Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § 6. Приложение определенного интеграла 327
- § 6. Приложение определенного интеграла 329
|
2тг m m A n + nm , A x } = S n ( v ) + ^ 2 д *ч. 1=0 i=0 >=0 n-1 n-1 _ n-1 Vr2 = 2 n M m +i Ax, - xAf, Д *2 = -?n(v>) - д *? i=0 <=0 '=° П —1 следует, что Vr2 — Утг — 5п (^) “ £ п (^ ) — 7п> гДе 7п — ^г(Л/* + т , ) А х ,. Оценивая уП9 — 1=0 получаем |уп| ^ 2пМ{Ь — в)й(П), где М = = Принимая во внимание неравенство S a i f ) ~ Sn( чтобы выполнялось неравенство 2п М(Ь — а)й(П) < 3 > получим неравенство V t 3 — Vrx < е, из которого следует, что тело Т кубируемо (в силу включений 7\ С Т С Тг). ь ^ г Поскольку lim VT l = 2 n [ x f ( x ) d x , Urn Vr3 = 2 n f x f ( x ) d x , m V = 2 n j x f ( x ) d x . ► <1(П)-0 „ 0 1 3 5 . Доказать, что объем V тела Т, образованного вращением вокруг полярной оси Фигуры Ф = {(^, р = р(у>)> р ^ 0}, р € С[а, р], равен 326 Гл. 4. Определенный интеграл А Пусть П = {ifio = a, , 0} — произвольное раз биение сегмента [а, 0\, а Ф* — плоская фигура, ограниченная от резками лучей р = <р,, <р = +1 и куском кривой <р i->- р(<р), ^ < SPi + l ( Р И С . 6 6 ) . Обозначим Mi — max {р{<р)}> т > — min {р{<р)} и рассмотрим два тела Т) и Т2, образованных вращением вокруг *р полярной оси двух плоских фигур, составленных из круговых сек торов, имеющих соответственно радиусы Mi и m< и центральный угол A = — i = 0, п — 1. Из определения тел Т, Т\ и Т2 следуют включения Т2 С Т С T i . Вычислим объемы тел Ti и Г2, используя для этого известную из геометрии формулу для вычисления объема шарового сектора, имеющую вид V = |тгЯ2 А, где h — высота шарового сегмента, R — радиус шара. Имеем Рис. 66 VTl = ^ 2 |тг.Л/,?(cos - cos 1 ) = | tt ^ 2 sin + Vi+1 : sin ■ П—1 T/ 4 з • + +1 . A vt i = ^ > y«*, s m -------------sm — *=0 Обозначим = tpx, siny.- = max {sin ^}, sin = min {sin y>} и рассмотрим разность объемов V’i Vr, - V t 2 = |я - ^P(A/,? - m?) sin sin . t=0 Из неравенств (Af? - m?) sin ^ M? sin ^ - m3 sin ^ следует неравенство 2 n_~i V t , - V t 2 < - ^ £ ( * ? sin - m- sin£,) Дул = S n (/) - 5 n (/), где f )sin ^5, a ^ p ^ 0, — непрерывная на сегменте [а, /?] функция. Так как / € Я [о, /3], то Ve > О ЗП : 0 <; 5 П( /) — ,S'n(/) < е, следовательно, V t , — Vr2 < е. Таким образом, тело Т кубируемо, а его объем V можно вычислить по формуле (1), так как Р lim V t , = lim V t , d(n)—0 d(n)-.0 - H p3(p) sin ► Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями: 136. Параболоида вращения, площадь основания которого равна S, а высота равна Н. А Воспользуемся формулой (2), п. 6.3. Поверхность параболоида вращения задана урав нением z = х2 + у2, а в любом ортогональном сечении тела плоскостью z = с, 0 < с < Н , получим круг х3 + у2 ^ с. Таким образом, множество сечений тела, ограниченного поверхно стью z = х 2 + у2, является множеством кругов радиуса z, площади P(z) которых равны 7rz. Согласно формуле (2), п. 6.3, получим я о так как, согласно условию, жН — S. ► Я2 у2 z 2 + тт ----- т = 1, Z = ±с. 137. 62 С - А Тело ограничено однополостным гиперболоидом и кусками плоскостей z = ±с. В силу симметрии точек тела относительно плоскости хОу, достаточно вычислить объем части тела, лежащей в полупространстве z ^ 0, и удвоить результат. § 6. Приложение определенного интеграла 327 В ортогональном сечении тела плоскостью z — с\, 0 < а < с, получаем эллипс + -р— j!l. —ч j = 1, поэтому площадь P(z) поперечного сечения тела плоско- «Л/1+Ч стью, согласно решению примера 119, равна жаЬ ^1 + . Применив формулу (2), п. 6.3, получим с с V — 2 J P(z) dz = 2xab J ^1 H——^ dz = ^тгабс. ► о о 138. x2 + y2 + z2 = a 2, *»+»> = «*. ◄ Тело ограничено частью поверхности кругового цилиндра и двумя кусками сферы, а плоскость хОу делит его на две равные части. Поэтому рассмотрим ту часть тела, которая лежит в полупространстве z ^ 0. В сечении этой части тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, получим криволинейную трапецию, площадь Р(х) которой вычисляется по формуле у / а х —х Р(х) = 2 j \ / ( а 2 - х2) - у2 dy. Тогда искомый объем V получим, применив формулу (2), п. 6.3: а V = 2 J P(x)dx. о Вычислим сначала Р(х), произведя в интеграле подстановку t = arcsin . 9 у/а*—х* Р(х) = 2 f (о2 — х2) cos2 tdt — (о2 — х2) ( arcsin ^ . J \ у ® Т ® в I 33 у о Подставляя полученное Р(х) в формулу для вычисления объема V, находим а V = 2 J (а2 - х2) ^аarcsm , / —-----1- ) dx = 2(7i + h ) , а + х а + х где 7i = / (а2 — х2) arcsin . / ------ dx, 1ъ— I (a — x)\/ax dx = — a3. У у a + т J 15 о о В интеграле 7i произведем замену T = a t g 2^ , 0 ^ i p ^ j , получим 7i = a3 У - tg V ) rf(tg2«p) : 7Г = a3 ^ ^tg2y - “ J d^ j = It It It = “3( f - / ( d ^ - 1 ) t v + l J t f v - t f v + W t e r i - j ) * * ) = ' 0 n t\ ' 328 Гл. 4. Определенный интеграл Окончательно имеем — 1й п - Ш - Р Ы ) 1 3 9 . Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной в результате враще ния граф и ка функции х 2 + (у — Ь) = а2, |х | ^ а, 0 < а < 6, вокруг оси О х . М Вращающаяся окружность радиуса а с центром в точке (О, Ь) имеет две оси симметрии: ось Оу и прямую у = Ъ. Уравнения верхней и нижней частей окружности относительно прямой у = 6 имеют соответственно вид УВ = Ь + \ / а 2 — х 2, ун = 6 — у/ a 2 — ж2, |х| ^ а. Применив формулу (1), п. 6.3, получим 1Г а а 2 * (у | — Va)dx — 8x6 J \ / а2 — х 2 dx = 8 л а2 6 J cos2 td t = 2х2а26. ► о о 1 4 0 . Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной в результате враще ния графиков функций ж = a(t — sin 1), у = a(l — cost), О t 2л, и у — 0: 1) вокруг оси Ох; 2) вокруг оси Оу; 3) вокруг прямой у = 2а. < 1) Применив формулу (1), п. 6.3, получим 2tra 2rr 2?г V — х J у2 dx = ха3 J (1 — cos l)3 (it = 8xa3 J sin6 ^ rft = J sin6 z d z s= 32xa3 J = 16хал I sin0 z d z = 32xa° / sin0 z d z = 32xa3^ i = 5x2a 6 !! 2 (здесь воспользовались решением примера 43). 2) Объем тела вычислим по формуле, доказанной в примере 134: 2ira 2rr 3 V = 2x J xydx — 2xa3 J (t — sin f)(l — cos l)2 о / 2»r 21Г \ 2ir = 2xa3 I У t( l — cost)2 d t —J sin t( l — cosf)2 dt J = 2xa3 J t( l — cost)2 dt = \ o о / о 2ir 2it — 2xa3 J t — 2 cos i + j = Зла3 J t d t — 6x3a3 2ir ir (здесь мы приняли во внимание равенства f sin t(l — cost)2 dt = f sin t( l — cost)2 dt = 0, 0 —ir f t (—2 cos t + —| —) dt = 0.) о 3) Перейдем к новой системе координат по формулам yi = у — 2a, xi = ж. При этом получим V = Vi — V 2 , где Vi — объем кругового цилиндра, высота которого равна 2ха и радиус основания равен 2а, а объем V 2 вычисляется по формуле Ц = х 2ira dx = тга3 о о — cost)2 —4(1 — cost) + 4)(1 + c o sf)dt = тг2а3. § 6. Приложение определенного интеграла 329 Поскольку Vi = 8ж2а3, то V = 7ж2 а3. ► 1 4 1 . Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной пе тлей кривой у = {х — 2t — t2, у ~ 4 t — t3, t € К}, вокруг: 1) оси Ох: 2) оси Оу. ◄ 1) Поскольку х — у = 0 при 1 = 0 н при 1 = 2, т о 0 ^ 1 $ С 2 . При возрастании параметра t от 0 до 1 переменная х также возрастает от 0 до 1, а при возрастании 1 от 1 до 2 переменная х убывает от 1 до 0, поэтому 2 1 2 2 V = —ж J y2 d x - T J у2 dx = -ж J y 2 dx = 2ж j ( t - 1)(1612 - 81* + tB)dt = |i j r . 2) Для вычисления объема воспользуемся формулой примера 134 и примем во внимание соображения, высказанные при рассмотрении случая 1). Тогда получим V 2 1 2 2 = —2ж J ху dx — 2ж J xydx = —2ж j ху dx = И = — 2ж J (21 — 12)(41 — t 3)2(l — t ) d t = 64 105 ж. ► 142. Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной гра фиком неявно заданной функции (х2 + у 2)2 = а2(х 2 — у2), вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу; 3) прямой у = х. < 1) Перейдем к полярным координатам х = р cos <р, у = р sin р . Уравнение кривой имеет вид р = a^/cos 2ip, \<р — Атг| < f , k = 0, 1. Принимая во внимание симметрию т о ч ^ .едицрй относительно полярной оси и прямой р cos ip = 0, воспользуемся решением примера135. при этом получим V 4 з 0 = J a3 cos? 2<р sin J (2 cos2 <р — 1) ? d(cos <р) — о 5 4 47га3 Зл/2 j(?-v )\d t = ^ жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|