Контрольная работа №3 Аналитическая геометрия тема аналитическая геометрия Уравнения линии в декартовой системе координат. Параметрические уравнения линии



бет2/28
Дата25.11.2023
өлшемі1,55 Mb.
#126475
түріКонтрольная работа
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   28
Байланысты:
Tema3

Решение.
Сначала построим чертеж. Построим в прямоугольной декартовой системе координат точки , , . Построим отрезки и .



Рис. 1

Достроим полученный рисунок до параллелограмма и нанесем на чертеж высоту BK.



Рис. 2




  1. Составим уравнение прямой AD.

а) Предварительно найдем уравнение прямой BС. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид
(3.1)
По условию , . Подставим координаты точек и в уравнение (3.1): , т.е. .
Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде . Для этого в последнем уравнении избавимся от знаменателей и проведем преобразования, перенося все слагаемые в левую часть равенства: или .
Из этого уравнения выразим : ; . Получили уравнение вида - уравнение с угловым коэффициентом.
б) Воспользуемся тем фактом, что противоположные стороны параллелограмма параллельны. Составим искомое уравнение прямой AD как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид
(3.2)
где направление определяется угловым коэффициентом .
Условие параллельности двух прямых и имеет вид
(3.3)
По условию задачи , прямая . Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как прямая параллельна прямой , то в силу формулы (3.3) их угловые коэффициенты совпадают. Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, уравнение прямой имеет вид .
Запишем уравнение прямой в общем виде. Для этого раскроем скобки и все слагаемые перенесем в левую часть равенства: . Умножим обе часть равенства на (-2) и получим общее уравнение прямой : .
Запишем уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом. Для этого выразим из общего уравнения: .
2) Составим уравнение высоты , проведенной из вершины на сторону как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Условие перпендикулярности двух прямых и имеет вид
(3.4)
Подставим координаты точки в уравнение (3.2): . Так как высота перпендикулярна прямой , то их угловые коэффициенты связаны соотношением (3.4). Угловой коэффициент прямой равен , следовательно, угловой коэффициент высоты равен и уравнение прямой имеет вид . Запишем уравнение высоты в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: .
3) Найдем длину высоты как расстояние от точки до прямой .
Расстояние от точки до прямой представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и определяется формулой
(3.5)
Так как перпендикулярна , то длина может быть найдена с помощью формулы (3.5). По условию , прямая определяется уравнением . В силу формулы (3.5) длина высоты равна = .
4) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через точки и , где - середина отрезка .
а) Если и , то координаты точки - середины отрезка , определяются формулами
(3.6)
По условию , . В силу формул (3.6) имеем: , . Следовательно .
б) Так как точка пересечения диагоналей является их серединой, то точка (середина отрезка ) является точкой пересечения диагоналей и диагональ проходит через точку .
Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . В силу формулы (3.1) уравнение прямой (диагонали ) имеет вид: или . Запишем это уравнение в общем виде: . Запишем это же уравнение в виде с угловым коэффициентом: .
5) Найдем тангенс угла между диагоналями и .
а) Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Воспользуемся уравнением (3.1). По условию , . Следовательно, . Общее уравнение диагонали имеет вид , уравнение с угловым коэффициентом – вид , угловой коэффициент прямой равен .
б) Уравнение диагонали имеет вид , ее угловой коэффициент .
в) Тангенс угла между прямыми и определяется формулой

Следовательно, . Отсюда .




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   28




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет