Лекции по теории управления : учебное пособие

117

 
 
 
Лекция 15. ОПТИМАЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 
15.1. Постановка задачи оптимального управления 
Пусть уравнение объекта имеет вид 


, ,
f
t

x
x u
, 
(15.1) 
где 
 
f

– нелинейная вектор-функция, 
t
t
X

x
, 
t
U

u
, 
n
t
X
R

, 
r
t
U
R

.
Заданы краевые (граничные) условия: 
0
0
( )
,
(
)
N
N
t
X
t
X


x
x
.
(15.2) 
Задан критерий оптимальности в виде функционала 


( ), ( )
J
J
t
t

x
u
.
(15.3) 
Требуется найти управление 
*
( )
t
u
и траекторию 
*
( )
t
x
, при которых 
функционал (15.3) принимает экстремальное значение. 
В зависимости от краевых условий, ограничений и критерия рассмат-
ривают различные задачи оптимального управления. 
По виду ограничений: с ограничениями в виде равенств и неравенств: 
( , , )
0,
1,
k
t
k
m



x u
; 
( , , )
0,
1,
k
t
k
m



x u
и с изопериметрическими ограничениями 
0
( , , )
,
1,
N
t
j
j
t
f
t dt
b
j
l



x u
, 
которые всегда сводятся к дополнительным уравнениям с краевыми усло-
виями. 
По виду краевых условий рассматривают следующие задачи. 
1. С фиксированными (закрепленными) концами 
0
0
( )
,
t

x
x
( )
N
N
t

x
x
. 
2. С подвижным правым (или левым) концом или с обоими. 

118 
3. Со свободным правым концом 
N
x
совпадает со всем пространством. 
По виду критерия оптимальности известны следующие задачи: задача 
Больца, задача Лагранжа, задача Майера, задача терминального управления, 
задача максимального быстродействия. Мы будем приводить формули-
ровки критериев по мере рассмотрения соответствующих задач. 
15.2. Построение оптимального управления
с помощью классического вариационного исчисления 
Рассмотрим простейшую задачу вариационного исчисления: 
0
0
( )
( , , )
N
t
t
J y
f y y t dt
extr



(15.4) 
(для простоты 
( )
y t
считаем скалярной функцией). Полагая, что 
*
( )
y t
(пока 
неизвестная) экстремаль, представим 
( )
y t
как вариацию: 
*
( )
( )
( )
y t
y t
y t



.
(15.5) 
Производная функции (15.5) имеет вид
*
( )
( )
( )
y t
y t
y t



.
Подставляя введенные обозначения функции 
( )
y t
и ее производной в 
уравнение функционала (15.4) для каждого фиксированного 
( )
y t
можно за-
писать функцию 
0
*
*
*
0
( )
(
)
(
,
, )
N
t
t
Ф
J y
y
f y
y y
y t dt










, 
(15.6) 
достигающую экстремума при 
0


.
Следовательно, должно выполняться
0
'
'
*
*
'
*
*
0
0
(0)
(
,
, )
(
,
, )
0
N
t
y
y
t
Ф
f
y y t y
f
y y t y dt









.
(15.7) 
Второе слагаемое в (15.7)
интегрируем по частям по формуле 
0
N
t
t
uv
vdu


, 
где 
'
*
*
0
(
,
, )
y
u
f
y y t

, 
'
*
*
0
( ,
, )
y
d
du
f
y y t dt
dt

, 
dv
ydt

, 
dy
v
dt
y
dt



. С использованием этих обозначений в предположении 
0
( )
0
y t

, 
(
)
0
N
y t

имеем

119

0
'
*
*
'
*
*
'
*
*
'
*
*
0
0
0
0
(
,
, )
(
,
, )
(
,
, )
(
,
, )
N
t
y
y
y
y
t
f
y y t y dt
f
y y t y
f
y y t y dt
f
y y t y dt






, 
поэтому в соответствии с (15.7) 
0
'
'
*
*
'
*
*
0
0
(0)
(
,
, )
(
,
, )
0
N
t
y
y
t
d
Ф
f
y y t
f
y y t ydt
dt











. 
При произвольном 
y
это равенство возможно только при 
'
*
*
'
*
*
0
0
(
,
, )
(
,
, )
0
y
y
d
f
y y t
f
y y t
dt


.
(15.8) 
Мы получили уравнение Эйлера – необходимое условие экстремума. 
Если 
*
( )
y t
является экстремалью, она удовлетворяет уравнению Эйлера, 
обратное в общем случае неверно. 
По аналогии с (15.9) запишем также векторное уравнение Эйлера: 
*
*
*
*
0
0
( ,
, )
( ,
, )
0
y
y
d
f y y t
f y y t
dt

 

, 
(15.9) 
где 
y

y

– градиенты по 
y
и 
y
соответственно. 
15.3. Уравнения Эйлера-Лагранжа 
Сформулируем следующую задачу 
( , , )
0,
1,
i
i
f x u t
x
i
n



; 
(15.10) 
( , , )
0,
1,
k
x u t
k
l



; 
(15.11) 
0
0
( )
,
( )
N
N
x t
x
x t
x


; 
(15.12) 
0
0
( , , )
min
N
t
t
J
f x u t dt



.
(15.13) 
Эта задача отличается от простейшей вариационной задачи тем, что 
кроме краевых условий (15.12) введены дополнительные ограничения в 
виде равенств (15.10), (15.11). Заметим, что соотношение (15.10) является 
уравнением объекта (15.1). 
Для того, чтобы свести задачу с ограничениями к задаче без ограниче-
ний составим функцию Лагранжа 

120 


0 0
1
1
( , , , , , )
( , , )
( , , )
p
l
i
i
i
k
k
i
k
L x x u
t
f x u t
f x u t
x
 


 








, (15.14) 
где 
0
( ),
1, ,
,
1, ,
i
k
t i
p
const k
l
const







– 
множители Лагранжа. 
Теперь задача (15.10) – (15.13) преобразуется в простейшую задачу 
(15.4) без ограничений: 
0
( , , , , , )
N
t
t
J
L x x u
t
extr
 



(15.15) 
при 
0
0
( )
,
x t
x

( )
N
N
x t
x

. Чтобы исключить тривиальное решение 
0
J

, 
надо также потребовать 
( )
0,
i
t


0,
k


0
0


.
В данном случае роль независимого аргумента 
( )
y t
, который фигури-
рует в задаче (15.4), играет вектор 
( , , , )
x u
 
, который далее мы будем обо-
значать 
x
. Тогда уравнения Эйлера (15.9) с учетом того, что 
0
( , , )
f
x u t
не 
зависит от 
u
можно записать в виде 
( , , , , , )
( , , , , , )
0
x
x
d
L x x u
t
L x x u
t
dt
 
 

 

; 
(15.16) 
( , , , , , )
0
u
L x x u
t
 


. 
(15.17) 
Эти уравнения называют уравнениями Эйлера-Лагранжа. Уравнения 
(15.16), (15.17) часто записывают с использованием Гамильтониана: 
0
1
( , , )
n
l
i
i
k
k
i
k
H
f x u t

 






. 
(15.18) 
Сравнив (15.18) с (15.14) нетрудно заметить, что 
1
n
i i
i
L
H
x





. 
(15.19) 
Тогда из (15.16), (15.17) и (15.19) получаем 
0
x
H


 
; 
(15.20) 
0
u
H


. 
(15.21) 
Таким образом, Гамильтониан, рассматриваемый как функция управ-
ления, удовлетворяет необходимым условиям экстремума. Это основной ре-
зультат, который формулируется следующим образом: если 
( ), ( )
x t u t
– ре-
шение задачи оптимального управления (15.10) – (15.13), то найдутся не 

121

равные нулю множители Лагранжа, при которых эта пара удовлетворяет 
уравнениям Эйлера-Лагранжа. 
Для нахождения оптимального управления необходимо совместно ре-
шить уравнения (15.10), (15.11) и (15.20, (15.21): 
( , , )
0,
1,
i
i
f x u t
x
i
n



; 
(15.22) 
( , , )
0,
1,
k
x u t
k
l



; 
(15.23) 
x
H

 
; 
(15.24) 
0
u
H


. 
(15.25) 
при краевых условиях 
0
0
( )
,
( )
N
N
x t
x
x t
x


.
Множители Лагранжа входят в уравнения линейно и однородно, по-
этому ничего не изменится, если все множители умножены на одно число. 
С учетом этого один (любой) множитель можно задать произвольно. 
Обычно полагают
0
1

 
. 
(15.26) 
Тогда остается определить 2
n r
l
 
неизвестных – 
,
,
1,
i
i
x
i
n


, 
,
1, ,
j
u
j
r

,
1,
k
k
l


. Для этого имеется столько же уравнений (15.22) – 
(15.25). Среди них 
2
n
дифференциальных – это (15.22), (15.24). При реше-
нии дифференциальных уравнений появятся 2
n
неизвестных, которые опре-
деляются из 2
n
краевых условий 
0
0
( )
,
x t
x

( )
N
N
x t
x

.
Таким образом, за-
дача сводится к решению задачи Коши. 

жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: