§ 2. Функция. Отображение

14
Гл. 1. Введение в анализ
2.2. Образ и прообраз множества при заданном отображении.
Пусть задано отображение f : Е —> F и множество D С Е.
О п ред елен и е 1. Множество элементов из F, каждый из которых является образом 
хотя бы одного элемента из D при отображении f , называется образом множества D и 
обозначается f ( D) .
Очевидно,
f ( D) = { f ( x ) € F : x € D } .
Пусть теперь задано множество Y  С F .
О п ред елен и е 2. Множество элементов х 
6
Е таких, что f ( x)  € У, называется 
прообразом множества Y при отображении f и обозначается / -
1
{У).
Ясно, что
/ - ‘0 0 = { * € £ : / ( * ) € У}.
Если 
у 
€ F, то / _
1
(у) = {х 
6
Е : 
/ ( х )
=
у }
. Если при каждом 
у
€ F множество / -
1
(у) состоит 
не более чем из одного элемента х € Е, то / называется взаимно однозначным отображением 
Е в F. Впрочем, можно определить взаимно однозначное отображение / множества Е на F.
О п ред елен и е 3. Отображение / : Е —> F называется:
инъективным (или инъекцией, или взаимно однозначным отображением множества 
Е в F), если (х ф х') =>■ (f (x) ф f (x' )) или если Vy 
6
F уравнение /(х ) = у имеет не более 
одного решения;
сюръективным (или сюръекцией, или отображением множества Е на F), если 
f ( E) = F или если Vy 
6
F уравнение /(а:) = у имеет, по крайней мере, одно решение;
биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением множества Е 
на F ), если оно инъективно и сюръективно или если Vy 
6
F уравнение /( х ) = у имеет одно 
и только одно решение.
2.3. Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое и неявное 
отображения.
О п ред елен и е 1. Пусть f : Е —* F , a g : F —* G . Поскольку f ( E)  С F , то отображение 
g каждому элементу /(х ) € f ( E ) С F относит определенный элемент g(f (x)) 
6
G.
Таким образом, каждому х G Е посредством правила у о / поставлен в соответствие эле­
мент (у о f ) ( x)  = у(/(х)), у(/(х)) € G. Тем самым определено новое отображение (или новая 
функция), которое назовем композицией отображений, или суперпозицией отображений, или 
сложным отображением.
О п ред елен и е 2. Пусть f : Е —*■
F — биективное отображение и F = {у}. В силу 
биективности f каждому у £ F соответствует единственный образ х , который обозначим 
через / _
1
(у), и такой, что f ( x)  = у. Таким образом, определено отображение 
/ -1
: F —►
Е , 
которое называется обратным отображению / , или обратной функцией функции f .
Очевидно, отображение / обратное отображению / _1. Поэтому отображения / и 
/ _1 
называют взаимно обратными. Для них справедливы соотношения
/ ( / -
1
(У)) = У Vy € Е; /■ * (/(* )) = * V z e £ .
.
О п ред елен и е 3. Пусть ip : П —►
X , ф : Q —* Y , причем хотя бы одно из этих отобра­
жений, например <р, биективно. Тогда существует обратное отображение <р
-1
: X —►
П, а 
значит, ф о p ~ l : X —►
Y .
Определенное таким образом отображение называется заданным параметрически с помо- 
щью-отображений 
: 
0
—> X, ф : Q —►У, причем переменное из U называется параметром.
О п ред елен и е 4. Пусть на множестве G = X  х У определено отображение Т : G —* Д , 
г/Зе множество Д содержит нулевой элемент. Предположим, что существуют множества 
Е  С X , В  С У такие, что при каждом фиксированном х € Е уравнение Т (х , у) = 0 име­
ет единственное решение у € В. Тогда на множестве Е можно определить отображение 
/ : Е —>
■
В , ставящее каждому х € Е в соответствие то значение у £ В , которое при 
указанном х является решением уравнения Т {х, у) =
0
.
Относительно так определенного отображения у = f ( x) , х g Е, у € В, говорят, что оно 
задано неявно посредством уравнения Е (х, у) =
0
.
О п ред елен и е 5. Отображение f : Е —►
F называется продолжением отображения 
у : D —> F , а д  — сужением отображения f , если Е  О D и f ( x )  = у(х) Vx € D.
Сужение отображения / : Е —►
F на множество D С Е  иногда обозначают символом / |о -

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: