Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

306
При t —> +0 функция t i—►
— t^  , 0 < / ^ 1, г/ > О, 
Р
С R, имеет тот же порядок роста, 
что и функция ti—
►
0
< 
1
, а при q ^
0
интеграл Ii не является несобственным.
Следовательно, согласно признаку сравнения 3), п. 4.6, интеграл h  сходится, если q < 1, 
и расходится, если q ^  
1
.
При t —* +оо функция t нч 
, 
1
^ t < 
+ о о , 
р > 1, убывает быстрее любой функции
вида 1
1
-+ 
jj
-, 
1
^ t < +оо, а > 
1
, так как в этом случае при любом q 
6
R имеем
е
0
-р)‘ 
]
П т ---------- : — = 0 ,
t
„ +00
t4 
t a
следовательно, интеграл 12 сходится при р > 1. Если р ^
1
, то 12 расходится.
Таким образом, интеграл / сходится лишь при q < 1 и р >
1
. ►
+ оо
Гл. 4. Определенный интеграл
9 8 .
l = J
^
dx.
+о
◄ Представляя I  в виде I = Ii + 12, где
dx, 
12
4- о о  
/
-
• dx,
+о
Записав 12 в виде
h = 1
существует, поскольку 3 lim
х—
*
4*0
s i n 2 
я 
X
-foo
/
/ X
[ 
1
— cos 2х , 
1
/
/
f 
dt
dx — -
lim
J 
х
2
\ *-*
4
-оо 
\
J *
1
\
\
=
0
.
cos 
2
1
+ о о
и приняв во внимание, что lim 
f — =
lim In x = +oo, а интеграл f 
dx сходится no
I-.+ GO “ ‘ 
Ж-. + ОО 
J 
1
признаку Дирихле, делаем вывод о том, что интеграл 12 расходится.
Следовательно, интеграл I  расходящийся. ►
+ оо
dx
+ 0
XР + ХЧ
◄ При р = q, очевидно, интеграл I  расходится, поэтому исследуем его при р ф q. 
Пусть р < q. Представляя I  в виде / = Ii + 12, где
1
- /
+о
dx
Х Р 
+ Х<1
+ о о
/
dx
х Р + х ч ’
исследуем интегралы 1\ и 12 в отдельности.
Поскольку хЧхч = д|’(
1
+хч-р) и хЧ~Р 
О ПРИ х 
+0, то подынтегральная функция в
h  имеет при р > 0 тот же порядок роста, что и функция х 
Ч ,  0 < х ^ 1, р > 0. Если 
р ^
0
, то интеграл Ii существует.
Следовательно, согласно признаку сравнения 3), п. 4.6, h  в рассматриваемом случае 
сходится, если р < 
1
, и расходится, если р ^
1
.
Исследуем 12, представляя подынтегральную функцию в виде
f ( x )  = --------- = — т-—^------ - ,
1
^ х < +оо.
у ' 
хР + хч
т<|(1 +
хр
-
ч
) ’
^
При х —* +оо f ( x ) = О 
, следовательно 12 сходится при q > 1 и расходится, если 9 ^ 1 -
Таким образом, если р < q, то I  сходится при всех р < 
1
и q >
1
.
Если р > q, то, очевидно, исследуемый интеграл сходится при всех р > 
1
и q < 1.

§ 4. Несобственные интегралы
307
Оба рассмотренных случая легко объединяются в один: I  сходится, если min{p, <
7
} < 1, 
шах{;>, g} > 
1
. ►
+ оо
/
Р (ХЛ
1
г г
- rdx,
где Рт(х) и Рп(х) — взаимно простые многочлены степеней
Рп\Х)
+о
соответственно т и п.
◄ Если многочлен Рп(х) имеет действительные нули 
х 
= Xi на интервале ]
0
, +оо[, то 
интеграл расходится, согласно признаку 3), п. 4.6, так как при 
х
—►
Xi подынтегральная 
функция будет иметь одинаковый порядок роста с функцией
Х ^ (7"- < )'Л ’ 
x e S (Xi’ S)’
(здесь S(xi, S) — ^-окрестность точки ж;).
Если же многочлен Рп(ж) не имеет действительных нулей на интервале ]
0
, +оо[, то при 
х —*
+оо 
= О ( -ц ) и интеграл 
I
будет сходиться согласно признаку сравнения 2), п.
4.6, если п — in > 1, и будет расходиться при п — т ^ 1. ►
Исследовать на абсолютную и условную сходимости следующие интегралы:
+ СО
/ *
+о
1 0 1
. 
I
d x .
М Представим I в виде I = 1
1
+ /
2
, где
h
1 
+ О О
/
sin х . 
r 
[ sin a
----- dx, 
I2 = 
----
ж 
J
x
dx.
+0
Рассмотрим при 
0
< x\ < ж
2
< 1 интеграл
x 2
I
4
Sill X
dx.
Так как 0 < 
< 1 при Xi ^ x ^ X
2
, то 0 < I < X
2
— ®i, поэтому / —
+ 0 при xi —*• 0,
X
2
—>■
0, в силу чего интеграл 1
1
сходится согласно критерию Коши.
Поскольку |Е(ж)| = J  sin tdt ^
2
Vx б]
1
, +оо[, а функция х 
1
, 
1
^ х < +оо, убывая,
стремится к нулю, то интеграл 
/2
сходится по признаку Дирихле.
Из сходимости интегралов h  и h  следует, что интеграл I  сходится.
Из неравенства |sin x | ^ sin
2
ж, справедливого Уж £ R, решения примера 98 и признака 
сравнения 1), п. 4.6, приходим к выводу, что интеграл
+оо
sin ж|
/
• dx
расходится, следовательно, / — абсолютно расходящийся интеграл. ►
+ °° . j , i \
SH! (Ж + - )
102
. 
I
- /
+ 0
• dx.
< Пусть I = h  + / 2 +
/3
+ h rK где
1
+00
. 
1
. 
j
,
/
sin х cos -
f  sin x cos —
r 
f  cos ж sin -
f  cos x sin -
~
~ dX’ h = J
~x ~
dx, h = j
^ T ^ d x , h = J  —
- dx,
+
0
1
+
0
1
^ Т а к о е п р е д с та в л ен и е в о зм о ж н о д л я тех зн ач ен и и п а р а м е т р а а , п р и к о т о р ы х и н т е г р а л
I
существует.

а затем произведем в интегралах 1
1
и Лэ замену - = <. Тогда получим
308 
Гл. 4. Определенный интеграл
+ оо
- г -
cos t sin -
—— ‘- dt ,
t 2 - c
+ oo 
/
sin t cos -
----s----- -dt,
t 2 - a
из чего следует, что интегралы Д, 
1\ 
и I
2
, 
1з 
однотипны. Поэтому достаточно исследовать 
интегралы I
2
и h  и результат исследований автоматически перенести на интегралы Д и / з .
Поскольку liin cos — =
1
, то Это > 1:
X-*+CO 
X
1 
1 
1 
cos “
1
V® > то 
=>■ 
- < cos - < 1 
— — < — -2- < —
2
х 
’ 
2ха 
х а 
х а
г
COS —
поэтому 
| 
0
при 
х -* +оо 
и 
а > 
0
.
Функция 
х 
ь-+ sin s, 
1
^
х 
< +оо, имеет ограниченную первообразную Vs € [1, 
+оо[. 
Таким образом, при « > 
0
интеграл I
2
сходится по признаку Дирихле.
Покажем, что I
2
расходится при о; ^ 0. Пусть задано произвольное 0 < е < 1. Положим 
/? = —а и возьмем такое 
п 
6
N, чтобы выполнялось неравенство cos 1 
1 при 
х 
^
2
nir.
(
2
п+
1
)тг
Применяя первую теорему о среднем к интегралу 
f
x fi sin 
х 
cos ^ 
dx, 
получим неравенство
2птт
(
2
п+
1
)тг
/
2
нгг
xfi sin х cos — dx
1
— 
2
£n cos —— > 
^ Д 
2
nir ^
^ (
2
?i + l)ir,
?n
из которого, согласно критерию Коши, следует расходимость интеграла Д при а ^ 0, по­
скольку Vxo >
1
3)t 
6
N 
такое, что 2пж > х0. Следовательно, I
2
сходится лишь при а > 
0
. 
Из проведенных выше рассуждений следует, что Iз сходится лишь при 
2
— а > 
0
, т. е. при 
а
< 
2
.
Таким образом, интегралы 
/2
и 
/3
одновременно сходятся, если 
0
< а < 
2
.
1
sm —
1
Исследуем интеграл Д с помощью признака Дирихле. Так как 0 < ---- — < — — при всех
Х а
X a Ж^
X
* >
1
, « +
1
>
0
, а функция х ы- J  cos tdt, 
1
^ х < +оо, ограничена, то Д сходится при
1
(V +
1
>
0
, т. е. при а > — 1. Следовательно, Д сходится при п < 3, а оба интеграла сходятся 
одновременно при —1 < « < 3 . Так как ] — 1, 3[Л]0, 2[=]0, 2[, то интеграл I  сходится при 
0
< а < 
2
.
Исследуем интеграл I
2
на абсолютную сходимость. Из неравенств
1
— cos
2
x 
sin
2
х 
s*n х cos 
С J-----------
4ха
2ха
€
1
выполняющихся при всех достаточно больших х > 
1
, следует, что 12 сходится абсолютно при 
« > 
1
, а при л sj 
1
абсолютно расходится.
Следовательно, h  абсолютно сходится, если 2 — а >
1
, т. е. при а < 
1
. Поскольку 
множества {« £ R : а > 
1
} и {« 
6
К : а < 
1
} не пересекаются, то интегралы 
/2
и Д. не могут 
одновременно абсолютно сходиться ни при каких общих значениях а € R. Поэтому интеграл 
I  абсолютно расходится. ►
+оо
1 0 3 .
I
J
x2 cos(e1)dx.
◄ Полагая в интеграле 
ех = t, 
получаем
+ ОО
I
ч
\пЧ
cos t dt.

§ 4. Несобственные интегралы
309
Применив второе правило Лопиталя, находим
.. 
In2 t 
ln t 
1
Inn -----=
2
hm -----=
2
lim - =
0
.
t
—*+00
t 
t—
»-fOO t 
t
—*-+00
t
Следовательно, 
| 0 при t —* +
00
.
X
Поскольку функция x i-* f cos tdt = sin x — sin 1, 
1
^ x < +oo, ограничена, то, согласно 
признаку Дирихле, интеграл I  сходится.
Из неравенства 
cos f| ^ ^-^ cos
2
t, справедливого для всех t > 
1
, следует, что инте­
грал
h
расходится, так как
f  1ц2 * 

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: