§ 4 . Н е с о б с т в е н н ы е и н т е г р а л ы

298
Гл. 4. Определенный интеграл
6 - 0
Если / : [а, Ь[—<
■
R — неотрицательная функция, то сходимость интеграла f f ( x ) d x
а
означает его абсолютную сходимость.
X
Пусть / ( х ) ^ 0 Vi 
6
[а, 
6
[, /(х ) ^ 0. Тогда функция F : х ь-t f f ( t ) d t , а ^ х < b, воз-
а
Ь - 0
растает вместе с х, а интеграл f  /(х ) dx существует тогда и только тогда, когда множество
а
^ о г р а н и ч е н о сверху на полуинтервале [а, 
6
[.
6 - 0
Если же /(х ) ^
0
Vx 
6
[о, Ь[ и интеграл f  /(х ) dx не является сходящимся, то интеграл
а
Ь - 0
/ f ( x ) d x = +оо.
а
Ь-0
Если интеграл J  /(х ) dx сходится, то будем писать
6 - 0
J
/(х ) dx < оо.
а
О п ред елен и е 
2
. Всякий сходящийся несобственный интеграл, абсолютно расходящий­
ся, будем называть условно сходящимся.
Заметим, что если / € Д[а, 
6
], то
6 - 0
6
6
f ( x ) d x =
j
f ( x ) d x =
J
f ( x ) dx.
а
о
а + 0
4.3. А лгебраические свойства несобственных интегралов.
1
) 
Пусть / : [а, Ь[—<■
К и сужение функции / на любой сегмент [а, 
6
'] С [а, Ь[ интегрируемо 
по Риману на нем. Тогда функция а / , « = const, интегрируема на [a, i'] V« е R.
6 — 0 
х
Следовательно, если 3 Г f ( x ) d x =  lim f f ( t ) d t ,  то
х —
*Ь—0
6—0
ь—
о
2
) 
Пусть / : [а, Ь[—►
R, g : [а, &[-*■ R — функции, сужения которых на любой сегмент 
[a, 
b'] 
С [а, Ь[ интегрируемы по Риману на нем. Тогда этим же свойством обладает и сумма
•
6 - 0
6 - 0
/ + д, следовательно, если существуют интегралы J f ( x ) d x  и J g(x)dx, то
а
а
lim 
.£—►6
—
0
в силу чего
X 
X
X
J ( f ( t ) + 9{t)) dt = 
^ J  
lim J g ( t ) d t ,
a
a
a
Ь-0 
Ь—о 
6—0
/ (/(*)+*(*))«** 
=
/
/ ( x ) d x +
J

a
a
a
Таким образом, множество E функций / : [a, 
6
[ —> R, интегрируемых по Риману на всяком
6 - 0
содержащемся в [a, £>[ сегменте [a, b'] и имеющих сходящиеся интегралы f f ( x ) dx, образуют

299
ь-о
векторное пространство над полем R, а отображение /
J f {x) dx пространства Е  в R
а
есть линейная форма.
4.4. Замена переменной в несобственном интеграле и формула интегрирования по 
частям.
ь-о
1) Пусть /
: 
[а, &[—
►
R
, 
/ € С[<», 
6
[, и f f ( x ) d x  
< оо. 
Пусть 
[«, 
/?[
— 
другой полуинтервал
а
из R, причем tv, а £ R, но ft и Ь могут быть как конечными, так и бесконечными. Пусть 
функция д : [«,/?[—►
R возрастает на полуинтервале [a, ft[ и имеет на нем непрерывную 
производную д' всюду, за исключением счетного множества точек, и, кроме того,
S([«. /*[) С [а, Ь[, 
g{ct) - a ,
дЦЗ -  0) = Ъ -  0.
Тогда справедлива формула замены переменной в несобственном интеграле
Ь - 0
/ 3-0
J
f ( x ) d x
= 
J
f(g(u))g'
(и) 
du. 
(1)
а
а
2) Пусть / : [а, 
Ь[-+ 
R, д : 
[а, 
Ь[-+ К, /, Ь[, и а — конечное число. Тогда, 
применив формулу интегрирования по частям на сегменте [а, ж] С [а, Ь[, получим
X 
X
J
f(t) dt = f (x ) д(х) - f(a) д(а) -
J
f'(t)g(t) dt. 
(
2
)
a
a
Если при x —* b — 0 любые два из трех членов равенства (2) имеют конечный предел, то 
и третий член этого равенства имеет предел, поскольку произведение f(a)g(a) определено.
ь-о 
6-0
Если, например, существуют интегралы f f (x ) g' (x ) d x  и f f '( x) д(х) d x , то существует
а
а
произведение /(Ь — 0) д(Ь — 
0
).
6-0
Если же существуют интеграл J f ( x ) g ' ( x) dx  и произведение 
/(6
— 0)д(Ь — 0), то Суще-
§ 4 . Н е с о б с т в е н н ы е и н т е г р а л ы
6 - 0
ствует и интеграл f f ‘(x)g(x)dx.
а
В каждом из рассмотренных случаев имеем
ь-о 
ь-о
j
f ( x ) g ' ( x) d x  = f(b - 0)д(Ъ -  
0
) - f(a)g(a) -
J
f \ x ) g ( x ) d x .  
(3)
»
О
Формула (3) называется формулой интегрирования по частям несобственных интегра­
лов.
4.5. Случай внутренней особой точки.
Пусть функция / : [а, 
6
]\{с} —►
R, где с g]a, 
6
[, имеет интегрируемые по Риману сужения 
на любые сегменты [a, а'] С [а, с[ и [с', Ь] с]с, 
6
]. Тогда полагаем
/ л . )
6
с + 0
(
1
)
если каждый из интегралов, входящих в правую часть (
1
), существует, и будем называть 
несобственный интеграл сходящимся.
Если хотя бы один из этих интегралов не существует, то говорят, что несобственный 
интеграл расходится.

300
Гл. 4. Определенный интеграл
4.6. Признаки сравнения и признаки Абеля и Дирихле.
1) Если / и у — неотрицательные функции, определенные на полуинтервале [а, +оо[ и 
интегрируемые на любом сегменте [а, я] С [а, +оо[, причем /(я ) ^ д(я), то
X 
X
J  / ( * ) d t ^ J
f ( t ) dt ^ / g(t) dt, 
a ^ я < +oo,
•f o o
+ o o
и из сходимости интеграла f g(x)dx следует сходимость интеграла f f ( x ) d x ,  а из расхо-
а  
а
+ С О
+ 0 0
димости интеграла J f ( x ) d x  следует расходимость интеграла f g(x)dx.
а
а
2
) Пусть / : [а, +оо[—►
R — интегрируемая по Риману на любом сегменте [а, 
6
'] функция, 
бесконечно малая при я —►
+оо, того же порядка, что и функция I и -П-, or > 0. Тогда
+ о о
J f ( x ) d x  сходится при n >
1
и расходится при « ^
1
.
а
3) Пусть [а, 
6
[—►
R — интегрируемая по Риману на любом сегменте [а, 
6
'] 
С [а, 
Ъ[ функция,
имеющая при я —►
b — 0 тот же порядок роста, что и функция я 
1
.л , А > 0. Тогда
\Ь—X)
ь-О
J f ( x ) d x  сходится при А < 1 и расходится при А ^ 1.
а
+ о о
Теорема (признак Абеля). Пусть f : [а, +оо[—►
R, д : [а, +оо[—►
R, f f ( x ) d x cxodum-
а
+ о о
ся, а функция д монотонна и ограничена. Тогда интеграл J f ( x )g(x ) di  сходится.
Теорема (признак Дирихле). Пусть / : [а, +оо[—►
R, g : [а, +оо[—»■ R и функция /
X
имеет ограниченную первообразную я ь-*• f f ( t ) d t , а ^ я < +оо, а функция g монотонно
а
+ оо
стремится к нулю при я —*■
+оо. Тогда интеграл f f ( x ) g ( x ) d x сходится.
а
4.7. Главное значение расходящегося несобственного интеграла.
+ ОО
Пусть / : R —<■
R и интеграл J  /(я ) dx расходится.
— ОО
Если функция / интегрируема по Риману на всяком сегменте числовой прямой и если
А
существует lim 
I /( я ) dx, то его называют главным значением в смысле Коши расходяще- 
а ~ + 
оо
_
а
гося интеграла и обозначают
+ ОО
р. 
J  
/( я ) dx = ^lim 
J  
/( я ) dx.
Пусть / : [а, 
6
]\{с) —* R, с €]«, Ь[, и интеграл f f ( x ) d x  расходится.
Если при любом достаточно малом е > 
0
существуют интегралы J  /( я ) dx и f f ( x ) d x  и
а 
с+е
существует
(
С - £
Ь
\
6
I f ( x ) d x +  / f ( x ) d x  J = v. р. j f (x ) dx ,
« 
d t
)
l

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: