Лекциялар жинағы шымкент 2022 1-лекция Мектепте сандық жүйені оқыту. Натурал сандардың бөлiнгiштiк белгiлерi
жүктеу/скачать 8,29 Mb.
|
Лекциялар жинағы -11
| 3. Геометриялық прогрессияны оқыту
Анықтама. Екiншiсiнен бастап әрбiр мүшесi өзiнiң алдындағы көршiлес мүшенi бiрдей санға көбейткенде шыққан нөлден өзгеше сандардың тiзбегi геометриялық прогрессия деп аталады. Басқаша айтқанда, кез келген натурал n үшiн және (мұндағы q-қандай да бiр сан) шарттары орындалса, (bn) тiзбегi геометриялық прогрессия болады. санын геометриялық прогрессияның еселiгi деп атайды. Индукция әдiсiмен геометриялық прогрессияның n-шi мүшесiнiң мына формуламен анықталатындығы көрсетiледi. Бұл формуланың дұрыстығы математикалық индукция әдiсiмен дәлелденедi. болғанда геометриялық прогрессияны өспелi, ал болғанда геометриялық прогрессияны кемiмелi деп атайды. Геометриялық прогрессияға ғана тән қасиет былайша дәлелденiледi: геометриялық прогрессияның анықтамасы бойынша , бұдан . Егер геометриялық прогрессияның мүшелерi оң болса, онда екiншi мүшесiнен бастап геометриялық прогрессияның әрбiр мүшесi көршiлес екi мүшесiнiң геометриялық ортасына тең болады. Геометриялық прогрессияны былайша белгiлейдi: . (bп) геометриялық прогрессия берiлген болсын. Оның алғашқы п мүшесiнiң қосындысын Sп арқылы өрнектеймiз: Sп=b1+b2+b3+...+bп-1+bп (1) Бұл теңдiктiң екi бөлiгiн де q-ге көбейтемiз: Sпq=b1q +b2q +b3q +...+bп-1q +bпq Егер b1q= b2,b2q= b3,…,bп-1q=bп екенiн ескерсек: Sпq=b2+b3+...+bп+bпq (2) (2) теңдiктен (1) теңдiктi мүшелеп шегерiп, ұқсас мүшелердi бiрiктiрейiк: Sпq-Sп=(b2+b3+...+bп+bпq)-(b1+b2+b3+...+bп-1+bп)=bnq-b1 Ендi дейiк. Онда (3) формуласы келiп шығады. болғанда шектеусiз геометриялық прогрессияның қосындысы былайша анықталады: Прогрессияның алғашқы n мүшесiнiң қосындысының формуласын жазамыз: (4) Егер болса, онда да , сондықтан да (4) формуланың бiрiншi қосылғышы п-ге тәуелсiз. Демек, да, -қа ұмтылады. Сонымен, шексiз кемiмелi геометриялық прогрессияның қосындысы мына формуламен анықталады: (5) Шексiз кемiмелi геометриялық прогрессияның қосындысының формуласын ондық бөлшектердi жай бөлшектерге айналдыруда қолдануға болады. 0,(5) таза периодты ондық бөлшегiн мына түрде жазуға болатындығы белгiлi: Мұны бiрiншi мүшесi -ке, ал еселiгi -ге тең шексiз кемiмелi геометриялық прогрессияның қосындысы деп қарастыруға болады: Бұдан Ендi бiз периодында k цифр бар мына таза периодты ондық бөлшектi жай бөлшекке айналдырайық. Ол үшiн оны мына түрде жазамыз: Осы теңдiктiң оң жағында тұрған өрнектi , ал еселiк-не тең шексiз кемiмелi геометриялық прогрессия деп қарастыруға болады. Сондықтан немесе екендiгiн ескерсек, болады. Демек, таза периодты ондық бөлшек, алымы ондық бөлшектiң периодына, ал бөлiмi ондық бөлшектiң периодындағы қанша цифр болса, сонша тоғыздықтан құралған санға тең болатын жай бөлшекке тең болады. Ендi бiз аралас периодты ондық бөлшектi жай бөлшекке айналдырайық. Айталық, бiзге периодында k цифры, ал периодына дейiн lцифры бар аралас периодты мынадай ондық бөлiшектi жай бөлшекке айналдыру қажет болсын. Сонда Бұл теңдiктiң оң жағында тұрған екiншi мүшесiнен бастап, бiрiншi мүшесi -не, еселiгi -не тең шексiз кемiмелi г еометриялық прогрессия болатындықтан Демек, аралас периодты ондық бөлшек алымы – периоды алынған санмен периодына дейiнгi санның айырымына, ал бөлiмi – периодында қанша цифр болса, сонша тоғыздықтарға, ал үтiр мен периодтың арасында қанша цифр болса, сонша нөлдердi тiркестiрiп жазған санға тең жай бөлшекке тең болады. Мысалы Координаталық жазықтықтық жүйедегi теңсiздiктердiң жиындары кескiнделетiн аралықтары өзара қиылыспайды (ортақ нүктелерi жоқ). Мұндай теңсiздiктер жүйесiнiң шешiмдерi бос жиын. жүктеу/скачать 8,29 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|