Определение коэффициентов

112 


2
0
1
( )
sin ,
cos
sin
q A
F A
A
d
A

 

 



; 
(14.15) 


2
'
0
1
( )
sin ,
cos
cos
q A
F A
A
d
A

 

 



.
(14.16) 
Если выходной сигнал нелинейного элемента не зависит от производ-
ной входного сигнала, т.е. имеет место нелинейная зависимость (14.1), опре-
деляемая формулой 
 
2
1
x
F x

то 
'
( )
0
q A

.
С учетом того, что 
cos
(sin )
d
d
 


из соотношения (14.16) введя за-
мену 
sin
y
A


можно записать 

 

   
2
0
'
2
2
0
0
1
1
( )
sin
sin
0
q A
F A
d A
F y d y
A
A










. 
(14.17) 
Здесь мы использовали тот факт, что при замене 
sin
y
A


оба предела 
у интеграла оказываются нулевыми:
0, при
0
0, при
2
y
y










.
Таким образом, получаем следующее линеаризованное уравнение (14.2): 
2
1
( )
x
q A
x


. 
Приведем пример вычисления 
коэффициента ( )
q A
. На рис. 14.2 по-
казано как формируется выходной 
сигнал релейного нелинейного эле-
мента с зоной нечувствительности 
при подаче на его вход синусоиды. 
С использованием представле-
ния (14.3)




2
sin
sin
x
F A
t
F A




, 
в соответствии с (14.9) имеем 
Рис. 14.2. Прохождение синусоидаль-
ного сигнала через релейный элемент
с зоной нечувствительности

113





2
0
0
1
2
( )
sin
sin
sin
sin
q A
F A
d
F A
d
A
A



 

 






.
С другой стороны, как нетрудно видеть из рисунка 14.2 


1
1
2
2
0,
при
,
sin
,
при
,
0,
при
.
F A
c
 

  
 




 




Следовательно 
2
2
1
1
1
/2
2
2
4
( )
sin
cos
cos
с
с
q A
с
d
A
A
A






 









(в последнем равенстве мы удвоили коэффициент, т.к. интервал интегриро-
вания 


1
2
,
 
с учетом симметрии уменьшен вдвое: 


1
,
/ 2
 
). С учетом 
того, что
2
1
2
arcsin
,
,
а cos
1 sin
2
b
A









, 
окончательно получаем 
2
4
4
4
( )
cos arcsin
cos
1
2
c
b
c
c
b
q A
A
A
A
A
A






 
 






 
 


 
 
.
14.3. Определение параметров автоколебаний
с использованием критерия Михайлова 
Для замкнутой системы, схема которой приведена на рис. 14.1, харак-
теристическое уравнение (14.12) в общем случае (14.11) имеет вид 
 
'
( )
1
( )
0
q A
q A
p W p











.
(14.18) 
Пусть передаточная функция линейной части системы задана в виде 
 
( )
,
( )
0
( )
R p
W p
Q p
Q p


.
(14.19) 
Тогда характеристическое уравнение (14.18) можно записать в виде 

114 
'
( )
( )
( )
( )
0
q A
Q p
R p q A
p










.
(14.20) 
Из (14.20) видно, что коэффициент гармонической линеаризации зави-
сит от амплитуды и частоты. Если в системе возникают периодические ко-
лебания с постоянной амплитудой и частотой этот коэффициент также ста-
новится постоянным. При этом характеристическое уравнение обязано 
иметь пару чисто мнимых корней, что соответствует нахождению системы 
на границе устойчивости. 
Из этих соображений следует общая схема выявления и определения 
параметров автоколебаний в нелинейной системе. Вначале формируется ха-
рактеристическое уравнение (14.20) и осуществляется подстановка в него 
p
j


. Далее для определения параметров автоколебаний 
,
A

можно 
применить любой из методов определения границы устойчивости. Наиболее 
удобным во многих отношениях является применение критерия Михайлова 
(требование прохождения кривой Михайлова через начало координат). 
Метод реализуется так же, как при построении 
D
-разбиения. Для вы-
полнения условия прохождения кривой Михайлова через начало координат 
вещественная и мнимая часть и одновременно приравниваются нулю: 




,
0
,
0
U
A
V
A


 

 
.
(14.21) 
Решая систему уравнений (14.21) относительно 
А, ω
получаем искомое 
решение. Заключительным этапом является исследование устойчивости 
найденного периодического решения. 
14.4. Определение автоколебаний
с использованием критерия Найквиста 
Критерий Найквиста позволяет определять параметры автоколебаний в 
замкнутой нелинейной системе с использованием свойств разомкнутой си-
стемы. После гармонической линеаризации нелинейного элемента 
 
2
1
x
F x

, с учетом того, что в результате подстановки 
p
j


'
'
( )
( )
q A
p
jq A


(14.22) 

115

в общем случае получаем 
'
( )
( )
( )
н
q A
W A
q A
j
p



.
(14.23) 
Общая передаточная функция разомкнутой системы 
'
( )
( ) ( )
( )
( )
(
)
общ
н
p j
W
A
W A W p
q A
jq A W j










.
(14.24) 
Автоколебания возникают только в случае, когда система находится на 
границе устойчивости. По критерию Найквиста признаком того, что си-
стема находится на границе устойчивости является прохождение ампли-
тудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы через точку 
(
1, 0
j

). Следовательно, необходимо потребовать выполнения равенства 
'
( )
( )
(
)
1
q A
jq A W j




 


(14.25) 
или
'
( )
( )
(
) 1 0
q A
jq A W j




 


.
(14.26) 
Далее разделяя вещественную и мнимую часть выражения в левой ча-
сти (14.26) и приравнивая их одновременно к нулю, получаем систему двух 
уравнений, из которых определяем параметры автоколебаний 
А, ω
. 

жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: