Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

Доказать, что: а) если Q — кольцо, то f ~ l (Q) — также кольцо; б) если Р  — кольцо^ то 
f ( P)  не обязательно является кольцом.
4  а) Поскольку Q кольцо, то из В\ £ Q, В
2
€ Q следует {В\ U В2) G Q, ( B i \ B 2) *£Q. 
Тогда, согласно предыдущему примеру,
Г \ В г )  U /- * ( В 2) = Г \ В ,  и В2) £ /-*(Г
1
= / "
1
(В
1
\В 2) € Г \ Я ) ,
т. е. f ~ l (Q) — кольцо.
б) Пусть Е  = {а, Ъ, с, d), F = {а1, Ь', d'}, f ( a )  = а', f(b) — f ( c )  = ft', /( d ) = d'. Семейство
P = {{a, b, c, d}, {а, 
6
}, {c, d), 
0
}
является кольцом, однако /({a, b } ) \f( { c , d}) = {в', 
6
'} \ {
6
', d'} = {а'} g f ( P)  = {{«', Ь»', d'}, 
{о*, ft'}, {
6
', с'}, 
0
}, т. е. /(/*) не является кольцом. ►
1 8 . Какая из указанных функций / : [0, 1] —* [
0
, 3]:
а) х I—
►
3sin 
б) 
1 1
—
►
tg^p; 
в) х I-* 3*;
г) х 
12
(х - j
) 2
; 
д) х 
3 -
y
 (х -  j
-)2
; 
е) * *-♦ 
2
|х +
2
| - 3
инъективна, сюръективна или биективна? Построить графики этих функций.
■4 а) Так как для произвольного у £ [0, 3] уравнение у = 3sin ” имеет единственное 
решение х = ^ a r c s in |, принадлежащее сегменту [
0
, 
1
], то функция х ь-> 3sin 
является 
биективной (рис. 
11
).
б) Пусть у £ [0, 
1
]. Тогда уравнение
У = tg —
(1)
имеет единственное решение х = ^ arctg у, принадлежащее сегменту [
0
, 
1
], если у £i{
0
, 
1
]. 
Если же у б]1, 3], то уравнение (
1
) не имеет решений, принадлежащих [
0
, 1]. Следовательно, 
уравнение (
1
) для любого у £ [
0
, 3] имеет не более одного решения х £ [
0
, 
1
), а поэтому 
функция х 
tg 
инъективна (рис. 12).
§ 2. Функция. Отображение 
17
в) Если у € [0, 3], то уравнение у = 3* имеет не более одного решения х € [0, 1]. Именно, 
при у € [
1
, 3] решением является х = logЗу, а при 
у 
€ [0, 1[ — решений нет. Следовательно, 
г и З * — инъекция (рис. 13).
г) Из уравнения у = 12 (х -
\ ) 2
, у £ [
0
, 3], находим хх = | -
х
2
= 1 +
причем, если 
0
<
у 
^
3, то оба к|эрня нринадле^<дт^]
0
_, 
1]
, если у 
=
0
, 
то 
корни 
совпадаю т 
Л = i
2
= j и принадлежат [
0
, 
1
]г Сяе^ватедьдо, V у £ [О, 3J уравнени! у 
и 
1 1
( 
ili
i ) 2l 
[О, 
1
] имеет хотя бы одно решение. ^Поэтому рассматриваемая функцйя сМ?||£НЧ,Р
д)
Пусть 
у 
€ 
[
0
, 3]. Уравнение:.у 
— 
3 
^
^ { x l—
1
) 
2
имеет решение xx =:^i — i
у ^ 3, принадлеж ащ ее 
[о, 
у ], и р е ш е н и е
х2
= у + у V9 ~ З у , 0 
^ 
у 
^ 
пр)
[у, l ] . Таким образом, V у £ [
0
, $] существует один или два прообраза, а поэтом; 
сюръективна (рис. 15). 
' ' ' 
' 
'Г /*Т У Т »
;дерсащее

18
Гл. 1. Введение в анализ
е) 
Пусть у е  [О, 3]. Тогда уравнение у =
2
|х +
2
| — 3 при у € [1, 3] имеет единственное ре­
шение * =
если у € [
0
, 
1
[, то это уравнение не имеет решений, принадлежащих сегменту 
[О, 
1
]. Следовательно, х i-+ 
2
\х +
2
| — 3 — инъекция (рис. 16). ►
19.
Дана функция /( х )
= 
tg x , 
^
найти обратную ей.
4 Покажем, что данная функция является биекцией / :]^р , 
►
К- С этой целью
обозначим х =
2
я- + г, —| < г < j .  Тогда V у е  К уравнение у = tg х принимает вид 
у
 
г= tg r , г  € ] _ f> §[- Отсюда г = arctgу и, пользуясь тем, что х = 2ir + г, находим 
х =
2
я + arctg у; причем если у е  R, то х € ] 
^ [, т. е. биективность функции установлена.
А поскольку каждому у € К соответствует единственное значение х € ] 
y
>
~  [, то обратную 
функцию / - I : R —►
 ] 
y
’, —■ [ определяет соответствие у i—►
2
тг 
arctg х, х е ] 
^ [. ►
20
.
Написать явные выражения функций, заданных параметрически:
а) х = a cost, у = а sin t, 
0
^ t sj ж; 
б) х = а cost, у = а sin t, jr ^ t ^
2
л (а > 
0
).
4 а) Поскольку функция t »-+ a cost, t € [
0
, jr], является биекцией [0, 
jt
] —♦ [—а, а], то V х 
6 
[—в, в] из равенства х = a cos t находим единственное значение t = arccos | , принадлежащее 
Сегменту [0, »]. Подставив это значение во второе равенство, получим
; a sin ^arccos —^ = a y j  
1
— cos
2
^arccos — ^ = a y l
—
^ ,
T. e. у = Va
2
— 
t
2, x € [—а, a].
б) 
Обозначим ж + г = t. Тогда, если 
г
€ [0, »], то 
t 
€ 
[
jt
, 
2ж], при этом первое равенство 
Приводится к виду х = —a
cost
.
Функция г *— —a
cost
является биекцией [
0
, jr] —►
[—a, а], поэтому V х е  [—a, а] находим 
г =а arccos ( —^) = ж — arccos^ и t = 
2
ж — arccos ^ . Подставив найденное значение t во второе 
равенство, получим
у = — \ / а
2
— х2, х 
6
[-а , о]. ►
2 1
. Написать явное выражение для функции / : 
—-J —*■
[4я-, 5я-], заданной неявно,
Посредством равенства
sin х — cos у = О,
* €
Зя- 5я-
Т ’ Т
у € [4я-, 5я’].
(
1
)
4 Для любого фиксированного х е [ ^ ,
имеем sin х = у, q е [-1 , 1]. Поэтому (
1
) 
равносильно уравнению cos у = у, которое на сегменте [4я, 5я] имеет единственное решение. 
Этим доказано существование функции
/ :
Зя 5я
Т ’ т
[4я, 5я].
Для записи аналогичного выражения функции / преобразуем равенство (1) к виду
sin х — sin ^ — у^ =
0
.
Отсюда
2
sin
х - - + у
cos ■
X + ж - У
= 
0
.
2 
—
2
Приравняв к нулю каждый множитель, находим два значения у:
У = х — — + 2»я, 
n e Z , 
(2)
У = — х + ^ +
2
«я-, 
п е г .  
• 
(3)
В случае (
2
) из условия х е  [ ^ , у-] следует у е  [(
2
я + \)ж, (
2
« +
2
)ж] и не принадлежит 
[4», 5
jt
] V 
ii
е г , т. е. у = х — ^ + 2пя не является значением функции / ни при каком п е г .

19
В случае (3) из условия ж € 
следует у € [(2» - 2)л, (2« - 1)тг] С [4л, 5л] при « = 3.
При этом значении п из (3) находим явное выражение функции /
§ 2. Функция. Отображение
У — —х +
13л 
2
’
5л
Т
. 
►
Упражнения для самостоятельной работы
19. Пусть отображение / : К —►
[—
1
, 
1
] задано равенством f ( x)  = cos ж.
Найти: а) /(0); б) / ( f ) ; в) / ( f ) ; г) / ( f ) ; Д) / ( [ - § , § ]) ; e ) / ( ] - f , f [ ) ;
* ) / ( [ » - I D : з) /( [
0
, 
2
»]); и) / _
1
(
0
); * ) / - ( ! ) ; л) Г
1
( # ) ; м) Г
1
( # ) ;
н) / —
Х([ 1> 0]); 
о) 
Г 1 ([о, # ] ) ;
п) 
/ - 1
( [ - # , # ] ) •
20.
Для отображения 
/ : [о, f J —
. R, 
заданного равенствами
({^ ’ 1)Л/5})-
а) -/(ж) = tg ж; 
б) / ( i ) = c tg i,
найти: / ( [ 0 , f ] ) , / (
[о, 
f ] ) , / ( [ f , f ]), / " ‘QO, 1]), /" * ([;)=, V ^ ]),
21. Доказать, что если / : Е -*■ F, А 
С 
Е, В 
С 
£ , то:
а) Д Л П В) 
С 
(Д Л ) П f ( B) ) ;  б) (Д Л )\Д В )) С Д Л \В ).
22. Пусть f : Е 
F, А С F, В С F. Доказать, что если Л С В, то / -
1
(Л) С / Х(В).
23. Доказать, что если / : Е -> В и Л С Е, В С F, то:
а) А С / _
1
(/(>1)); 
б) / ( / " ‘(В)) = В; 
в) /(Л ) П В = /(Л П / - Х(В));
г) (/(Л ) П 5 =
0
) ^ (Л П / " ‘(В) =
0
); 
д) (Д Л ) С В) * (Л С / -
1
(Я)).
2 4 . К акая из ф ункций / : [—1, 1] —*• [0, 1]:
а) ж ►
-+ cos 
; 
б) * i-> — х 2 +
1
; 
в) х >-*' |ж|;
г) 
х
 ►- 
д) ^
 
^ 5
 
е) х н- 2Х~ ‘
инъективна, сюръективна или биективна? Построить графики.
25. Найти биективное сужение функций:
а) Дж) = ж2, ж € К ;
б) f(x ) — sin х, х € М; 
в) f( x ) = cosх, х G М; 
i
г) /( * ) = sin f , х > 
0
; 
д) Дж) =
10
*, х € К; 
е) f( x ) = х3 + х +
1
, ж € К-
26. Найти функции, обратные данным:
а) /(ж) = sill ж, г б [ - у , - х ] : 
б) /(ж) = sin ж, х € [ § , чр] ;
в) Дж) = совж, ж € [2x,3л]; 
г) Дж) = cos ж, ж € [-7 х , — 
6
х];
д) f ( x ) = tg x , ж б ] + § , ^р[;
е) Дж) = ctgж, ж ё ] - ж ,
0
[.
27. Найти явное выражение для функций, заданных параметрически:
а) I =
» = T ^ > ° ^ < < + ° о ; б) ж = ^ ,
- o o < t ^ 0 (а > 0).
28. Найти явное выражение для функции / : [х, 
2
ж] —►
[ ^ , 
], заданной неявно
cos ж + sin у =
0
, ж € [л, 
2
х], у € [ ^ ,
.
29. Найти явное выражение для функции / : [я-, 2л] —*■ [ f , т р ], заданной неявно 
cos ж + sin у =
0
, 
ж € [л, 
2
л], 
У € [ f , 
.

20
§ 3. Действительные числа
3.1. Бинарные отношения и бинарные операции.
О п ред елен и е 1. Бинарным отношением в множестве Е называется всякое под мно­
жество В из произведения Е х Е.
О п ред елен и е 2. Бинарное отношение Я называется отношением эквивалентности 
в множестве Е, если подмножество Я:
а) рефлексивно: (а, а) € Я  Va € Е\
б) симметрично: ((а, ft) € 71) => ((b, а) € 71);
в) транзитивно: ((а, Ь) € 71 А (Ь, с) € Я) =>■ ((а, с) € Я).
Вместо (а, ft) € 'Я часто пишут а ~ ft или а = Ъ.
О п ред елен и е 3. Бинарное отношение П называется отношением порядка в множе­
стве Е, если оно:
а) рефлексивно: (a, а) £!1 Va € Е\
б) транзитивно: ((a, ft) € П Л (ft, с) € П) =>■ ((а, с) € П);
в) антисимметрично: ((a, ft) £ П Л (ft, а) € fi) 
(а = ft).
При этом говорят, что отношение П упорядочивает 7J. Вместо (a, ft) € П часто пишут 
а ^ ft, или о С Ь.
Если Va, b £ Е всегда (a, Ь) € П или (Ь, а) € П, то говорят, что множество Е вполне 
упорядочено.
О п ред елен и е 4. Внутренней бинарной операцией на множестве Е называется ото­
бражение f : Е х Е —►
Е.
Пусть заданы два множества Е и F.
О п ред елен и е 5. Внешней бинарной операцией на множестве Е называется отобра­
жение / : Е  х F —> Е.
О п ред елен и е 
6
. Множество Е, обладающее внутренней бинарной операцией Т , назы­
вается группой, если:
1
) операция ассоциативна: (a Т ft) Т с = a Т (ft Т с) Va, ft, с € Е\
2) имеется нейтральный элемент: Эе € Е такое, что Va € Е справедливо равенство 
о Т е = е Т а = а;
3) всякий элемент,имеет симметричный: Va 
6
Е 3 а £ Е такое, что а Т а = а Т а = е .
Если, кроме того,
4) операция Т коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой.
Если операция Т есть сложение, то группа называется аддитивной, если Т есть умноже­
ние, то группа называется мультипликативной.
3.2. Аксиомы поля действительных чисел.
О п ред елен и е 1. Множество R = {a, Ь, с, . . . } называется полем дейст вит ельны х 
(или вещественных) чисел, если для его элементов установлены бинарные отношения и 
бинарные операции, подчиненные перечисленным ниже аксиомам.
А кси ом ы сл о ж е н и я
С.О. В множестве R определена внутренняя бинарная операция — сложение
R x R - * l l : ( a , f t ) H a + ft,
которая каждой паре элементов a, Ь £ R однозначно ставит в соответствие некоторый элемент 
множества R, называемый их суммой и обозначаемый символом a + ft. При этом выполняются 
следующие аксиомы:
С.1. (a + ft) + с = a -f (ft + с) (ассоциативный закон).
С.2. В R существует элемент, называемый нулем и обозначаемый символом 0, такой, что 
Va € R
a -f 
0
= a.
С.З. Va € R существует такое число ( —a) € R, что выполняется равенство
a + (—a) =
0
.
С.4. Va, 
6
е R
a +
6
=
6
+ a.
Таким образом, множество R является аддитивной абелевой группой.

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: