Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
,. 1 f In2 1 1 f In2 1 J
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- / т « » /V*» hm — = lim - s_ + 0 111 - х—+0 In
- + о ( ( + л + ° ( ( t 1)2)
- *»• iV ц 3 s*>
- Г> _ |Y1 ^ M _k. iv . + CO
- § 5. Функции ограниченной вариации О п ред елен и е 1. Пусть / : [a, 6 ] —*• R, П — произвольное разбиение сегмента [й, Ь], п - 1
- Следствие. Если функции f и g монотонно возрастают на [а, Ь]
| 2
,. 1 f In2 1 1 f In2 1 J t 2 J * 2 j t l l i foo 2 X f -2—^dt = lim f l n 2 t d ( l n t ) = lim ~ In 3 x — +oo, а интеграл •j ‘ i —+oo “ x—+oo 3 - f CO f In2 t J T ' • cos 21 dt сходится по признаку Дирихле. ► Найти следующие пределы: 1 0 4 . lim [ c- ^ d t . 1 ◄ Применив первую теорему о среднем к интегралу I(x) = f dt, получим х I(x) = cosf ( i - l ) , X < f < 1 . Пусть x e] 0, [, где e > 0 — произвольное, наперед заданное .1 Тогда cos£ (1 — l) > следовательно, 7(х) —► +оо при х —» + 0 . Применив второе правило Лопиталя, имеем . lim яг—* + 0 Дх) х - 1 Нш .. J M . + 0 (х-1)' lim C O S X X 2 - + 0 - - = 1 . ► + °о / V * 1 0 5 . lim —----- 1 ----- . x - + o I n i + o o ◄ При любом a > 0 интеграл / dt сходится согласно признаку Дирихле. Поэтому + ОО [ ^— dt + оо J г Г Д - dt — С, С = const, и lim —-----i---- = 0 . Следовательно, t ‘ *-+о In - -(- ОО / т « » /V*» hm — = lim - s_ + 0 111 - х—+0 In - 310 Гл. 4. Определенный интеграл [ е~‘ Из неравенства I(x) = I ----dt ^ е a(lna — 1пх) следует, что lim 1(х) = + °°, поэтому, J t х— . + 0 X согласно второму правилу Лопиталя, получаем lim Цх) lim и » ^ - 1 . ;с-'+° In ^ *-* + 0 i y *-> + о — ^ X 1 0 6 . Доказать, что при х > О ЗН х == v. р. J + о 1 -е 2 ◄ При любых 0 < д < 1 и 0 < £ < 1 существуют интегралы Ii = f ПГТ’ ^2 ” / ПГТ, а 1 + е li х = lim м—+о е -*+0 1 —е х \ /■ _dt_ f dt_ J ln < + j In t < ju 1 + e t 1 < г < 2 . При 0 < г < 2 справедливо разложение ~ + j + 0 (г — 1), поэтому li * = lim (In 11 — lj Л -+0 e - » + 0 + + о ( ( < - 1 ) 2) Г £+ 1п(<- 1) + л + ° ( ( t ' 1)2) W 1 + e ^ 1 ' - 1 + c 11 + e = In(x - 1 ) + 2 + 0 ((x - l) 2), 0 < x ^ 2 . Если x > 2 , то получим 1 0 7 . Найти г f dt f dt f dt f dt . li ж = v. p. / -— = v. p. / ----- h / -— = 1 + / ----- 1 - 0 ( 1 ). J Int J In t J Ini J In t y 0 0 2 2 + oo p J x2 — 3x + 2 ' ◄ Квадратный трехчлен у = х 2 — Зх + 2 имеет действительные нули xi = 1 и х 2 = 2, следовательно, + оо 3 +оо f dx f dx f dx V' P’ J x 2 — 3x + 2 P J x 2 - 3 x + 2 + J x2 - 3 x 3x + 2 = lim I In *-*+o M^+O ж - 2 1 -е + In н 1 to 2 -д 3 ~ In х - 2 я — 1 х — 1 X — 1 0 i+* . t ~ . 2 + lim In ---- - 2 + д / I —+00 t — 1 = — In 2 + lim £ — > + 0 M— + 0 In 1 + £ 1 — £ + ln 1 4~ M 1 - д , x — 2 , 1 + lim m ----- - = In - . ► x —* + oo X — 1 l Упражнения для самостоятельной работы Вычислить следующие интегралы: + С С 1 67. Г тт£ з • 68. [ — dx { 1+1 L («- я)л/ Г—X 2 69. / (х2 + 1)-\/Г- + ° ° + о о + о о 71. / e - axcosbxdx, а > 0. 72. / е " ох sin Ъх dx, а > 0. 73. / п € N. § 5. Функции ограниченной вариации 311 О + оо • + о о 74- / ( ^ + 2 Ьх+с)~ ■ ас - fe 2 > 0. 75. / е- а * sin 211 х dx, а > 0. о п * 76. а) h = J I ns mx dx; 6) h = f In со s xd x . о о Исследовать на сходимость следующие интегралы: + со + о о 77- / т т т а - 7«- I * dx 1 +х 2 sin 2 х * 1 +оо ir I 7 ^ - 80 - / «1. J l n s i n x d x . о * , + о о + о о + о о / 2 . 1 \ 82. f ' - ^ ^ d x . 83. / щ т - 84. / х*е~*П dx. 85. / жпе ' + * J dx. о + оо 86 . f s i n ( x + l ) % Л ' . Доказать неравенства: + оо - 1-0 0 87- " I < / ^ f ^ < 7 - 88 . 0 < f e-*2 d x < ^ . 2 ■f оо + оо *»• iV < / ц < / 3 s*> 1 + оо о + о о 91. О < / е-1 ” dx < ?t > 1. 92. 1 - i / e-1 * dsc < 1 + £, n > 1. 93. Доказать, что lim f n2xn x( l - x ) d x ф f lim n2x n 1( l - x ) d x . Г> _ |Y1 ^ M _k. iv . + CO 94. Доказать, что если интеграл J f ( x ) dx абсолютно сходится, то + О 0 + оо lim J /(x )| sin x| dx = - J f { x ) d x . 95. Доказать равенство ^•-0 --0 2 - d x 2 / / V t & Z d x = - J s . +0 + oo 96. Доказать, что несобственный интеграл f sin 2 (ж (x + dx расходится. о Найти: + oo 2 тг 97. v. p. Г —^ — , 0 < a xdx— при a > 1 . r J a - p c o s i ' r J 1—x 3 r J 1 — a c o s x § 5. Функции ограниченной вариации О п ред елен и е 1. Пусть / : [a, 6 ] —*• R, П — произвольное разбиение сегмента [й, Ь], п - 1 Д /; = /( x ;+i) — f( xi ), Vn(/; a, 6 ) = ^ |Д /;|. ¥исло Vn(/; a, b) называется вариацией функ- i=О ции / no разбиению П, о число V ( f \ а, 6 ) = sup{Vn(/; а, Ь)}, «Эе точная верхняя грань бе- {п} рется по всем возможным разбиениям П сегмента [а, 6 ], называется полной вариацией функции / на сегменте [а, 6 ]. Если V( f ; а, Ь) < оо, то говорят, что / — функция ограниченной вариации. О п ред елен и е 2 . Пусть f : [а, Ь] —► Rm, П — произвольное разбиение сегмента [а, Ь], 312 Гл. 4. Определенный интеграл Afi = f(x,+i) - f ( x i ) , Cn (f; «, Ь) = E |ДЪ|, где евклидова норма в пространстве Число C (f; a, b) = sup{Vn(f; а, Ь)}, где. точная верхняя грань берется по всем возможным т разбиениям сегмента [а, Ь], называется полной вариацией вектор-функции f на сегменте [а, Ь]. Если V(f; а, Ь) < оо, то говорят, что вектор-функция f — функция ограниченной вариа ции. Теорем а 1. Пусть f : [а, Ь] —► Rm . Д л я того чтобы вектор-функция f была функцией ограниченной вариации на [а, 6], необходимо и достаточно, чтобы каждая ее компонента f j , j = 1, т , имела ограниченную вариацию на этом сегменте. Теорема 2. Если f : [а, 6] —+ R, g : [о, Ь] —*■ R — функции ограниченной вариации на [о, 6], то f + у и f g также функции ограутченной вариации на [а, Ь]. Следствие. Если функции f и g монотонно возрастают на [а, Ь], то f — у есть функция ограниченной вариации на [а/ 6] :• Теорема S. Пусть f : [а, Ь] —+ R”1 — вектор-функция ограниченной вариации. Тогда: 1) V ( f ; а, у) = V ( f ; а, х) + V ( f ; х, у ) , если а < х ^ у < Ь; 2) функция Vj : х V (i\ а, ж) непрерывна на [а, 6], если f £ С[а, Ь]. Теорем а 2- Пусть f : [а, 6] —+ R — функция ограниченной вариации на [а, 6]. Тогда существуют такие неубывающие функции р : [а, Ь] —► R , q : [а, Ь] — R, что р(а) = u Vx 6 [о, Ь] выполняются равенства f ( x ) - f ( a ) = p ( x ) - q ( x ) , (1) V { f \ a , x ) = p ( x ) + q ( x ) . (2) Функции р и у соответственно называют функциями положительной и отрицательной вариаций функции / . 1 0 8 . На примере функции / : [0, 2] —► R, где ,, . , ж s in * , если 0 < х ^ 2, }{х) = 0 , если х = 0, убедиться в том, что непрерывная на сегменте функция не обязательно имеет ограниченную вариацию. ◄ Функция / непрерывна в области определения. Пусть П = {О, —:2_ 1 , 2>12_ з , • • • > |> 1 1 2} — разбиение сегмента [0, 2]. Тогда полная вари ация Vn(f; 0, 2) = + . .. + (2 + | ) > 1 + i + i + . .. + ^ = С + ln п + е„, еп —* 0 при п — + оо, С — постоянная Эйлера. Следовательно, Vn(/; 0, 2) —► +оо при п —» оо и множество {Vn (/; 0, 2)} не ограничено сверху. ► 1 0 9 . Найти функции положительной, отрицательной и полной вариаций функции / : х I—► Зх2 — 2ж3, —2 < х < 2. •Ц Найдем сначала функцию х к-+ V( f ; —2, х), — 2 ^ х ^ 2 , приняв во внимание, что / € С( 1 )[ - 2 , 2 ]. Пусть П — произвольное разбиение сегмента [—2, х], —2 ^ х <С 2 . Тогда П —1 71—1 V n ( / ; - 2 , ж) = ^ | / ( x i+i ) - / ( x t-)| = ^ | / ' ( £ < ) | Д*,-, х , < £ < х , + 1 > = 0 г =0 (по формуле конечных приращений Лагранжа). Следовательно, Vn(/; —2, ж) = Л’п ( |/'|) , где 5 п ( |/,|) — некоторая интегральная сумма функции t н-+ |/'( t) |, —2 ^ t ^ ж, в силу чего получаем - / / ' ( < ) л = :- /(ж ) + 28, X ' \ V( f ; —2, х) — J d t = < ~ / f ' (t ) dt + f f ' ( t ) 28 если — 2 ^ x ^ 0, если 0 x f'(t) dt + / f'(t) d t - f f'(t) dt = 30 - /(ж), если 1 ^ ж |