точек, расположенных выше ее графика, является выпуклым, т. е. если две точки на плоско
сти расположены выше графика функции, то и все точки отрезка, соединяющего их, также
расположены выше. Такие функции называются выпуклыми. Если функция / определена на
числовой прямой R и является выпуклой, то V(xi € R, хг €
R)
выполняется неравенство
(3)
Это неравенство очевидно: его левая часть есть ордината точки графика с абсциссой *'
,
а правая Часть — ордината точки отрезка с той же абсциссой, расположенного выше графика
(рис. 21). Выпуклые функции будут подробно изучены в § 5, гл. 7.
Применив неравенство (3) к выпуклым функциям х
|х|, i н х+ , i н t ' , получим
важные оценки
1* + у | < И + Ы. (я + у)+ < *+ + У +, (* + у)” <
+ У ~ , (4)
справедливые V(x €
R>
у €
R).
Из всех перечисленных характеристик действительного числа наиболее важной является
его модуль. Под основными свойствами модуля числа понимают следующие:
1) Vx € М (|х| =
0
) => (х =
0
);
2) V( A€R,
x
6
R) |А
х
| = |А||
х
|;
3) V(x € R, у е R)
|х + у| < |х| + |у|. .. Последнее неравенство называется неравенством треугольника,поскольку оно имеет гео
метрический смысл в слунае, когда х € С, у € С (см. $ 4).
$ 3. Действительные числа 23 3.5. Метод математической индукции. Пусть запись А(к)означает, что высказывание А истинно при указанном к € N. Суть
метода математической индукции в следующем:
(Л(1) Л (A(k) => А( к +
1
) Vfc
6
N)) =+ (Л(п) V»
6 N).
