Лекци Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын кейбір амалдар. Жиындардың теңдігі. Эквиваленті жиындар. Ақырлы және ақырсыз жиындар. Сандар жиыны. Ақырсыз жиындар

Ресей Академиясының мүшесі, атақты математик, физик, механик Леонард Эйлер Бернуллидің осы тірегіне қарсы төмендегі дәлелдемені келтіреді:

«Егер Бернулли мырзаның осы тірегін дұрыс деп табатын болсақ, онда мына теңбе-теңдіктен келесі немесе теңдік келіп шыққан болар еді. Ал бұл теңдіктен

деген қорытындыға келеміз. Бірақ та Бернулли мырзаның бір еңбегінде мынадай

формуланың дұрыстығы дәлелденген көрінеді. әрине, бұл формуланың дұрыстығына ешбір шүбә келтіруге болмайды, өйткені оның дұрыстығы математикалық анализдің аса сенімді тәсілдерімен дәлелденеген. Егер Бернуллидің дәлелдемесі дұрыс болса, онда болдмақ. Ендеше кейінгі формуладан деген қорытындыға келеміз. Ал бұлай болуы тіпті мүмкін емес!»

Міне, теріс санның немен тең болатынын дәлелдеудің оңайға түспегені жоғарыда келтірілген талас-тартыстардан-ақ байқауға болдады.

Лейбництің де, сондай-ақ Бернуллидің де теріс санның логарифмі қандай сан болатынын шешуде қолданған тәсілдері тура болмады. Мұның себебі неде?

Бұл мәселенің дұрыс шешілмеу себебі комплекс сан ұғымының дұрыс ғылыми анықтамасының болмауы және осымен байланысты комплекс сандар теориясы баяу игерілді. Ол тұста комплекс сандар жөніндегі мағлұматтардың өзі анық болмай, күңгірт, көмескі болды. Комплекс санға нақты мағына берілмегендіктен, оны мүмкін емес жорамал сан деп атады.

Осы мәселе жөнінде Лейбниц пен Бернуллиді қатты сынға алған Эйлердің өзі комплекс сан деп нені түсіну керек деген мәселеге жауап беруге өте қиналғанын байқаймыз. Ол өзінің 1768-1769 жылдары орыс тілінде шыққан алгебра оқулығында былай деп жазады: «Теріс сандардан табылған квадрат түбірлерді мүмкін сандар (нақты сандар) қатарына жатқызуға болмайды. Содықтан да оларды мүмкін емес сандар деп атауымызға болады. Міне, осы жағдай ақиқатта жоқ, жорамал, жаратылысы мүмкін емес сандар ұғымына келуге бізді мәжбүр етеді».

Әрине, комплекс сандарды бұлайша анықтау, оларға амалдар қолдануға мүмкіндік бермеді.

Комплекс сан ұғымының ғылыми анықтамасын және оның нақты мағынасын тиісті дәрежеде бермегенімен, теріс сандар логарифмдерін анықтау мәселесін шешуге дұрыс келе білген Эйлер болды. Ол өзінің 1749 жылы «Петербург академиясының комментариялары» деген ғылыми журналда жарияланған Бернулли мен Лейбництің «Теріс сандар мен жорамал сандардың логарифмдері жөніндегі айтысы туралы» атты еңбегінде теріс сандар мен комплекс сандардың логарифмдерінің болатындығын дәлелдеуде кездесетін қиыншылықтарды аластады.

.

Сөйтіп, теріс сандардың логарифмдерінің болатынын Эйлердің қалай дәлелдегеніне тоқтап кетейік.

Эйлер -ті мына

теңдеуден анықтады, былайша айтқанда, егер соншалықты үлкен сан болса, онда осы теңдеуден -ті анықтауға болады деген қорытындыға келді ол.

Шынында, мына теңдеуден болады. Екінші жағынан, , бұдан немесе , мұнда біз -ны өте үлкен сан деп есептейміз. Ал деп отырғанымыз , ендеше,

.

Бұл теңдікті математика тілімен жазғанда, былай болады:

Мұны Эйлер формуласы деп атайды.

Осы (2) формуладан мынадай қорытындыға келуге болады: соншалықты үлкен сан болғанда түбірдің шектеусіз көп, жалпы алғанда жормал мәндері болатын болды.

Бұдан соң Эйлер -ті былай ұйғарады:

,

яғни – комплекс сан, мұнда комплекс санның модулі, – оның аргументі. Сонда

бұл жерде – кез келген натурал сан не нөл.

(3) теңдіктен -тің шектеусіз көп, жалпы алғанда, комплекс мәндері болатындығы айқын.

Бұл мәселе жөнінде Эйлердің сіңірген еңбегі теріс сандардың, сондай-ақ комплекс сандардың логарифмдері комплекс сандар болатынын көрсетуде ғана емес, кез келген санның логарифмінің бір емес, әр түрлі шектеусіз көп мәндерінің болатындығын дәлелдеуде және оларды қандай формуламен табуды көрсетуде. Алайда Эйлердің замандастарының біразы бұл теориясын қабылдай қоймады және оның мәнісін толық түсінбеді. Мәселен, француздың ол уақытта атақты математигі, механигі Даламбер өзінің 1761 жылы жарыққа шыққан «Теріс сандардың логаримдері туралы» деген еңбегінде Эйлер мен Лейбництің айтқандарына қарсы шығады да, Бернулли көзқарасын құптайды. Ол – ол ма, 1778 жылы жарыққа шыққан атақты француз энциклопедиясының ХХ томында логарифмдер туралы жазылған мақаласында да Даламбер Эйлерге қарсы шығып, Бернуллиді қоштайды.

Міне теріс сандар мен комплекс сандардың логарифмдерінің болатындығын дәлелдеудің қысқаша тарихы осындай.

3. Енді Эйлердің (2) формуласын пайдаланып, кез келген санның логарифмінің дәл, дұрыс анықтамасын берейік.

Айталық – кез келген сан болсын, былайша айтқанда, нақты да, комплекс те сан. Енді келесі

(4)

формуламен анықталатыны белгілі. Енді осы мәндердің біреуін сайлап алайық, мысалы: , мұнда -ны әзірше тұрақты деп есептейік.

Комплекс санның тригонометриялық формасын және одан түбір табу формуласын еске алсақ, онда

.

Енді осы теңдіктің оң жақ бөлігін (4) формуланың оң жақ бөлігіне қояйық, онда

Енді айнымалы -нің, нөмірі шексіздікке ұмтылғандағы шегін табу керек. Ол үшін нақты бөлігінің, сонан соң жорамал бөлігінің шектерін жеке-жеке іздеу керек. Нақты бөлігінің шегі мынаған тең:

немесе мұны былай түрлендіріп жазайық:

.

Ал , сол себептен

Әрбір шектің мәнін жеке жазайық:

; ; .

Осы нәтижелерді еске алып, табатынымыз:

Эйлер формуласын еске алсақ, онда

. (5)

Енді жорамал бөлігінің шегін іздеп көрейік:

Сонымен, (5) және (6) теңдіктерді еске алып, табатынымыз:

(7)

Міне, осы тапқанымыз кез келген санының логарифмі болады және оны былай белгілейді:

Осы табылған логарифмнің негізі санына тең, былайша айтқанда бұл – натурал логарифм.

(7) теңдіктен біз мынадай қорытындыға келеміз: көп мәнді функция. Осы функцияның мәніне сәйкес мәнін логарифмінің бас (немесе негізгі) мәні деп атайды және оны деп белгілейді. Сонымен, логарифмінің бас мәні мынаған тең:

. (9)

,

және бұл санның логарифмі

болады. Ал бұл логарифмнің бас мәні болады.

Жалпы алғанда нақты оң санның логарифмі комплекс сан болатынын және оның шектеусіз көп мәні болатыны осы (10) теңдіктен байқалады.

Сөйтіп, орта мектепте санның логарифмі деп жүргеніміз оның логарифмінің бас мәні болатын болды. Мысалы 2-нің натурал логарифмі болады, ол мынаған тең:

.

Бірақ практикалық мәселелер үшін оның бас

,

,

, .

.

Жоғарыда келтірілген қорытынды осы формула үшін қайталап, теріс санның логарифмі болады, ол – комплекс сан деген қорытындыға келеміз. Мәселен,

,

.