Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 127. p = I , P = _ L
- §6. Приложение определенного интеграла 323
- Ws/W
- - т / Лф sin ф + cos4 ф ■ — • 2л/2 ж — я-\/2 а2. 133.
- + о о - f о о о о , + о о + о о
- $ 6 . П р и л о ж е н и е о п р е д е л е н н о г о и н т е г р а л а
|
2 + sin t J 2 + s i n t J tg2 C -f tg j + 1 V 3 a C S V у Д — ?r-f 0 2 tt 7Г Окончательно получаем, что P = та 2 ^ — 9^ . ► 1 2 4 . i = 21 - t2, y = 2t2 - f \ ◄ Кривая, ограничивающая плоскую фигуру, имеет точку самопересечения в начале ко ординат, поэтому в примере речь идет о вычислении площади, ограниченной петлей кривой. Так как х = у = 0 при 1 = 0 и 1 = 2, т о 0 ^ 1 ^ 2 . 322 Гл. 4. Определенный интеграл Применив формулу ( 6 ), п. 6.2, получим 2 1 Р 2 о 2 (Г - 4Г + 4Г ) = --------- Г + 2 V 5 И 15' Найти площади плоских фигур Ф, ограниченных кривыми, заданными в полярных коор динатах: Ю К V ж ж 1 Z & . р = ----------- , 4> = -т, ¥> = тг- 1 — cos р 4 2 ◄ Применив формулу (3), п. 6.2, получим 7Г 7Г P=P y J ( T - cos ^ = t / ( 1 + <У | М <* 8 | ) = = т (ctg I + 1 ctg 31 ) 11 = T ( V" + f +1)3 - + 3)- 126. p = 0 < £ < 1 (эллипс). 1 e cos p ' ◄ Согласно формуле ( 3 ) , п. 6.2, и решению примера 131, гл. 3, имеем 2п Ч / dp (\ + £COsp)2 2(1 — £2) ( “ е Г sm х + е cos х 2 ( 1 - е х \ 2ж Гас -Ь тгТ \ + ж г р "е‘6 Ы т п ,s г) + Ж г р h r ] ) 7Гр ( 1 - £ 2)1 . О < р ^ sm 2 127. p = I , P = _ L sm 99 ◄ Множество точек |(<р, />) 6 R 2 : 1 ^ р ^ 0 < р ^ f ^ не является плоской квадри руемой фигурой в обычном понимании, поэтому P d= lim Р(е), где £—+ о П ‘ Р{е)=У ( ^ - ^ ) ^ =HctS£-7 + J)=7 + 5(ctse-7)- Поскольку lim (ctge — - ) = lim e~ f ~ = lim —#- = 0 , то F = lim P ( e ) = - . ► 128. p = a cosp, p = a(cos^p -|- sin ^), J14 ^0, ^ € Ф. Ч Точки окружности {p = a cos h i ^ f } симметричны относительно полярной оси, а радиус этой окружности равен Из неравенства a cos р sin р < a(cos ^ -f sin <р) sin р , спра ведливого при 0 < р < ^ , следует, что полуокружность {р = a cos р, 0 «С <р si ^-} целиком при надлежит той части круга, ограниченного окружностью {р = a (cos <р + sin p), — ^ ^ p sj , которая лежит над полярной осью, поэтому точка М , лежащая на полярной оси и принадле жащая по условию фигуре Ф, не может принадлежать множеству точек Следовательно, фигура Ф является объединением полукруга {р ^ a cos <р, 0 ^ <р ^ }, пло щадь которого Z j - , и части Фг, круга {р sC a (cos р -)- sin <р), —j ^ <р 2£.}, лежаВДей под полярной осью, площадь которой Р ф , вычисляется по формуле \ 0 0 о г> п 2 [ , . . ,2 . а 2 [ „ . , а 2 / cos 2 с? \ а2 /тг 1 \ Р ф 1 = — / (cos 95 + sin<р) d ^ ------ п = ~ 2 J ' §6. Приложение определенного интеграла 323 Таким образом, Р = + лр ( J - | ) = ^j-(ir - 1). ► 1 2 9 . Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лепестком кривой {<р = sin жр, 0 р ^ 1 }. ◄ При возрастании р от 0 до 1 угол ip возрастает от 0 до 1, а при возрастании р от - до 1 угол <р убывает от 1 до '0 (рис. 65), поэтому выражение 1 о 1 \ J P2{v>)dV> + ^ J p2( J p? 0 1 0 определяет искомую площадь, взятую со знаком так как первое слагаемое в левой части написанного равенства равно площади сег мента От В, а второе слагаемое равно площади сектора ОАВ, взятой со знаком “ — Следовательно, В 1 Ф - 1 Р - I / 2 , 7Г / о Sill 7Г О р cos кр dp = - - \ р / I 7Г psin 7 Г р dp = 1 1 cos я pdp = --- 1 - —г sin жр = - . ► о я- 1 3 0 . Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой < 1 V : 7 = { {i p , p ) e R 2 : p = ^ , p = ^ - t } . ◄ Из условия р ^ 0 следует, что t ^ 0 . Поскольку р = 0 при i = 0 и р —<■ 0 при t —> +оо, то 0 < t < +оо. (Следовательно, + о о + о о ’=i J p2(t)p' (t )dt = 2жa2 J Г dt (1 + t 2)2(l 4 t)^ ' Интегрируя с помощью метода Остроградского, получим Р = 2жа2 ( - - j a r c t g * + оо =2™2 ( Н Ь ” a (l _ i)' 4(l + i2)(l + t) 4 1 3 1 . Найти площадь фигуры, ограниченной петлей листа Декарта х 3 + у3 = 3 аху. < Параметризуем лист Декарта, полагая у = tx. Тогда параметрические уравнения петли листа Декарта примут вид 3 at ~ I A t 3 ’ У 1 + (3 ’ Для вычисления площади воспользуемся формулой ( 6 ), п. 6.2, приняв во внимание, что (х Ws/'W - y(t)x 'W ) М = *2 W j = £зу 3 at2 0 ^ t < +оо. • dt. 324 Гл. 4. Определенный интеграл Следовательно, Р 9а2 Т + о о / t2 dt (1 + f3)2 О + о о За2 f 3 2 2 1 |° _ 3 2 1 1 + f 3 1 + 00 ~ 2 а ► 132. Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой, заданной уравнени ем х* + у* = а2(х2 + у2). ◄ Перейдем к полярным координатам по формулам х = р cos ф, у = р sin ф. Поскольку кривая симметрична относительно осей координат, то 0 ^ ф < 2я\ Уравнение кривой, ограничивающей плоскую фигуру, принимает вид р2 — ,1п 4 'у“ С08«у - Применяя формулы (3), п. 6.2, и принимая во внимание решение примера 23, получаем гтг - т / Лф sin ф + cos4 ф ■ — • 2л/2 ж — я-\/2 а2. 133. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением х* + у4 = ах2 у. М Параметризуем кривую, полагая у = tx. Тогда х = “ l + f 4 ’ У = а е 1 + f4 ’ У > 0. Переменные х и у обращаются в нуль при f = 0 и стремятся к нулю при f —* оо, а множество точек кривой 7 = |(® , 3/)€ R 2 = y = < € к | симметрично относительно оси Оу. Следовательно, плоская фигура ограничена двумя симме тричными относительно оси Оу петлями, лежащими в верхней полуплоскости плоскости хОу, и поэтому искомая площадь равна удвоенной площади фигуры, ограниченной одной петлей: + СО + о о + о о р = J W % 'W - »(<)*'(*))dt= J *2(0 d ( f | § ) = “2 / (h%)2' о о о С помощью подстановки у = ^ легко убедиться в справедливости равенства +оо + оо / ТЩ - = [ dy, п > 1 , m z o , J ( i +г/4)” J 0 + у *) п О О ( 1) в силу которого имеем + о о - f о о о о , + о о + о о _ [ t2 dt Г Р dt 1 Г ( 1 \ _ t 1 f dt _ 1 f dt ' I ( 1 + f 4)2 ~ J (1 -И 4)2 ~ ~ 4 j t d \ l + t*) ~ _ 4(1 + f4) 0 + 4 J 1 + f 4 ~ i j 1 + f4 + oo + QO Поскольку j f -— j — J f 7 T 7 T (согласно равенству (1)), то I 1 8 + CO / i i i - dt = i f ( f ) 1 + f4 8 v ' + OO 0 325 где F(t) — - д arctg sgn t при t ф 0 и F(0) = 0 (см. пример 20, гл. 3). Окончательно получаем $ 6 . П р и л о ж е н и е о п р е д е л е н н о г о и н т е г р а л а I = Р = па 8 л / 2 ’ ^ Т у /Т. * Прежде чем решать примеры на вычисление объемов тел с помощью формул (1) и (2), п. 6.3, рассмотрим два примера на доказательство. При этом получим полезные формулы Для вычисления объемов тел. 134. Доказать, что объем V тела Т , образованного вращением вокруг оси Оу криволи нейной трапеции Ф = ( ( 1 , 9 ) € К 2 : а < г < 5 , 0 < » < / ( * ) } , где / : [а, Ь] —» R — непрерывная на сегменте функция, равен ь V = 2п J x f ( x ) d x . М Пусть П = {го = а, XI, ... , х„ = Ъ} — произвольное разбиение сегмента [а, Ь]. На ка ждом сегменте [г,, Zi+i], > = 0, п — 1, рассмотрим два прямоугольника, в основании каждого из которых лежит сегмент [ж;, sc.+i], а боковые стороны равны т,- и Mi, где mi = min {/(х)}, Mi = max {/(*)}• Объединения всех однотипных прямоугольников образуют две ступенчатые фигуры, одна из которых вписана в фигуру Ф, а другая описана вокруг нее. При вращении этих ступенча тых фигур вокруг оси Оу получим два кубируемых тела Tj и Тг, составленные из кольцевых цилиндров. Объемы тел Ti и Тг соответственно равны VTl = ^ 1 гт<(г-+1 - х j ) = 2птщ* ' + * — д x it VT3 = У "]2n M i *' +^ ' +1 А д . ,=0 (=0 •=<* Рассмотрим функцию <р : х 2n x f ( x ) , а ^ х ^ 6. Так как <р € Л [в, Ц, то Ve > О _ _ n—1 "-1 ЗП : Sn( - Sn(y) < §, где Sn ( 2nM,x,+i Ах , , Sn( - i=0 *=0 Из очевидных равенств п—1 п-1 П-1 V t , = жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|