Лекци Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын кейбір амалдар. Жиындардың теңдігі. Эквиваленті жиындар. Ақырлы және ақырсыз жиындар. Сандар жиыны. Ақырсыз жиындар

Айталық, Е жиыны берілсін. Осы Е жиынында өлшенетін берілсін.

М₁ – төменгі шекаралық деп белгілейік.

М₂ – жоғарғы шекаралық деп белгілейік.

Мына шарттарды қанағаттандыратын сандарын алайық. мына нүктелердің көмегімен бөлікке бөлейік. Осы бөлінуге сәйкес мына шартты қанағаттандыратын нүктелердің жиынын

Сонда, барлық Е_к өлшемді және құруымыз бойынша олардың қос-қостан ортақ нүктелері болмайды. Онда саны шекті қос-қостан ортақ нүктелері болмайтын өлшенетін жиынның бірігуі бойынша

Бұдан соң Лебег қосындылары деп аталатын қосындылар құрайық.

- төменгі қосынды.

- жоғарғы қосынды

деп ең үлкен ұзындығын белгілегеннен көріп отырғанымыздай Лебег қосындыларының шамасы майда бөліктерге бөлуге тәуелді.

Міне, осы І шегі функциясының Е жиынындағы Лебег интегралы деп аталады және былай белгіленеді:

Егер Е жиыны кесіндісімен беттессе, онда

Лебег қосындылары А, В сандарымен байланысты болғанымен Лебег интегралы ол сандарға тәуелсіз. А және В сандары кез келген сандар болуы мүмкін, тек олар Е жиынындағы кез келген х үшін мына шартты қанағаттандырса болғаны.

нүктесін алайық, ол тек мына шартты қанағаттандырады: . Анықтама бойынша Лебег интегралы майда бөліктерге бөлуге тәуелсіз. Сонда бірімен беттестірейік.

Ал соңғы теңсіздіктер бойынша жартылай кесіндіде жатқандықтан, Е жиында қанағаттандыратын нүктелер жоқ. Олай болса,

Ендеше,

Бұдан, Лебег интегралының майда бөліктерге бөлуге тәуелсіз екендігін көрсетеді.