Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

318
Гл. 4. Определенный интеграл
◄ Воспользуемся формулой (2), п. 6.1, получим
x'(t) = a(ch t — 
1
), . y'(t) = a sh t, 
x ,
2
(t) + y'2{t) = o
2
(sh2f + ch2i — 
2
ch t +
1
) =
2
a
2
(ch2t — ch t) =
= 2a2ch l(ch t — 1) = 4a2ch t sh
2
— 4a
2
sh
2
^ 
(2
ch
2
— — 1^ .
Z 
Z \
Z 
J
Следовательно, 
т
Ф
1
 ~
2“ / s h l v 2ch^
“ 1 ( i < = ^ i j
о 
0
(V
2
c h | ) - l d ( V
2
c h | ) =
=
y/2a ^-\/
2
ch 
^ y / c h t
— 
In
^-\/
2
ch 
^
+ V ch t'j
^
= a 
2
/ 
T ,-----
\
/- 
л
/2
ch ^ + Vch T \
1 1 6 .
7
= b> =
T + ^ >
◄ Длину кривой вычислим с помощью формулы (5), п. 6.1. Имеем
р2(р) + р'2(р) =
р
'{<
р
) =
■
 +
р sm р 
(1
+ cos р)2 ’ 
р2 sin
2
р
2
р*
(1 
+ CO S^ )) 2 
(l+COS^j)4 
(l+ c o s< ^ )3 
4 
cos6 j
’
7Г 
7Г 
7Г 
7Г
p f dp 
[ d p
f dt 
[
dt
2 
J
cos3 j
PJ
cos3 у
PJ
cos3 t 
PJ
cos i ( l —s
■
sin
2
1
)
1
V?
1
1
^Д
4 
/ v - i
V 4
\
л f  
d(sin t) 
/
dz 
/ f
dz 
f
z2 dz \
~ 2pJ
 
(1 
- sin
2
г)2 - p J  
(1
- г 2)2 ~
PU
+ J  ( l - * 2)2 
J 
"
n 
n 
\ 0 
0 
'
0
1
Д
— 
2
p
dz
1
- z
2
2(1
- z2)
_L 
Д
Д .
dz
2 
J
l - * 2
0
=
2
P 
y l n 1 + Z * + J _ '
0
V 2 d
4 
1 - z
= р(л
/2
+
1
п(
1
+ л /
2
)). ►
1 1 7 .
1 ^ р ^ з | .
◄ Для вычисления длины кривой 
7
воспользуемся формулой (
6
), п. 6.1, получим
3 
3
,==/ ф + (pp'(p))2 dp = j
dp = ( j +12 l n ‘
= 2 + - In 3. ► 
2
1 1 8 .
Доказать, что длина эллипса 
71
= {i = a cos<, у = b sin t, 0 ^ t SC 2тг} равна длине 
одной волны синусоиды 
72
= {)/ = с sin —, 
0
^ z ^ 2ж b} , где с =
а? —Ь2.

4  Обозначив длины эллипса и одной волны синусоиды соответственно через 1\ и (г, 
получим
§ 6. Приложение определенного интеграла 
319
/1
гп 
27Г
=
J
у / £'
2
(tf) + y,2(t) dt = 
J
 \/
a
2
sin
2
t + b2 cos
2
t dt}
о
2nb
то 
mb . 
h  =
J
\ J  
1
+ y,2{x ) dx =
J
у  
1
+ ~  cos
2
j d x =
о 
0
2
?r
6
 
2n
= 
J
yjb2 + (a2 — b2) cos2 ~ d 
=
J
\ / a
2
 cos
2
 t + b2 sin
2
 t dt 
0
 
- , 
0 
(в интеграле произведена замена ~ = t). 
'
Поскольку функции t i—^ sin
2
t, t i—> cos2 t , i £ R, периодические, с периодом T = к, 
t o
, 
согласно примеру 51, имеем
h — 2 
j
\ / a2 sin
2
t + b2 cos
2
t dt =
2
J
V
1
о
a2 sin
2
t + b2 cos2 t dt
= 4/ v '“
i
2
sin
2
t + b2 cos? t dt.
Аналогично имеем
= 4 
J
\J~ai2 cos2 t + b2 sin
2
t dt.
Заменяя в последнем интеграле переменную по формуле — — t = z, получаем
:2
sin
2
z + b2 cos
2
z dz = h. ►
Вычислить площади плоских фигур, ограниченных графиками следующих функций:
1 1 9 . 4 + Й- = 1> 1 * К “ -
а2 
о2
◄ Плоская фигура является эллипсом с полуосями х = 
а 
и х =
Ь. 
Используя симметрию 
точек эллипса относительно осей координат, вычислим площадь Pi его четвертой части. Со­
гласно формуле (
1
), п. 
6
.
2
, получим
F i = b / v / ‘ - $ i =
ab / cos
2
tdt = — ab
(здесь произведена замена ^ = sint). Окончательно имеем, что Р = 4Pi = ттаЬ. ► 
1 2 0 .
А х 2 + 2Вх у + Су2 = 1, А > О, А С  - В 2 > 0.
■* Решая относительно х уравнение Ах
2
+ 2Вху + Су2 — 1 = 0 , получаем
х =
_ - B y ±
А - (А С  - В 2) ■
,
А - (АС - В 2) у2 > 0.
Следовательно, \у\ <; у ^<-.-в
2
= 
Искомую площадь вычислим по формулу (2)-, п. 6.2, 
которая в рассматриваемом случае принимает вид
о
Р
-
J
(xi (у) -
x2(y))dy,

320
Гл. 4. Определенный интеграл
где
- В у + J A - ( А С - В 2) у2 
—By — у / А — (АС — В 2) у2
XI = -------------------------------------- , 
х2 = •------------------ ~
л------------------ •
Таким образом, имеем
Р = | J у / А - ( А С - В 2) у2 dy = 2^
С
± -
j
y/ b2 - y 2 dy =
=
\ JAC - B 2 
f
cos
2
t dt =
\JAC - IP = - _=Г._
A 
J
A
-J A C - В 2
(в интеграле произведена замена arcsili j = t). ►
1 2 1
. 
у = e~x\ sin x\, у =
0
, x 
^ 
0
.
•4
График функции у : x i—
►
e- x |sin x |, 0 
x < +oo, не имеет точек пересечения с осью 
Ох, являющейся его асимптотой при х —►
+ оо. Поэтому множество точек плоскости хОу, 
ограниченное графиком функции у и положительной полуосью R+ , не является квадрируемой 
фигурой в обычном понимании.
Рассмотрим множество площадей
и положим
| р ( х ) = j  е *| s
• f ОО
Р d= lim Р(х) = [ е 
.г— + оо 
J
sin i| dt, х G 
1
е
*|sm x|(tx.
Представляя Р в виде суммы
(H-I)IT
( * : + 1 ) 7 Г
+ <Х
> 
» 
’» 
л
= 2 /
2 /
1
---П 
1__п
е ‘‘Isinxldx
и заменяя в каждом интеграле переменную по формуле х — fcir = t, получаем
п
Z 
п
Р = lim S e_/i7r / e- t sintctt = lim S
n
— . 0 0
/
тг—.o o
^ — 2
1
__
П 
J 
»__r\
_fcjr 
sin t + c o s t 
e 
e 
------ -------
1
+ e-
• lim V eTfc\
n—
.oo « ^
Вопрос вычисления площади фигуры свелся к вычислению суммы 
убывающей геометрической прогрессии.
Таким образом, имеем
1
+ е~”
2(1
- е~*)
1
е,2 + е
2
л ’
Я
Я
е
2
- е
_ 2
►
1 2 2 . х = t), у = a(sin t — t cos t) , 
0
S$ t ^
2
тг, и отрезком 
луча x = а, у ^
0
.
◄ Рассмотрим плоскую фигуру М К N R P , ограниченную разверткой 
круга и отрезком луча х = а, у ^
0
(рис. 64). Искомая площадь Р  равна 
сумме площадей треугольника МОР и фигуры MKNRPOM. Очевидно, 
Р л м о р = та2, так как О А/ = а, |М Р | =
2
тга.
Переходя к полярным координатам р и <р, получим
2
2
. 
2
2
/-. . 
.2
\
р = X + у  = a (1 + t ),
tg(p =
sin t — t cos t 
cos t + t sin t ’

§ 6. Приложение определенного интеграла
321
Для вычисления площади фигуры MKNRPOM воспользуемся формулой (3), п. 
6
.
2
, а затем 
перейдем в интеграле от переменной <р к переменной 
1
.
Дифференцируя левую и правую части равенства
tSV =
sin 
1
— t cos 
1
находим
Следовательно,
dip =
л 
\ 
(  s i n
t  — 
£ c o s
t  
\
' 
\ c o s
£ + £ s i n
t )
cos 1 + 1 sin 1 ’
d ( ™ t - t c o s t \
e
dt
\
cos 
t
-f- 
t
sin 
t/
1 +
t2
P
m k n r p o m
= - / p2(ip)dtp
J
p2{ip)dip = у у
1
L
+ < 2 ) * 2
_ 4
3 „ 2
+ f2 
dt
=
-
t
a
Окончательно имеем
1 2 3 * x = a cos t, у =
P = na2 + 1 л
3
a
2 
a sin
2
t
у ( 4 т 3,+ Зт). ►
2
+ sin t '
◄ При возрастании 1 от 0 до ?r переменная х убывает от а до —в и при этом переменная 
у =
Li (i)
принимает.неотрицательные значения, возрастая от 0 до j при изменении 1 от О 
до ^ и убывая от j до 
0
при изменении 
1
от | до 
7
г. Если же t возрастает от т до 
2
т, то 
переменная х возрастает от —а до а, и значения переменной у =
1
-
2
(
1
) в интервале ]т, 
2
т[ 
больше значений у = ТД!) в интервале ]
0
, т[, так как sin! < О при 
1
€ ]т, 2т[. Следовательно,
a s in ^ t
уравнения х = a cos t, у
2 + s i n t
описывают замкнутую кривую с точками возврата (в, 
0
) и
( — 
а, 
0
). При этом интеграл 
Pi — f y d x  
равен площади фигуры, ограниченной кривой 
L\ 
(t)
о
2ж
и сегментом [—а, а] оси 
Ох, 
взятой со знаком “ — ”, а интеграл 
Р2 
= 
J y d x  
равен площади
7Г
фигуры, ограниченной кривой L2[t) и сегментом [—а, а] оси Ох. Поэтому искомая площадь 
Р равна алгебраической сумме Pi и Р2:
Р = Pi + Р’’ = j  »(<) Щ <) = /
™ ' ) * = - « ' / Д
ЯПЛ 
1
+ sin 
1
dt
=
2
ir 
27Г
= —a2 / fsin2 1 — 2 sin 1 + 4 -------- ;— ^ 
dt
- —Этте2 + 8a2 /
J l
2 + s u it/ 
у
<11
2
+ sint
Поскольку функция 1
1
-> 2+si~( , 
1
€ R, периодическая с периодом 
2
т, то, согласно примеру 
51, имеем
/
= /
*
= /
= J _ arct p t g ; +
4
J

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: