Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
Гл. 4. Определенный интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| 260
Гл. 4. Определенный интеграл Если В lim Л'П' ( /) = I 1, то говорим, что функция / интегрируема на сегменте [а, 6] в d(JI* )-»0 направлении от точки 6 к точке а и записываем 1' = dx. Доказать, что если / £ Л [о, i], то существует а J /( я ) dx, и при этом Ъ Ь а 4 Если точки разбиения П = {жо = a, *i, = 6} совпадают с точками разбиения П', а точки £ fij, Tj + i] совпадают с точками £, £ [*•> *i+i]> то S n '( / ) = - S a ( /) , где 5 п (/) = п —1 __ Ь Ь ^2 f { Zj ) A x j . Поскольку 3 lim S n ( / ) = / f { x ) d x , то 3 lim 5П»( / ) = — / f { x ) d x . ► j=0 d(H)—о о 4П ')-*0 а 13. Пусть / : [а, 6] —► R, / £ Д[а, 6], А ^ /(х ) < 5 и ф : [Л, 5] —*• R, V € С[И, 5 ], д = ф о f : [а, Ь] —► R. Доказать, что д £ Л [а, 6]. ◄ Из условия / £ R [а, 6] следует, что функция / удовлетворяет критерию Лебега инте грируемости по Риману. Композиция д = ф о / непрерывна в каждой точке непрерывности функции / , поэтому также удовлетворяет критерию Лебега. Следовательно, д £ R[a, 6]. ► Заметим, что утверждение, содержащееся в доказанной теореме, в общем случае теряет силу, если условие непрерывности функции ф заменить условием ее интегрируемости. Пусть, например, ф-[ 0, 1] — к, / : [ а , 6] —>■ R, Ф(у) = 0, если у = О, 1, если у ф О, f ( x ) О, 1_ п ’ если х иррациональное, то если х = —« п 7 где m и п (n is 1) — взаимно простые целые числа. Функция / интегрируема на сегменте [а, 6] (см. пример 9), а функция ф интегрируема на сегменте [О, 1]. Вместе с том функция ф о f : [а, Ь] —► R, где , ,/ , I 0, если х иррациональное, ф о } ( х ) = < ' I 1. есл и х р ац и о н а л ь н о е, не интегрируема на сегменте [а, 6] (см. пример 8). 14. Пусть / £ Д[а, 6]. Доказать, что |/ | £ R[a, 6] и dx. ■4 Поскольку функция / удовлетворяет всем условиям теоремы Лебега, то этим же свой ством обладает и функция |/ |. Из неравенств — |/(х )| Sj f ( x ) ^ |/(х )|, х £ [а, 6], и свойства 2), и. 1.7, следует, что dx. ► Заметим, что из интегрируемости I/1 не следует, вообще говоря, интегрируемость / ; например, функция / : [а, 6] —*■ R, где /(*) = { 1, “ I, если х рациональное, если х иррациональное, не интегрируема на [а, 6], хотя функция |/ | интегрируема на этом сегменте. 1 5 . Пусть / б А[а, Ь], (р 6 А[а, 6]. Доказать, что ftp б А[а, Ь]. 4 Если функции / и <р имеют точки разрыва, то множества этих точек является мно жествами лебеговой меры 0 каждое, а объединение этих множеств будет в общем случае множеством точек разрыва функции ftp. жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|