Принцип максимума Понтрягина

122 
0
0
( , , )
min
N
t
t
J
f x u t dt



.
(15.29) 
Эта задача существенно отличается от сформулированной выше. В дан-
ном случае функция управления 
( )
u t
может быть кусочно-непрерывной и 
не требуется гладкость (непрерывная дифференцируемость) 
( , , )
i
f x u t
по 
u
.
Cоставим функцию Лагранжа 


0 0
1
1
( , , , , )
( , , )
n
n
i
i
i
i i
i
i
L x u
t
f
f x u t
x
H
x
 












, 
(15.30) 
где 
0
( , , )
n
i
i
i
H
f x u t




– 
Гамильтониан (функция Понтрягина). Далее задача 
сводится к следующей: 
0
( , , , , )
max
N
t
t
J
L x x u
t dt




; 
(15.31) 
0
0
( )
,
( )
N
N
x t
x
x t
x


. 
(15.32) 
Функционал (15.31) максимизируется, т.к. коэффициент 
0

при 
0
f
принят 
0
1

 
. 
Пусть , ,
x u




решение задачи (15.31), (15.32). Очевидно, что эта за-
дача равносильна следующим двум: 
0
1
( , ,
, , )
max
N
t
t
J
L x x u
t dt





; 
(15.33) 
0
2
(
,
, ,
, )
max
N
t
t
J
L x x u
t dt







(15.34) 
или 
0
1
1
( ,
, , )
max
N
t
n
i
i
i
t
J
H x u
t
x dt















; 
(15.35) 
0
2
1
(
, ,
, )
max
N
t
n
i
i
i
t
J
H x u
t
x
dt


















. 
(15.36) 
Задача (15.35) – простейшая задача вариационного исчисления, кото-
рую мы рассмотрели выше. Для нее необходимые условия экстремума да-
ются уравнениями Эйлера: 
x
H
 
ψ
; 
(15.37) 

123

H

 
x
. 
(15.38) 
Решение задачи (15.36) очевидно: управление 
( )
u t

доставляет макси-
мум исходному критерию в том и только в том случае, если всюду на интер-
вале 


0
,
N
t t
, кроме точек разрыва 
( )
u t

max
( , ,
, )
( ,
,
, )
H x u
t
H x u
t
u U









. 
(15.39) 
Соотношения (15.37), (15.38) вместе с (15.39) составляют необходимые 
условия исходной задачи (15.27) – (15.29). Уравнение (15.37) называют со-
пряженными уравнениями или сопряженной системой. Уравнения (15.38) 
совпадают с уравнениями объекта, поэтому их можно не рассматривать. 
Таким образом (
принцип максимума Понтрягина
), для того чтобы пара 
( ),
( )
u t x t


была решением задачи (15.27) – (15.29) необходимо, чтобы суще-
ствовали такие, не обращающиеся одновременно в нуль, константы 
0
0



и решение 
1
2
,
,...,
T
n
 







 

ψ
сопряженной системы при 
( )
( )
x t
x t


и 
( )
( )
u t
u t


, что при всех 


0
,
N
t
t t

,
кроме точек разрыва 
( )
u t

, функция 
( )
(
, ,
, )
H u
H x u
t




(15.40) 
достигает при 
( )
( )
u t
u t


максимума. 
15.5. Метод динамического программирования 
Основой метода динамического программирования является принцип 
оптимальности Беллмана, который формулируется следующим образом.
Каковы бы ни были начальное состояние и решение на начальном 
этапе, решения на последующем этапе должны составлять оптимальную 
стратегию относительно состояния, которое получено в результате при-
нятия решений на начальном этапе.
Например, если 
( )
( )
x t
x t


минимизирует функционал 
( , , )
J x u t
на ин-
тервале 
 
0,
t
, то участок траектории на интервале 
 
,
t T
может рассматри- 
ваться как самостоятельная траектории, причем она оптимальна, если мини-
мизирует функционал 
( , , )
J x u t
на интервале 
 
,
t T
. 
Построим основное функциональное уравнение Беллмана. Рассмотрим 
задачу 
( , , ),
1,
i
i
x
f x u t
i
n


; 
(15.41) 

124 
0
0
( )
x t
x

; 
(15.42) 
0
( , , )
min
T
Q
G x u t dt



, 
(15.43) 
где 
T
– 
фиксирована, а 
 
x T
– 
заранее неизвестна.
Пусть существует, соответствующее оптимальной траектории, мини-
мальное значение 
( , )
S x

функционала (15.43). Возьмем любое управление 
( )
u t
для перехода из точки 
 
x

в точку 
 
x T
и оптимальное 
( )
u t

для пе-
рехода из точки 
 
x s
в точку 
 
x T
. 
Тогда функционал примет значение 
0
0
( , , )
( , )
T
Q
G x u t dt
S x s



. 
(15.44) 
Ясно, что 
( , )
( , , )
( , )
s
S x
G x u t dt
S x s





. 
(15.45) 
Если 
( , )
S x

дифференцируема, то ее можно представить в виде 
1
( , )
( , )
(
)
(
)
(
)
n
i
i
i
S dx
dS
S x s
S x
s
s
o s
x ds
d









 
 



. (15.46) 
Подставим ( , )
S x s
из (15.46) в (15.45), при этом вместо 
i
dx
ds
подставим 
правую часть (15.41): 
1
1
(
)
( , , )
( , , )
(
)
s
n
i
i
i
S
S
s
G x u t dt
f x u t
s
x
s



















. 
(15.47) 
Переходя к пределу при 
s


получаем 
1
( , , )
( , , )
n
i
i
i
S
S
G x u t
f x u
x











. 
(15.48) 
Причем, если управление оптимальное, то неравенство превращается 
в равенство: 
1
( ,
, )
( ,
, )
n
i
i
i
S
S
G x u t
f x u
x















. 
(15.49) 
Это линейное уравнение первого порядка типа Гамильтона-Якоби 
называется уравнением Беллмана. Оно дает лишь необходимые условия 
оптимальности. 

125

 
 
 
Лекция 16. АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
УПРАВЛЕНИЯ 
16.1. Основные понятия и определения,
классификация адаптивных систем 
Адаптивные системы управления – это класс систем, в которых имеется 
возможность изменять параметры алгоритмов управления или структуру 
блока управления в зависимости от изменения характеристик объекта 
управления или действующих на объект управления внешних возмущений. 
Адаптивное управление широко применяется при построении систем авто-
матического управления (САУ). 
Адаптивные САУ делятся на две большие группы: 
1. 
Самонастраивающиеся
системы, в которых перестраиваются только 
параметры алгоритмов управления. 
2. 
Самоорганизующиеся
системы, в которых перестройке подвергается 
также структура блока (алгоритмов) управления. 
По способу определения текущих характеристик объекта системы ав-
томатического управления делятся на 
1. Поисковые. 
2. Беспоисковые. 
Целью поисковых систем является поддержание системы в точке экс-
тремума заданного критерия эффективности САУ. В таких системах для 
определения управляющих воздействий, обеспечивающих движение к экс-
тремуму, к управляющему сигналу добавляется поисковый сигнал. Поиско-
вые системы, в которых задан критерий эффективности, часто называют 
также экстремальными. 
В беспоисковых системах отсутствует поисковый сигнал, а пере-
стройка параметров блока управления осуществляется либо по заданной 
эталонной динамической модели системы с заданным качеством, либо с ис-
пользованием параметров модели объекта, определяемых путем идентифи-
кации. В соответствии с указанными способами 
получения информации
рас-
сматривают: 

126 
1. Системы с эталонной моделью (ЭМ). 
2. Системы с настраиваемой моделью (НМ). 
В адаптивных системах с настраиваемой моделью могут быть реализо-
ваны следующие принципы управления: 
1. Прямой. 
2. Косвенный (непрямой). 
При косвенном адаптивном управлении сначала делается оценка (иден-
тификация) параметров объекта. После этого на основании полученных оце-
нок определяются требуемые значения параметров блока управления и про-
изводится их подстройка. 
При прямом адаптивном управлении используется связь между пара-
метрами объекта и блока управления. В силу этой связи осуществляется 
непосредственная оценка и перестройка параметров блока управления в за-
висимости от текущих параметров объекта. 

жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: