри себя
заряд q от отрицательной клеммы к положительной. Попросту говоря, источник «помогает»
току протекать от точки a к точке b.
Отметим два следствия выведенных формул (
65
) и (
66
).
17
Если внутреннее сопротивление источника равно r, можно просто заменить резистор R на резистор R + r.
61

1. Если участок однородный, то
E = 0. Тогда из формулы (
65
) получаем U = IR — закон
Ома для однородного участка цепи.
2. Предположим, что источник тока обладает внутренним сопротивлением r. Это, как мы
уже упоминали, равносильно замене R на R + r:
ϕ
a
− ϕ
b
+
E = I(R + r).
Теперь замкнём наш участок, соединив точки a и b. Получим рассмотренную выше полную
цепь. При этом окажется, что ϕ
a
= ϕ
b
, и предыдущая формула превратится в закон Ома
для полной цепи:
E = I(R + r).
Таким образом, закон Ома для однородного участка и закон Ома для полной цепи оба
вытекают из закона Ома для неоднородного участка.
Может быть и другой случай подключения, когда источник
E «мешает» току идти по участ-
ку. Такая ситуация изображена на рис.
46
. Здесь ток, идущий от a к b, направлен против дей-
ствия сторонних сил источника.
a
R
b
E
I
Рис. 46. ЭДС «мешает» току: ϕ
a
− ϕ
b
−
E = IR
Как такое возможно? Очень просто: другие источники, имеющиеся в цепи вне рассматрива-
емого участка, «пересиливают» источник на участке и вынуждают ток течь против
E. Именно
так происходит, когда вы ставите телефон на зарядку: подключённый к розетке адаптер вызы-
вает движение зарядов против действия сторонних сил аккумулятора телефона, и аккумулятор
тем самым заряжается!
Что изменится теперь в выводе наших формул? Только одно — работа сторонних сил станет
отрицательной:
A
ст
= −
Eq = −EIt.
Тогда закон Ома для неоднородного участка примет вид:
ϕ
a
− ϕ
b
−
E = IR,
(67)
или:
U −
E = IR,
где по-прежнему U = ϕ
a
− ϕ
b
— напряжение на участке.
Давайте соберём вместе формулы (
66
) и (
67
) и запишем закон Ома для участка с ЭДС
следующим образом:
ϕ
a
− ϕ
b
±
E = IR.
Ток при этом течёт от точки a к точке b. Если направление тока совпадает с направлением
сторонних сил, то перед
E ставится «плюс»; если же эти направления противоположны, то
ставится «минус».
62

13
Электрический ток в металлах
В этом разделе мы приступаем к подробному изучению того, как осуществляется прохождение
электрического тока в различных проводящих средах — твёрдых телах, жидкостях и газах.
Напомним, что необходимым условием возникновения тока является наличие в среде доста-
точно большого количества свободных зарядов, которые могут начать упорядоченное движение
под действием электрического поля. Такие среды как раз и называются проводниками элек-
трического тока.
Наиболее широко распространены металлические проводники. Поэтому начинаем мы с во-
просов распространения электрического тока в металлах.
Мы много раз говорили о свободных электронах, которые являются носителями свободных
зарядов в металлах. Вам хорошо известно, что электрический ток в металлическом проводнике
образуется в результате направленного движения свободных электронов.
13.1
Свободные электроны
Металлы в твёрдом состоянии имеют кристаллическую структуру: расположение атомов в про-
странстве характеризуется периодической повторяемостью и образует геометрически правиль-
ный рисунок, называемый кристаллической решёткой.
Атомы металлов имеют небольшое число валентных электронов, расположенных на внеш-
ней электронной оболочке. Эти валентные электроны слабо связаны с ядром, и атом легко
может их потерять.
Когда атомы металла занимают места в кристаллической решётке, валентные электроны
покидают свои оболочки — они становятся свободными и отправляются «гулять» по всему
кристаллу
18
. В узлах кристаллической решётки металла остаются положительные ионы, про-
странство между которыми заполнено «газом» свободных электронов (рис.
47
).
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Рис. 47. Свободные электроны
Свободные электроны и впрямь ведут себя подобно частицам газа
19
— совершая тепловое
движение, они хаотически снуют туда-сюда между ионами кристаллической решётки. Суммар-
ный заряд свободных электронов равен по модулю и противоположен по знаку общему заряду
положительных ионов, поэтому металлический проводник в целом оказывается электрически
нейтральным.
Газ свободных электронов является «клеем», на котором держится вся кристаллическая
структура проводника. Ведь положительные ионы отталкиваются друг от друга, так что кри-
сталлическая решётка, распираемая изнутри мощными кулоновскими силами, могла бы разле-
теться в разные стороны. Однако в то же самое время ионы металла притягиваются к обволаки-
18
А именно, свободные электроны перемещаются по внешним орбиталям соседних атомов. Эти орбитали пе-
рекрываются друг с другом вследствие близкого расположения атомов в кристаллической решётке, так что
свободные электроны оказываются «общей собственностью» всего кристалла.
19
Другой адекватный образ — электронное море, которое «омывает» кристаллическую решётку.
63

вающему их электронному газу и, как ни в чём не бывало, остаются на своих местах, совершая
лишь тепловые колебания в узлах кристаллической решётки вблизи положений равновесия.
Что произойдёт, если металлический проводник включить в замкнутую цепь, содержащую
источник тока? Свободные электроны продолжают совершать хаотическое тепловое движение,
но теперь — под действием возникшего внешнего электрического поля — они вдобавок начнут
перемещаться упорядоченно. Это направленное течение электронного газа, накладывающееся
на тепловое движение электронов, и есть электрический ток в металле
20
. Скорость упорядо-
ченного движения электронов в металлическом проводнике, как нам уже известно, составляет
порядка 0,1 мм/с.
13.2
Опыт Рикке
Почему мы решили, что ток в металлах создаётся движением именно свободных электронов?
Положительные ионы кристаллической решётки также испытывают на себе действие внешнего
электрического поля. Может, они тоже перемещаются внутри металлического проводника и
участвуют в создании тока?
Упорядоченное движение ионов означало бы постепенный перенос вещества вдоль направ-
ления электрического тока. Поэтому надо просто пропускать ток по проводнику на протяжении
весьма длительного времени и посмотреть, что в итоге получится. Такого рода эксперимент и
был поставлен Э. Рикке в 1901 году.
В электрическую цепь были включены три прижатых друг к другу цилиндра: два медных
по краям и один алюминиевый между ними (рис.
48
). По этой цепи пропускался электрический
ток в течение года.
Cu
Al
Cu
+
−
I
Рис. 48. Опыт Рикке
За год сквозь цилиндры прошёл заряд более трёх миллионов кулон. Предположим, что
каждый атом металла теряет по одному валентному электрону, так что заряд иона равен эле-
ментарному заряду e = 1,6 · 10
−19
Кл. Если ток создаётся движением положительных ионов,
то нетрудно подсчитать (сделайте это сами!), что такая величина прошедшего по цепи заряда
соответствует переносу вдоль цепи около 2 кг меди.
Однако после разъединения цилиндров было обнаружено лишь незначительное проникно-
вение металлов друг в друга, обусловленное естественной диффузией их атомов (и не более
того). Электрический ток в металлах не сопровождается переносом вещества, поэтому по-
ложительные ионы металла не принимают участия в создании тока.
13.3
Опыт Стюарта–Толмена
Прямое экспериментальное доказательство того, что электрический ток в металлах создаётся
движением свободных электронов, было дано в опыте Т. Стюарта и Р. Толмена (1916 год).
20
Поэтому свободные электроны называются также электронами проводимости.
64

Эксперименту Стюарта–Толмена предшествовали качественные наблюдения, сделанные че-
тырьмя годами ранее русскими физиками Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси. Они об-
ратили внимание на так называемый электроинерционный эффект: если резко затормозить
движущийся проводник, то в нём возникает кратковременный импульс тока. Эффект объяс-
няется тем, что в течение небольшого времени после торможения проводника его свободные
заряды продолжают двигаться по инерции.
Рис. 49. Опыт Стюарта–Толмена
Однако никаких количественных результатов Ман-
дельштам и Папалекси не получили, и наблюдения их
опубликованы не были. Честь назвать опыт своим име-
нем принадлежит Стюарту и Толмену, которые не толь-
ко наблюдали указанный электроинерционный эффект,
но и произвели необходимые измерения и расчёты.
Установка Стюарта и Толмена показана на рис.
49
.
Катушка большим числом витков металлического про-
вода приводилась в быстрое вращение вокруг своей оси.
Концы обмотки с помощью скользящих контактов были
подсоединены к специальному прибору — баллистиче-
скому гальванометру, который позволяет измерять про-
ходящий через него заряд.
После резкого торможения катушки в цепи возникал
импульс тока. Направление тока указывало на то, что
он вызван движением отрицательных зарядов. Изме-
ряя баллистическим гальванометром суммарный заряд,
проходящий по цепи, Стюарт и Толмен вычислили от-
ношение q/m заряда одной частицы к её массе. Оно ока-
залось равно отношению e/m для электрона, которое в
то время уже было хорошо известно.
Так было окончательно выяснено, что носителя-
ми свободных зарядов в металлах являются свободные
электроны. Как видите, этот давно и хорошо знакомый
вам факт был установлен сравнительно поздно — учитывая, что металлические проводники к
тому моменту уже более столетия активно использовались в самых разнообразных экcперимен-
тах по электромагнетизму
21
.
13.4
Зависимость сопротивления от температуры
Опыт показывает, что при нагревании металлического проводника его сопротивление увеличи-
вается. Как это объяснить?
Причина проста: с повышением температуры тепловые колебания ионов кристаллической
решётки становятся более интенсивными, так что число соударений свободных электронов с
ионами возрастает. Чем активнее тепловое движение решётки, тем труднее электронам проби-
раться сквозь промежутки между ионами
22
. Скорость упорядоченного движения электронов
уменьшается, поэтому уменьшается и сила тока (при неизменном напряжении). Это и означает
увеличение сопротивления.
21
Сравните, например, с датой открытия закона Ома — 1826 год. Дело, однако, заключается в том, что сам
электрон был открыт лишь в 1897 году.
22
Представьте себе вращающуюся проходную дверь. В каком случае труднее проскочить через неё: когда она
вращается медленно или быстро? :-)
65

t
R
0
R
0
Рис. 50. R = R(t)
Как опять-таки показывает опыт, зависимость сопротивле-
ния R металлического проводника от температуры t с хорошей
точностью является линейной:
R = R
0
(1 + αt).
(68)
Здесь R
0
— сопротивление проводника при 0
◦
C. График за-
висимости (
68
) является прямой линией (рис.
50
).
Множитель α называется температурным коэффициентом
сопротивления. Его значения для различных металлов и сплавов можно найти в таблицах.
Длина проводника l и его площадь поперечного сечения S при изменении температуры
меняются несущественно. Выразим R и R
0
через удельное сопротивление:
R = ρ
l
S
,
R
0
= ρ
0
l
S
,
и подставим эти формулы в (
68
). Получим аналогичную зависимость удельного сопротивления
от температуры:
ρ = ρ
0
(1 + αt).
Коэффициент α весьма мал (для меди, например, α = 0,0043), так что температурной зави-
симостью сопротивления металла часто можно пренебречь. Однако в ряде случаев считаться
с ней приходиться. Например, вольфрамовая спираль электрической лампочки раскаляется до
такой степени, что её вольт-амперная характеристика оказывается существенно нелинейной.
U, В
I, А
0
2
4
6
8
10
12
1
2
Рис. 51. Вольт-амперная характеристика лампочки

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: