Лебег интегралын есептеудің кейбір мысалдары

1.

Ал функциясы Риман бойынша интегралданады. Олай болса,

2. функциясы Риман бойынша интегралданады ма? Осы кесіндіде Лебег бойынша интегралданады ма, интегралданса интегралы неге тең?

Шешуі: Бұл функция Риман бойынша интегралданбайды, себебі аралықтың барлық нүктелері үшін үзіліс нүктелері болып табылады. Ал Лебег бойынша интегралданады, себебі ол бұл кесіндіде өлшемді және шектелген. Интегралдау үшін берілген функцияны эквивалентті функциямен алмастырамыз. Сонда

3.

5. 
   (1;2) аралығында жатқан, функциясының Лебег интегралын есепте.
   

- натурал сандар жиыны.

Берілген интегралды есептеу үшін қосымша функцияның интегралынан шек аламыз. Сонда .

Бұл мысал теріс емес, шексіз, өлшемді функциялардан Лебег интегралын алудың мысалы. Әруақытта шексіз, теріс емес Лебег интегралын алу үшін әруақытта қосымша функция құрамыз.

Сонда шексіз, теріс емес функция мына формула бойынша есептелінеді:

Сонымен бірге, қосымша шарттар енгізу арқылы таңбасы ауыспалы, яғни кез келген шексіз функцияның да Лебег интегралын алуға болады. - кез келген шексіз функция болсын.

Бұл функцияның әрқайсысы теріс емес функциялар және өлшемді. Онда олардың Лебег интегралы бар болады: .

Бұл қосымша функциялар:

Олай болса, Лебег интегралының қасиеттері бойынша

Егер осы интеграл тиянақты санға тең болса, онда функциясын қосындыланатын функция деп атаймыз.

Егер ең болмағанда біреуі интегралданбаса, онда функциясын қосындыланбайтын функция деп атаймыз.