Компания «Ваш репетитор» Электродинамика

где E
1
— напряжённость поля первой обкладки:
E
1
=
σ
2ε
0
=
q
2ε
0
S
.
Следовательно,
F
0
=
q
0
q
2ε
0
S
.
Направлена эта сила параллельно линиям поля (т. е. перпендикулярно пластинам).
Результирующая сила F притяжения второй обкладки к первой складывается из всех этих
сил F
0
, с которыми притягиваются к первой обкладке всевозможные маленькие заряды q
0
вто-
рой обкладки. При этом суммировании постоянный множитель q/(2ε
0
S) вынесется за скобку,
а в скобке просуммируются все q
0
и дадут q. В результате получим:
F =
q
2
2ε
0
S
.
(33)
Предположим теперь, что расстояние между обкладками изменилось от начальной величи-
ны d
1
до конечной величины d
2
. Сила притяжения пластин совершает при этом работу:
A = F (d
1
− d
2
).
Знак правильный: если пластины сближаются (d
2
< d
1
), то сила совершает положительную ра-
боту, так как пластины притягиваются друг к другу. Наоборот, если удалять пластины (d
2
> d
1
),
то работа силы притяжения получается отрицательной, как и должно быть.
С учётом формул (
33
) и (
29
) имеем:
A =
q
2
2ε
0
S
(d
1
− d
2
) =
q
2
d
1
2ε
0
S
−
q
2
d
2
2ε
0
S
=
q
2
2C
1
−
q
2
2C
2
= W
1
− W
2
,
где W
1
= q
2
/(2C
1
), W
2
= q
2
/(2C
2
). Это можно переписать следующим образом:
A = −(W
2
− W
1
) = −∆W,
где
W =
q
2
2C
.
(34)
Работа потенциальной силы F притяжения обкладок оказалась равна изменению со знаком
минус величины W . Это как раз и означает, что W — потенциальная энергия взаимодействия
обкладок, или энергия заряженного конденсатора.
Используя соотношение q = CU , из формулы (
34
) можно получить ещё две формулы для
энергии конденсатора (убедитесь в этом самостоятельно!):
W =
qU
2
,
(35)
W =
CU
2
2
.
(36)
Особенно полезными являются формулы (
34
) и (
36
).
Допустим теперь, что конденсатор заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемо-
стью ε. Сила притяжения обкладок уменьшится в ε раз, и вместо (
33
) получим:
F =
q
2
2ε
0
εS
.
При вычислении работы силы F , как нетрудно видеть, величина ε войдёт в ёмкость C, и фор-
мулы (
34
)–(
36
) останутся неизменными. Ёмкость конденсатора в них теперь будет выражаться
по формуле (
32
).
Итак, формулы (
34
)–(
36
) универсальны: они справедливы как для воздушного конденсатора,
так и для конденсатора с диэлектриком.
39

7.4
Энергия электрического поля
Мы обещали, что после вычисления энергии конденсатора дадим более глубокое истолкование
происхождения этой энергии. Что ж, приступим.
Рассмотрим воздушный конденсатор и преобразуем формулу (
36
) для его энергии:
W =
CU
2
2
=
ε
0
S
d
(Ed)
2
2
=
ε
0
E
2
2
Sd.
Но Sd = V — объём конденсатора. Получаем:
W =
ε
0
E
2
2
V.
(37)
Посмотрите внимательно на эту формулу. Она уже не содержит ничего, что являлось бы
специфическим для конденсатора! Мы видим энергию электрического поля E, сосредоточен-
ного в некотором объёме V .
Энергия конденсатора есть не что иное, как энергия заключённого внутри него электри-
ческого поля.
Итак, электрическое поле само по себе обладает энергией. Ничего удивительного для нас
тут нет. Радиоволны, солнечный свет — это примеры распространения энергии, переносимой в
пространстве электромагнитными волнами.
Величина w = W/V — энергия единицы объёма поля — называется объёмной плотностью
энергии. Из формулы (
37
) получим:
w =
ε
0
E
2
2
.
(38)
В этой формуле не осталось вообще никаких геометрических величин. Она даёт максимально
чистую связь энергии электрического поля и его напряжённости.
Если конденсатор заполнен диэлектриком, то его ёмкость увеличивается в ε раз, и вместо
формул (
37
) и (
38
) будем иметь:
W =
ε
0
εE
2
2
V,
(39)
w =
ε
0
εE
2
2
.
(40)
Как видим, энергия электрического поля зависит ещё и от диэлектрической проницаемости
среды, в которой поле находится.
Замечательно, что полученные формулы для энергии и плотности энергии выходят далеко
за пределы электростатики: они справедливы не только для электростатического поля, но и
для электрических полей, меняющихся во времени.
40

8
Постоянный электрический ток
Электрический ток обеспечивает комфортом жизнь современного человека. Технологические
достижения цивилизации — энергетика, транспорт, радио, телевидение, компьютеры, мобиль-
ная связь — основаны на использовании электрического тока.
Электрический ток — это направленное движение заряженных частиц, при котором про-
исходит перенос заряда из одних областей пространства в другие.
Электрический ток может возникать в самых различных средах: твёрдых телах, жидко-
стях, газах. Порой и среды никакой не нужно — ток может существовать даже в вакууме! Мы
поговорим об этом в своё время, а пока приведём лишь некоторые примеры.
• Замкнём полюса батарейки металлическим проводом. Свободные электроны провода нач-
нут направленное движение от «минуса» батарейки к «плюсу».
Это — пример тока в металлах.
• Бросим в стакан воды щепотку поваренной соли NaCl. Молекулы соли диссоциируют
на ионы, так что в растворе появятся свободные заряды: положительные ионы Na
+
и
отрицательные ионы Cl
−
. Теперь засунем в воду два электрода, соединённые с полюсами
батарейки. Ионы Na
+
начнут направленное движение к отрицательному электроду, а ионы
Cl
−
— к положительному.
Это — пример прохождения тока через раствор электролита.
• Грозовые тучи создают столь мощные электрические поля, что оказывается возможным
пробой воздушного промежутка длиной в несколько километров. В результате сквозь воз-
дух проходит гигантский разряд — молния.
Это — пример электрического тока в газе.
Во всех трёх рассмотренных примерах электрический ток обусловлен движением заряжен-
ных частиц внутри тела и называется током проводимости.
• Вот несколько иной пример. Будем перемещать в пространстве заряженное тело. Такая
ситуация согласуется с определением тока! Направленное движение зарядов — есть, пере-
нос заряда в пространстве — присутствует. Ток, созданный движением макроскопического
заряженного тела, называется конвекционным.
Заметим, что не всякое движение заряженных частиц образует ток. Например, хаотическое
тепловое движение зарядов проводника — не направленное (оно совершается в каких угодно
направлениях), и потому током не является
9
.
Не будет током и поступательное движение электрически нейтрального тела: хотя заряжен-
ные частицы в его атомах и совершают направленное движение, не происходит переноса заряда
из одних участков пространства в другие.
8.1
Направление электрического тока
Направление движения заряженных частиц, образующих ток, зависит от знака их заряда. По-
ложительно заряженные частицы будут двигаться от «плюса» к «минусу», а отрицательно
9
При возникновении тока свободные заряды продолжают совершать тепловое движение! Просто в этом слу-
чае к хаотическим перемещениям заряженных частиц добавляется их упорядоченный дрейф в определённом
направлении.
41

заряженные — наоборот, от «минуса» к «плюсу». В электролитах и газах, например, присут-
ствуют как положительные, так и отрицательные свободные заряды, и ток создаётся их встреч-
ным движением в обоих направлениях. Какое же из этих направлений принять за направление
электрического тока?
Направлением тока принято считать направление движения положительных зарядов.
Попросту говоря, по соглашению ток течёт от «плюса» к «минусу» (рис.
33
; положительная
клемма источника тока изображена длинной чертой, отрицательная клемма — короткой).
Рис. 33. Направление тока
Данное соглашение вступает в некоторое противоречие с наиболее распространённым случа-
ем металлических проводников. В металле носителями заряда являются свободные электроны,
и двигаются они от «минуса» к «плюсу». Но в соответствии с соглашением мы вынуждены счи-
тать, что направление тока в металлическом проводнике противоположно движению свободных
электронов. Это, конечно, не очень удобно.
Тут, однако, ничего не поделаешь — придётся принять эту ситуацию как данность. Так уж
исторически сложилось. Выбор направления тока был предложен Ампером
10
в первой половине
XIX века, за 70 лет до открытия электрона. К этому выбору все привыкли, и когда в 1916 году
выяснилось, что ток в металлах вызван движением свободных электронов, ничего менять уже
не стали.
8.2
Действие электрического тока
Как мы можем определить, протекает электрический ток или нет? О возникновении электри-
ческого тока можно судить по следующим его проявлениям.
1. Тепловое действие тока. Электрический ток вызывает нагревание вещества, в котором он
протекает. Именно так нагреваются спирали нагревательных приборов и ламп накалива-
ния. Именно поэтому мы видим молнию. В основе действия тепловых амперметров лежит
тепловое расширение проводника с током, приводящее к перемещению стрелки прибора.
2. Магнитное действие тока. Электрический ток создаёт магнитное поле: стрелка компаса,
расположенная рядом с проводом, при включении тока поворачивается перпендикулярно
проводу. Магнитное поле тока можно многократно усилить, если обмотать провод вокруг
железного стержня — получится электромагнит. На этом принципе основано действие
амперметров магнитоэлектрической системы: электромагнит поворачивается в поле по-
стоянного магнита, в результате чего стрелка прибора перемещается по шкале.
3. Химическое действие тока. При прохождении тока через электролиты можно наблюдать
изменение химического состава вещества. Так, в растворе CuSO
4
положительные ионы
Cu
2+
двигаются к отрицательному электроду, и этот электрод покрывается медью.
10
Договорённость о направлении тока понадобилась Амперу для того, чтобы дать чёткое правило определения
направления силы, действующей на проводник с током в магнитном поле. Сегодня эту силу мы называем силой
Ампера, направление которой определяется по правилу левой руки.
42

8.3
Сила и плотность тока
Электрический ток называется постоянным, если за равные промежутки времени через попе-
речное сечение проводника проходит одинаковый заряд. Постоянный ток наиболее прост для
изучения. С него мы и начинаем.
Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. В случае посто-
янного тока абсолютная величина силы тока есть отношение абсолютной величины заряда q,
прошедшего через поперечное сечение проводника за время t, к этому самому времени:
I =
q
t
.
(41)
Измеряется сила тока в амперах (A)
11
. При силе тока в 1 А через поперечное сечение про-
водника за 1 с проходит заряд в 1 Кл.
Подчеркнём, что формула (
41
) определяет абсолютную величину, или модуль силы тока.
Сила тока может иметь ещё и знак! Этот знак не связан со знаком зарядов, образующих ток,
и выбирается из иных соображений. А именно, в ряде ситуаций (например, если заранее не
ясно, куда потечёт ток) удобно зафиксировать некоторое направление обхода цепи (скажем,
против часовой стрелки) и считать силу тока положительной, если направление тока совпадает
с направлением обхода, и отрицательной, если ток течёт против направления обхода
12
.
В случае постоянного тока сила тока есть величина постоянная. Она показывает, какой
заряд проходит через поперечное сечение проводника за 1 с.
Часто бывает удобно не связываться с площадью поперечного сечения и ввести величину
плотности тока:
j =
I
S
,
(42)
где I — сила тока, S — площадь поперечного сечения проводника (разумеется, это сечение
перпендикулярно направлению тока). С учётом формулы (
41
) имеем также:
j =
q
St
.
Плотность тока показывает, какой заряд проходит за единицу времени через единицу площади
поперечного сечения проводника. Согласно формуле (
42
), плотность тока измеряется в А/м
2
.
8.4
Скорость направленного движения зарядов
Когда мы включаем в комнате свет, нам кажется, что лампочка загорается мгновенно. Скорость
распространения тока по проводам очень велика: она близка к 300000 км/с (скорости света в
вакууме). Если бы лампочка находилась на Луне, она зажглась бы через секунду с небольшим.
Однако не следует думать, что с такой грандиозной скоростью двигаются свободные заря-
ды, образующие ток. Оказывается, их скорость составляет всего-навсего доли миллиметра в
секунду.
Почему же ток распространяется по проводам так быстро? Дело в том, что свободные заря-
ды взаимодействуют друг с другом и, находясь под действием электрического поля источника
тока, при замыкании цепи приходят в движение почти одновременно вдоль всего проводника.
Скорость распространения тока есть скорость передачи электрического взаимодействия между
11
Единица силы тока определяется через магнитное взаимодействие проводов с током. А именно, пусть име-
ются два параллельных провода, очень длинных и тонких, расположенных в вакууме на расстоянии 1 м друг от
друга. По этим проводам течёт одинаковый ток. Мы говорим, что сила тока равна 1 A, если сила взаимодействия
проводов равна 2 · 10
−7
Н на каждый метр провода.
12
Сравните с тригонометрическим кругом: углы считаются положительными, если отсчитываются против
часовой стрелки, и отрицательными, если по часовой стрелке.
43

свободными зарядами, и она близка к скорости света в вакууме. Скорость же, с которой сами
заряды перемещаются внутри проводника, может быть на много порядков меньше.
Итак, подчеркнём ещё раз, что мы различаем две скорости.
1. Скорость распространения тока. Это — скорость передачи электрического сигнала по
цепи. Близка к 300000 км/с.
2. Скорость направленного движения свободных зарядов. Это — средняя скорость переме-
щения зарядов, образующих ток. Называется ещё скоростью дрейфа.
Мы сейчас выведем формулу, выражающую силу тока I через скорость v направленного
движения зарядов проводника.
Пусть проводник имеет площадь поперечного сечения S (рис.
34
). Свободные заряды про-
водника будем считать положительными; величину свободного заряда обозначим e (в наиболее
важном для практики случая металлического проводника это есть заряд электрона). Концен-
трация свободных зарядов (т. е. их число в единице объёма) равна n.
B
A
C
D
vt
S
I
Рис. 34. К выводу формулы I = envS
Какой заряд q пройдёт через поперечное сечение AB нашего проводника за время t?
С одной стороны, разумеется,
q = It.
(43)
С другой стороны, сечение AB пересекут все те свободные заряды, которые спустя время t
окажутся внутри цилиндра ABCD с высотой vt. Их число равно:
N = nV
ABCD
= nSvt.
Следовательно, их общий заряд будет равен:
q = eN = enSvt.
(44)
Приравнивая правые части формул (
43
) и (
44
) и сокращая на t, получим:
I = envS.
(45)
Соответственно, плотность тока оказывается равна:
j = env.
Давайте в качестве примера посчитаем, какова скорость движения свободных электронов в
медном проводе при силе тока 1 A.
Заряд электрона известен: e = 1,6 · 10
−19
Кл.
Чему равна концентрация свободных электронов? Она совпадает с концентрацией атомов
меди, поскольку от каждого атома отщепляется по одному валентному электрону. Ну а кон-
центрацию атомов мы находить умеем:
n =
N
V
=
νN
A
V
=
mN
A
µV
=
ρN
A
µ
=
8900 · 6,02 · 10
23
0,0635
≈ 8,5 · 10
28
м
−3
.
Положим S = 1 мм
2
. Из формулы (
45
) получим:
v =
I
enS
=
1
1,6 · 10
−19
· 8,5 · 10
28
· 10
−6
≈ 7,4 · 10
−5
м
с
.
Это порядка одной десятой миллиметра в секунду.
44

8.5
Стационарное электрическое поле
Мы всё время говорим о направленном движении зарядов, но ещё не касались вопроса о том,
почему свободные заряды совершают такое движение. Почему, собственно, возникает электри-
ческий ток?
Для упорядоченного перемещения зарядов внутри проводника необходима сила, действую-
щая на заряды в определённом направлении. Откуда берётся эта сила? Со стороны электриче-
ского поля!
Чтобы в проводнике протекал постоянный ток, внутри проводника должно существовать
стационарное
13
электрическое поле. Иными словами, между концами проводника нужно под-
держивать постоянную разность потенциалов.
Стационарное электрическое поле должно создаваться зарядами проводников, входящих
в электрическую цепь. Однако заряженные проводники сами по себе не смогут обеспечить
протекание постоянного тока.
Рассмотрим, к примеру, два проводящих шара, заряженных разноимённо. Соединим их про-
водом. Между концами провода возникнет разность потенциалов, а внутри провода — электри-
ческое поле. По проводу потечёт ток. Но по мере прохождения тока разность потенциалов
между шарами будет уменьшаться, вслед за ней станет убывать и напряжённость поля в про-
воде. В конце концов потенциалы шаров станут равны друг другу, поле в проводе обратится в
нуль, и ток исчезнет. Мы оказались в электростатике: шары плюс провод образуют единый про-
водник, в каждой точке которого потенциал принимает одно и то же значение; напряжённость
поля внутри проводника равна нулю, никакого тока нет.
То, что электростатическое поле само по себе не годится на роль стационарного поля, созда-
ющего ток, ясно и из более общих соображений. Ведь электростатическое поле потенциально,
его работа при перемещении заряда по замкнутому пути равна нулю. Следовательно, оно не
может вызывать циркулирование зарядов по замкнутой электрической цепи — для этого тре-
буется совершать ненулевую работу.
Кто же будет совершать эту ненулевую работу? Кто будет поддерживать в цепи разность
потенциалов и обеспечивать стационарное электрическое поле, создающее ток в проводниках?
Ответ — источник тока, важнейший элемент электрической цепи.
Чтобы в проводнике протекал постоянный ток, концы проводника должны быть присо-
единены к клеммам источника тока (батарейки, аккумулятора и т. д.).
Клеммы источника — это заряженные проводники. Если цепь замкнута, то заряды с клемм
перемещаются по цепи — как в рассмотренном выше примере с шарами. Но теперь разность
потенциалов между клеммами не уменьшается: источник тока непрерывно восполняет заряды
на клеммах, поддерживая разность потенциалов между концами цепи на неизменном уровне.
В этом и состоит предназначение источника постоянного тока. Внутри него протекают про-
цессы неэлектрического (чаще всего — химического) происхождения, которые обеспечивают
непрерывное разделение зарядов. Эти заряды поставляются на клеммы источника в необходи-
мом количестве.
Количественную характеристику неэлектрических процессов разделения зарядов внутри ис-
точника — так называемую ЭДС — мы изучим позже, в соответствующем листке.
А сейчас вернёмся к стационарному электрическому полю. Каким же образом оно возникает
в проводниках цепи при наличии источника тока?
Заряженные клеммы источника создают на концах проводника электрическое поле. Свобод-
ные заряды проводника, находящиеся вблизи клемм, приходят в движение и действуют своим
электрическим полем на соседние заряды. Со скоростью, близкой к скорости света, это взаи-
модействие передаётся вдоль всей цепи, и в цепи устанавливается постоянный электрический
13
То есть — постоянное, не зависящее от времени.
45

ток. Стабилизируется и электрическое поле, создаваемое движущимися зарядами.
Стационарное электрическое поле — это поле свободных зарядов проводника, совершающих
направленное движение.
Стационарное электрическое поле не меняется со временем потому, что при постоянном то-
ке не меняется картина распределения зарядов в проводнике: на место заряда, покинувшего
данный участок проводника, в следующий момент времени поступает точно такой же заряд.
По этой причине стационарное поле во многом (но не во всём) аналогично полю электростати-
ческому.
А именно, справедливы следующие два утверждения, которые понадобятся нам в дальней-
шем (их доказательство даётся в вузовском курсе физики).
1. Как и электростатическое поле, стационарное электрическое поле потенциально. Это поз-
воляет говорить о разности потенциалов (т. е. напряжении) на любом участке цепи
14
.
Потенциальность, напомним, означает, что работа стационарного поля по перемещению
заряда не зависит от формы траектории. Именно поэтому при параллельном соединении
проводников напряжение на каждом из них одинаково: оно равно разности потенциалов
стационарного поля между теми двумя точками, к которым подключены проводники.
2. В отличие от электростатического поля, стационарное поле движущихся зарядов прони-
кает внутрь проводника. Это объясняется тем, что свободные заряды, участвуя в направ-
ленном движении, не успевают должным образом перестраиваться и принимать «элек-
тростатические» конфигурации.

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: