Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
§ С. Приложение определенного интеграла
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
§ С. Приложение определенного интеграла 317 *1 Р = \ J ( x{ t )y ' (t ) - y(t)x'(t))dt. ( 6 ) to Если фигура Ф не выпукла, но ее можно с помощью прямых, параллельных оси Оу, раз бить на выпуклые части, то к каждой такой части применимы формулы (4)—( 6 ). Складывая полученные результаты, опять придем к формулам (4)—( 6 ), справедливым для вычисления площади всей фигуры Ф. С.З. Вычисление объемов тел. О п ред елен и е. Пусть / : [а, Ь] —<• К, / £ С'[а, Ь]. Тело Т , образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции Ф, ограниченной графиком функции f , отрезками прямых х = а, х = b и сегментом [а, Ь] оси Ох, будем называть телом вращения. Теорема 1. Тело вращения Т кубируемо и его объем можно вычислить по формуле ь а Рассмотрим тело Т, содержащееся между плоскостями х = а и х — Ъ. Предположим, что всякое сечение Ф(х) тела Т плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке х £ [о, Ь], есть квадрируемая плоская фигура, площадь которой -Р(х) нам известна. Теорема 2. Если тело Т кубируемо, а функция Р и м Р{х:), а ^ х ^ Ь, интегрируема на [а, 6 ], то объем V тела Т можно вычислить по формуле V = / Р ( х ) dx. а ( 2 ) Найти длины дуг кривых у, заданных в пространстве R2: 1 1 3 . у = {(:с, у) £ К 2 : у2 = 2рх, 0 ^ х ^ жо, р > 0 }. ■4 Применим формулу (4), п. 6.1, приняв во внимание симметрию множества точек {М(х, у) 6 R ' : 0 х хо, у 2 = 2рх} относительно оси Ох\ 1 = 2 Л/ 1 + 7 .К О Ъ ' Ч \ / р + (\/ 2 х )2 л/ 2 ж dx = 2 / у р V3XQ i + (V2x)2 d(V2x) = 2 J \Jp + t2 dt = { t \ / p + t2 + p ln(< + \ J p + t 2 ) ) = 2 y x 0 ^xo + 0 + p In л/хо + y/xo + | y ± _ 1 4 2 ◄ В качестве переменной интегрирования возьмем у. Формула (4), п. 6.1, принимает вид 1 1 4 . у = <{ (х, у) £ К 2 : х = — - - In у, 1 ^ у I = j y/l + х'2(у) dy = J J 1 + \ ( j - dy. Следовательно, l = i/o- у жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|