8-лекция
3.2 Сызықты түрлендірулердің түрлері
3.2.1. Түрлендірудің бейнесі мен ядросы және түрлері
1-анықтама. Сызықты кеңістігіндегі түрлендіруінің бейнесі деп түріндегі барлық элементтердің жиынын айтамыз және ол немесе таңбасымен белгіленеді.
Басқаша айтқанда, теңдігінің кем дегенде бір шешімі бар болатын элементтерінің жиыны түрлендірудің бейнесі болады.
кеңістігінің өлшемі сызықты түрлендіруінің рангісі деп аталады және ол немесе .
2-анықтама. Сызықты кеңістігіндегі түрлендіруінің ядросы деп теңдеуін қанағаттандыратын элементтерінің жиынын айтамыз және ол немесе таңбасымен белгіленеді.
кеңістігінің өлшемі сызықты түрлендіруінің дефектісі деп аталады.
1-теорема. Сызықты өлшемді кеңістігінің кез келген сызықты түрлендіруі үшін немесе формуласы орындалады.
1-мысал. Берілген түрлендіруінің мен кеңістіктерінің өлшемі және олардың базисін анықтаңдар: , мұндағы .
Шешуі. Берілген түрлендіруінің матрицасын анықтайық:
кеңістігінің анықтамасы бойынша: элемент кеңістігінің элементі болу үшін орындалуы қажетті әрі жеткілікті, яғни матрица түрінде
.
матрицасының рангісі 2-ге тең, олай болса, .
Енді кеңістігінің базисі ретінде матрицаның тік жолдарын алайық, мысалы .
ядроның анықтамасы бойынша: элемент кеңістігінің элементі болу үшін теңдігі орындалуы қажетті әрі жеткілікті, яғни матрица түрінде немесе
Демек, кеңістігі біртекті жүйенің шешімдерінен анықталған кеңістік. Сондықтан .
-кеңістігінің базисі ретінде біртектес жүйенің іргелі шешімдерін алуға болады. Енді осы жүйенің іргелі шешімдерін табайық:
Сонымен Мысал болғанда яғни базис -ядроның базисі.
Достарыңызбен бөлісу: |
