Контрольная работа №3 Аналитическая геометрия тема аналитическая геометрия Уравнения линии в декартовой системе координат. Параметрические уравнения линии
жүктеу/скачать 1,55 Mb.
|
| Решение.
Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки , , . Построим отрезки и . Рис. 1 Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK. Рис. 2
Составим уравнение прямой AD. а) Предварительно найдем уравнение прямой BС. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид (3.1) По условию , . Подставим координаты точек и в уравнение (3.1): , т.е. . Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде . Для этого в последнем уравнении избавимся от знаменателей и проведем преобразования, перенося все слагаемые в левую часть равенства: или . Из этого уравнения выразим : ; . Получили уравнение вида - уравнение с угловым коэффициентом. б) Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид (3.2) где направление определяется угловым коэффициентом . Условие параллельности двух прямых и имеет вид (3.3) По условию задачи , прямая . Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как прямая параллельна прямой , то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, уравнение прямой имеет вид . Запишем уравнение прямой в общем виде. Для этого раскроем скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства: . Умножим обе часть равенства на (-2) и получим общее уравнение прямой : . Запишем уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом. Для этого выразим из общего уравнения: . 2) Составим уравнение высоты , проведенной из вершины на сторону как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой . Условие перпендикулярности двух прямых и имеет вид (3.4) Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как высота перпендикулярна прямой , то их угловые коэффициенты связаны соотношением (3.4). Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, угловой коэффициент высоты равен и уравнение прямой имеет вид . Запишем уравнение высоты в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: . 3) Найдем длину высоты как расстояние от точки до прямой . Расстояние от точки до прямой представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой (3.5) Так как перпендикулярна , то длина может быть найдена с помощью формулы (3.5). По условию , прямая определяется уравнением . В силу формулы (3.5) длина высоты равна = . 4) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через точки и , где - середина отрезка . а) Если и , то координаты точки - середины отрезка , определяются формулами (3.6) По условию , . В силу формул (3.6) имеем: , . Следовательно . б) Так как точка пересечения диагоналей является их серединой, то точка (середина отрезка ) является точкой пересечения диагоналей и диагональ проходит через точку . Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . В силу формулы (3.1) уравнение прямой (диагонали ) имеет вид: или . Запишем это уравнение в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: . 5) Найдем тангенс угла между диагоналями и . а) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . Следовательно, . Общее уравнение диагонали имеет вид , уравнение с угловым коэффициентом – вид , угловой коэффициент прямой равен . б) Уравнение диагонали имеет вид , ее угловой коэффициент . в) Тангенс угла между прямыми и определяется формулой Следовательно, . Отсюда . жүктеу/скачать 1,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|