Компания «Ваш репетитор» Электродинамика

В самом деле, если бы между какой-либо парой точек проводника существовала ненулевая
разность потенциалов, возник бы ток от одной точки к другой — ведь в этом случае электриче-
ское поле совершало бы ненулевую работу по перемещению зарядов между данными точками.
Но в электростатике никакого тока быть не может.
Потенциал какой-либо (и тогда любой) точки проводника называется потенциалом провод-
ника.
Как видим, проводник представляет собой «эквипотенциальный объём». В частности, по-
верхность проводника является эквипотенциальной поверхностью. Это даёт дополнительное
объяснение утверждения предыдущего пункта — мы же знаем, что линии напряжённости элек-
тростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
5.5
Напряжённость и потенциал поля проводящей сферы
Рассмотрим металлическую сферу радиуса R, которой сообщён заряд q. Нас интересуют на-
пряжённость и потенциал электростатического поля, создаваемое сферой в каждой точке про-
странства.
Везде далее сферу можно заменить шаром — от этого ровным счётом ничего не изменится.
Начнём с напряжённости поля. Внутри сферы, как мы уже знаем, напряжённость поля равна
нулю. Вне сферы напряжённость оказывается такой же, как если бы заряд q был точечным и
находился в центре сферы. Итак:
E =



kq
r
2
,
если r
R;
0,
если r < R.
На рис.
25
показаны линии напряжённости поля положительно заряженной сферы и график
зависимости модуля вектора напряжённости от расстояния до центра сферы.
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
E
R
kq
R
2
r
Рис. 25. Напряжённость поля заряженной сферы
Потенциал поля вне сферы равен потенциалу поля точечного заряда q, расположенного
в центре сферы. Внутри сферы потенциал везде одинаков и совпадает с потенциалом точек
поверхности сферы:
ϕ =





kq
r
,
если r
R;
kq
R
,
если r < R.
30

Вот как выглядит график зависимости потенциала положительно заряженной сферы от
расстояния до её центра (рис.
26
):
r
ϕ
R
kq
R
Рис. 26. Потенциал поля заряженной сферы
31

6
Диэлектрики в электрическом поле
В отличие от проводников, в диэлектриках нет свободных зарядов. Все заряды являются свя-
занными: электроны принадлежат своим атомам, а ионы твёрдых диэлектриков колеблются
вблизи узлов кристаллической решётки.
Соответственно, при помещении диэлектрика в электрическое поле не возникает направлен-
ного движения зарядов
7
. Поэтому для диэлектриков не проходят наши доказательства свойств
проводников — ведь все эти рассуждения опирались на возможность появления тока. И дей-
ствительно, ни одно из четырёх свойств проводников, сформулированных в предыдущей статье,
не распростаняется на диэлектрики.
1. Напряжённость электрического поля внутри диэлектрика может быть не равна нулю.
2. Объёмная плотность заряда в диэлектрике может быть отличной от нуля.
3. Линии напряжённости могут быть не перпендикулярны поверхности диэлектрика.
4. Различные точки диэлектрика могут иметь разный потенциал. Стало быть, говорить о
«потенциале диэлектрика» не приходится.
6.1
Диэлектрическая проницаемость
Но тем не менее, одно важнейшее общее свойство у диэлектриков имеется, и вам оно известно
(вспомните формулу напряжённости поля точечного заряда в диэлектрике!). Напряжённость
поля уменьшается внутри диэлектрика в некоторое число ε раз по сравнению с вакуумом.
Величина ε даётся в таблицах и называется диэлектрической проницаемостью диэлектрика.
Давайте разберёмся, каковы причины ослабления поля в диэлектрике. Рассмотрим диэлек-
трик, помещённый во внешнее однородное (для простоты) поле E
0
. Опыт показывает, что на
противоположных поверхностях диэлектрика появляются заряды разных знаков.
E
0
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
E
i
E
0
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
E
Рис. 27. Ослабление поля внутри диэлектрика
Эти индуцированные заряды расположены так, что создаваемое ими поле E
i
внутри ди-
электрика направлено против внешнего поля E
0
(рис.
27
, слева). При этом E
i
< E
0
, так что
внешнее поле ослабляется лишь частично (а не гасится полностью, как внутри проводника).
Результирующее поле внутри диэлектрика равно:
E = E
0
− E
i
.
7
Впрочем, в достаточно сильном электрическом поле может случиться пробой диэлектрика (пример — мол-
ния во время грозы). Подобное явление мы изучим позже, при рассмотрении электрического тока в газах.
32

Мы видим, что E < E
0
. Данный факт как раз и подчёркивается следующей формой записи:
E =
E
0
ε
.
Результирующее поле E направлено в ту же сторону, что и внешнее поле E
0
(рис.
27
, справа;
искажение поля снаружи диэлектрика считаем пренебрежимо малым).
Хорошо, но откуда в диэлектрике берутся поверхностные индуцированные заряды? Это —
явление поляризации, свойственное всем диэлектрикам. Механизмы поляризации могут быть
различными. Мы рассмотрим два типа поляризации: ориентационную и электронную.
6.2
Полярные диэлектрики
Молекулы полярных диэлектриков с точки зрения электрических свойств являются диполями.
+
−
Рис. 28. Диполь
Диполь — это система двух одинаковых по модулю и проти-
воположных по знаку зарядов, находящихся на некотором рас-
стоянии друг от друга (рис.
28
).
Например, в молекуле поваренной соли NaCl одинокий внеш-
ний электрон натрия захвачен атомом хлора (которому как раз
недостаёт одного электрона до полного комплекта из 8 электро-
нов на внешней оболочке). Молекула является диполем, состоящим из положительного иона
Na
+
и отрицательного иона Cl
−
.
Как диполи ведут себя молекулы воды. Это связано с геометрией их строения: молекула
воды похожа на треугольник, в вершинах которого расположены два атома водорода и один
атом кислорода. В результате центры положительных и отрицательных зарядов молекулы ока-
зываются в разных местах, что и наделяет молекулу свойствами диполя.
К полярным диэлектрикам относятся также низкомолекулярные спирты и ряд других ве-
ществ.
При отсутствии внешнего электрического поля молекулы-диполи полярного диэлектрика,
совершая хаотическое тепловое движение, ориентированы в самых разных направлениях. Элек-
трические поля этих диполей полностью компенсируют друг друга, и результирующее поле
равно нулю во всех областях диэлектрика.
Но если поместить такой диэлектрик во внешнее поле E
0
, то оно «развернёт» диполи так, что
они окажутся ориентированными вдоль линий напряжённости («минусы» диполей повернутся
влево — к тем «плюсам», которые создают внешнее поле). Это показано на рис.
29
.
E
0
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
Рис. 29. Ориентационная поляризация
Разумеется, в реальности не будет столь идеально правильного порядка расположения дипо-
лей — ведь они по-прежнему совершают хаотическое тепловое движение. Но теперь у диполей
появится преимущественная ориентация — вдоль линий напряжённости внешнего поля.
33

Итак, что же мы видим на рис.
29
? Внутри диэлектрика заряды диполей по-прежнему ком-
пенсируют друг друга. Однако на внешних поверхностях диэлектрика появляются нескомпен-
сированные заряды: справа — положительные, слева — отрицательные. Именно эти заряды и
показаны на рис.
27
; благодаря им как раз и возникает встречное поле E
i
, ослабляющее внешнее
поле E
0
.
Итак, механизм ориентационной поляризации ясен: поворот молекул-диполей и их ориента-
ция вдоль линий напряжённости внешнего поля.
6.3
Неполярные диэлектрики
Далеко не все диэлектрики являются полярными. Диэлектрик называется неполярным, если
его молекулы имеют симметричное распределение положительных и отрицательных зарядов
8
и потому не ведут себя как диполи. К неполярным диэлектрикам относятся, например, керосин,
масло, воздух, инертные газы.
Тем не менее, поляризация наблюдается и у неполярных диэлектриков. Каков механизм
поляризации в данном случае?
На рис.
30
слева изображена симметричная электронная орбита в атоме неполярного диэлек-
трика. При наложении внешнего поля E
0
эта орбита деформируется (рис.
30
, справа): электрон
смещается в сторону положительных зарядов, создающих внешнее поле.
+
e
E
0
E
0
+
e
Рис. 30. Электронная поляризация
Мы видим, что во внешнем поле электрон будет проводить больше времени слева от яд-
ра, нежели чем справа. Из-за этого центры положительных и отрицательных зарядов в атоме
неполярного диэлектрика разойдутся в разные стороны. Соответственно, атомы или молекулы
неполярного диэлектрика во внешнем поле также начнут вести себя подобно диполям, и мы
приходим к такой же по сути картине, что и рис.
29
для случая ориентационной поляризации.
Объяснение механизма ослабления поля внутри диэлектрика останется тем же самым.
Итак, электронная поляризация вызвана деформацией электронных оболочек атомов во
внешнем электрическом поле. Разумеется, электронная поляризация присутствует и у поляр-
ных диэлектриков; но там она теряется на фоне куда более мощного эффекта разворота самих
диполей.
8
Разумеется, при отсутствии внешнего поля.
34

7
Конденсатор. Энергия электрического поля
Предыдущие два раздела были посвящены отдельному рассмотрению проводников и диэлек-
триков, помещённых в электрическое поле. Сейчас нам понадобится объединить эти знания.
Дело в том, что большое практическое значение имеет совместное использование проводников
и диэлектриков в специальных устройствах — конденсаторах.
Но прежде введём центральное понятие электрической ёмкости. Ёмкость является важной
характеристикой изолированного проводника и систем проводников (к числу которых принад-
лежат конденсаторы).
7.1
Ёмкость уединённого проводника
Предположим, что заряженный проводник расположен настолько далеко от всех остальных
тел, что взаимодействие зарядов проводника с окружающими телами можно не принимать во
внимание. В таком случае проводник называется уединённым.
Потенциал всех точек нашего проводника, как мы знаем, имеет одно и то же значение ϕ,
которое называется потенциалом проводника. Оказывается, что потенциал уединённого провод-
ника прямо пропорционален его заряду. Коэффициент пропорциональности принято обозначать
1/C, так что
ϕ =
q
C
.
Величина C называется электрической ёмкостью проводника и равна отношению заряда
проводника к его потенциалу:
C =
q
ϕ
.
(23)
Например, потенциал уединённого шара в вакууме равен:
ϕ =
kq
R
=
q
4πε
0
R
,
где q — заряд шара, R — его радиус. Отсюда ёмкость шара:
C = 4πε
0
R.
(24)
Если шар окружён средой-диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, то его по-
тенциал уменьшается в ε раз:
ϕ =
q
4πε
0
εR
.
Соответственно, ёмкость шара в ε раз увеличивается:
C = 4πε
0
εR.
(25)
Увеличение ёмкости при наличии диэлектрика — важнейший факт. Мы ещё встретимся с ним
при рассмотрении конденсаторов.
Из формул (
24
) и (
25
) мы видим, что ёмкость шара зависит только от его радиуса и диэлек-
трической проницаемости окружающей среды. То же самое будет и в общем случае: ёмкость
уединённого проводника не зависит от его заряда; она определяется лишь размерами и фор-
мой проводника, а также диэлектрической проницаемостью среды, окружающей проводник.
От вещества проводника ёмкость также не зависит.
В чём смысл понятия ёмкости? Ёмкость показывает, какой заряд нужно сообщить про-
воднику, чтобы увеличить его потенциал на 1 В. Чем больше ёмкость — тем, соответственно,
больший заряд требуется поместить для этого на проводник.
35

Единицей измерения ёмкости служит фарад (Ф). Из определения ёмкости (
23
) видно, что
Ф = Кл/В.
Давайте ради интереса вычислим ёмкость земного шара (он является проводником!). Радиус
считаем приближённо равным 6400 км.
C = 4πε
0
R ≈ 4 · 3,14 · 8,85 · 10
−12
· 6400 · 10
3
≈ 712 мкФ.
Как видите, 1 Ф — это очень большая ёмкость.
Единица измерения ёмкости полезна ещё и тем, что позволяет сильно сэкономить на обозна-
чении размерности диэлектрической постоянной ε
0
. В самом деле, выразим ε
0
из формулы (
24
):
ε
0
=
C
4πR
.
Следовательно, диэлектрическая постоянная может измеряться в Ф/м:
ε
0
= 8,85 · 10
−12
Ф
м
.
Так легче запомнить, не правда ли?
7.2
Ёмкость плоского конденсатора
Ёмкость уединённого проводника на практике используется редко. В обычных ситуациях про-
водники не являются уединёнными. Заряженный проводник взаимодействует с окружающими
телами и наводит на них заряды, а потенциал поля этих индуцированных зарядов (по принци-
пу суперпозиции!) изменяет потенциал самого проводника. В таком случае уже нельзя утвер-
ждать, что потенциал проводника будет прямо пропорционален его заряду, и понятие ёмкости
проводника самого по себе фактически утрачивает смысл.
Можно, однако, создать систему заряженных проводников, которая даже при накоплении на
них значительного заряда почти не взаимодействует с окружающими телами. Тогда мы сможем
снова говорить о ёмкости — но на сей раз о ёмкости этой системы проводников.
Наиболее простым и важным примером такой системы является плоский конденсатор. Он
состоит из двух параллельных металлических пластин (называемых обкладками), разделённых
слоем диэлектрика. При этом расстояние между пластинами много меньше их собственных
размеров.
Обозначение конденсатора на электрической схеме показано на рис.
31
.
Рис. 31. Конденсатор
Для начала мы рассмотрим воздушный конденсатор, у которого между обкладками нахо-
дится воздух (ε = 1).
Пусть заряды обкладок равны +q и −q. Именно так и бывает в реальных электрических
схемах: заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку. Величина q — заряд
положительной обкладки — называется зарядом конденсатора.
Пусть S — площадь каждой обкладки. Найдём поле, создаваемое обкладками в окружающем
пространстве.
Поскольку размеры обкладок велики по сравнению с расстоянием между ними, поле каж-
дой обкладки вдали от её краёв можно считать однородным полем бесконечной заряженной
плоскости:
E
+
= E
−
=
σ
2ε
0
.
36

Здесь E
+
— напряжённость поля положительной обкладки, E
−
— напряженность поля отрица-
тельной обкладки, σ — поверхностная плотность зарядов на обкладке:
σ =
q
S
.
На рис.
32
(слева) изображены векторы напряжённости поля каждой обкладки в трёх об-
ластях: слева от конденсатора, внутри конденсатора и справа от конденсатора.
−q
+q
E
+
E
−
E
+
E
−
E
+
E
−
−q
+q
E
=⇒
Рис. 32. Электрическое поле плоского конденсатора
Согласно принципу суперпозиции, для результирующего поля E имеем:
E = E
+
+ E
−
.
Нетрудно видеть, что слева и справа от конденсатора поле обращается в нуль (поля обкладок
погашают друг друга):
E = E
+
− E
−
= 0.
Внутри конденсатора поле удваивается:
E = E
+
+ E
−
=
σ
ε
0
,
или
E =
q
ε
0
S
.
(26)
Результирующее поле обкладок плоского конденсатора изображено на рис.
32
справа. Итак:
Внутри плоского конденсатора создаётся однородное электрическое поле, напряжённость
которого находится по формуле (
26
). Снаружи конденсатора поле равно нулю, так что кон-
денсатор не взаимодействует с окружающими телами.
Не будем забывать, однако, что данное утверждение выведено из предположения, будто
обкладки являются бесконечными плоскостями. На самом деле их размеры конечны, и вблизи
краёв обкладок возникают так называемые краевые эффекты: поле отличается от однородного
и проникает в наружное пространство конденсатора. Но в большинстве ситуаций (и уж тем
более в задачах ЕГЭ по физике) краевыми эффектами можно пренебречь и действовать так,
словно утверждение, выделенное курсивом, является верным без всяких оговорок.
Пусть расстояние между обкладками конденсатора равно d. Поскольку поле внутри конден-
сатора является однородным, разность потенциалов U между обкладками равна произведению
E на d (вспомните связь напряжения и напряжённости в однородном поле!):
U = Ed =
qd
ε
0
S
.
(27)
Разность потенциалов между обкладками конденсатора, как видим, прямо пропорциональна
заряду конденсатора. Данное утверждение аналогично утверждению «потенциал уединённого
37

проводника прямо пропорционален заряду проводника», с которого и начался весь разговор о
ёмкости. Продолжая эту аналогию, определяем ёмкость конденсатора как отношение заряда
конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:
C =
q
U
.
(28)
Ёмкость конденсатора показывает, какой заряд ему нужно сообщить, чтобы разность по-
тенциалов между его обкладками увеличилась на 1 В. Формула (
28
), таким образом, является
модификацией формулы (
23
) для случая системы двух проводников — конденсатора.
Из формул (
28
) и (
27
) легко находим ёмкость плоского воздушного конденсатора:
C =
ε
0
S
d
.
(29)
Она зависит только от геометрических характеристик конденсатора: площади обкладок и рас-
стояния между ними.
Предположим теперь, что пространство между обкладками заполнено диэлектриком с ди-
электрической проницаемостью ε. Как изменится ёмкость конденсатора?
Напряжённость поля внутри конденсатора уменьшится в ε раз. Соответственно, вместо фор-
мулы (
26
) теперь имеем:
E =
q
ε
0
εS
.
(30)
Напряжение на конденсаторе получается равным:
U = Ed =
qd
ε
0
εS
.
(31)
Отсюда ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком:
C =
ε
0
εS
d
.
(32)
Она зависит от геометрических характеристик конденсатора (площади обкладок и расстояния
между ними) и от диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего конденсатор.
Важное следствие формулы (
32
): заполнение конденсатора диэлектриком увеличивает его ём-
кость.
7.3
Энергия заряженного конденсатора
Заряженный конденсатор обладает энергией. В этом можно убедиться на опыте. Если зарядить
конденсатор и замкнуть его на лампочку, то (при условии, что ёмкость конденсатора достаточно
велика) лампочка ненадолго загорится.
Следовательно, в заряженном конденсаторе запасена энергия, которая и выделяется при его
разрядке. Нетрудно понять, что этой энергией является потенциальная энергия взаимодействия
обкладок конденсатора — ведь обкладки, будучи заряжены разноимённо, притягиваются друг
к другу.
Мы сейчас вычислим эту энергию, а затем увидим, что существует и более глубокое пони-
мание происхождения энергии заряженного конденсатора.

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: