5. Лебег интегралын Риман интегралымен салыстыру
Теорема: Егер функциясы Риман бойынша интегралданса, онда ол Лебег бойынша интегралданады, сонымен бірге, функциясының интегралы тең болады.
Теореманы дәлелдеу үшін мынадай тұжырымды қарастырайық:
Егер ффункциясының үзіліс нүктелерінің жиыны 0-тең болса, онда функциясы өлшемді болады. Осыған көз жеткізейік.
Айталық, -тің кесіндісіндегі үзіліс нүктелерінің жиыны 0 – болғандықтан және өлшемі
А – кез келген сан. шартын қанағаттандыратын нүктелерінің жиынын Е деп белгілейміз. Айталық, - Е жиынының шектік нүктесі болсын және Е жиынында жатпасын . Онда -дің үзіліс нүктелерінің жиыны -де жататынын көрсетейік. Ол үшін функциясы нұктесінде үздіксіз болсын дейік. Ал . Олай болса, бұл теңсіздік нүктесінің шексіз аз аймағында орынды болады, ал бұл шарт орындалмайды, себебі алуымыз бойынша нүктесі – Е жиынының шектік нүктесі, олай болса Е жиынының ең болмағанда бір нүктесі жатуы керек. Міне осы қайшылық нүктесінде функциясын үздіксіз дегеннің қайшы екендігін көрсетеді. Демек, функциясы үзілісті.
Егер Е жиынында жатпайтын барлық шектік нүктелерінің жиынын D деп белгілесек, онда шығады, ал тұжырым бойынша , олай болса, . Егер Е жиыны мен D жиынының бірігуін қарастырсақ, онда ол Е жиынының тұйықтауыш жиынын береді, оны F деп белгілейік. А тұйықтауыш жиын өлшемді D,E - өлшемді.
функциясы өлшемді.
Риман және Лебег интегралына байланысты теореманы дәлелдейік. Айталық, Лебег бойынша интегралдансын. Онда мына шарт орынды:
1) шектелген.
2) функцияның үзіліс нүктелерінің өлшемі 0-тең. Бұдан жоғарыдағы тұдырым бойынша функцияның өлшемді екендігі шығады.
шектерін аламыз. шектелген. Сондықтан ол интегралданады.
Берілуі бойынша функциясы Риман бойынша интегралданады. Ол дегеніміз:
Достарыңызбен бөлісу: | 
