Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
§ 2. Функция. Отображение
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- (I0- Ш с ( и [“ ■ (2‘ + г)]
- " ( К ID ■ ( u [“ ■ (2‘ + г ) * ]) u ( и [(a + 1)
| § 2. Функция. Отображение
15 О п ред елен и е 6 . Графиком отображения / : Е —► F называется множество а = {(х, /(* )) : X € Е, f {x) е F}. Ясно, что G С Е у . F . 1 4 . Пусть отображение / : R —► [— 1 , 1 ] задано равенством f [x) = sin х. Найти а) /(0 ); б ) / ( £ ) ; в) / ( J ) ; г) / ( f ) ; Д ) / ( [ " f f ] ) j e ) / ( H ’ f [ ) ; ж) f ( t0, ? ) 5 з) ^ ° ’ 2я^ ; и) к) f~' ( | ) ; л) f l { j y ) ; м) ^_1 ( " т ) ’ н) / ' ‘ ( [ - I , 1]); о) / - ‘ ( ] - 1 , 1[); п) / - ( [ О , I ] ) . ^ Пользуясь таблицей тригонометрических функций, находим: а) / ( 0 ) = sin 0 = 0 ; б) / ( f ) = sin f в) / ( f ) = « n f = r ) / ( f ) = s i n f = д) Имеем / ( —f ) = —1, / ( f ) = 1> причем, если аргумент синуса пробегает значения от —j до f , то значения синуса изменяются от —1 до + 1 . Следовательно, / ( [ - ! • Я ) ■= (sin x : — f ^ х j } = [— 1 , 1]. Аналогично находим: е) /( Ы > f[) = {sinx:xe]-§, § [} = ]-!, 1[; ж) f ([°- f]) = {sinj: : * е [°> ?] } = [°> |] 5 з) / ( [ 0 , 2 ir]) = {sinx : х € [ 0 , 2 jt ]} = [ - 1 , 1 ]. и) Поскольку sin х = 0 , если х = кж, к € Z, то / - 1 ( 0 ) = {х : sin х = 0 }. к) Если sinx = j , то х = (—l)"arcsin j + пж = (—1)” | + пж, ti € Z. Поэтому / -1 ( f ) — ( - l ) " f +НЯ-, п е Z. Аналогично предыдущему находим: л) / -1 = {х : sinx = = ( - l ) n f + пж, n 6 Z; м) / -1 = { * ’: sin х = + пж, п 6 Z. н) Согласно определению 2 , п. 2.2, / ~ ‘ ( [ - ! . 1 ]) = { х : f i x ) = sin х в [ - 1 , 1 ]}. Покажем, ч т о / _1 ([— 1 , 1 ]) = К. В самом деле, пусть х е / - 1 ([— 1 , 1]) и а = sin х, тогда /(х ) = о, о € [—1, 1], а поэтому х — ((—1)" arcsin а + пж), х € К, и, следовательно, / -1 ([— 1 , 1 ]) С К. Если х € R, то sinx € [-1 , 1] и х G / -1 ([—1, 1]), т. е. R С / - 1 ([—1, 1]). Таким образом, / -1([ - 1 , 1 ])= к. о) Из равенств sinx = ±1 находим множество А = [х : х = f + пж, п € Z} значений х, которые не принадлежат / -1 (] — 1, 1[). Поэтому, в силу предыдущего пункта, / -1 Q — 1, 1[) = Ш\А. п) Имеем / -1 ([о, |]) = {х : sinx € [о, i] }. Пусть х € / -1 ([о, 1]) и а = sinx, тогда « 6 [О, j] и х = (—l)"arcsin х + пж, п 6 Z. Пусть п = 2к — фиксировано, тогда х = arcsin л + 2кж, причем при изменении л of 0 до j переменное х изменяется от 2 кж до ( 2 fc + 1 ) ж, т. е. х € ^ 2 кж, ( 2 к + g-) я-]. Пусть п = 2fc + l — фиксировано, тогда х = —arcsin о + ( 2 fc + 1)я-, и если п изменяется от 0 до j , то переменное х изменяется от ( 21 : + 1 )тг до ( 2 к + | ) ж, т. е. х € [( 21 : + | ) ж, ( 2 к + 1 )я-] Таким образом, (I0- Ш с ( и [“ '■ (2‘ + г)'] \кеж U U [ ( 2fc+ 0 (2Л + 1)х]]. Меж ) 16 Гл. 1 . Введение в анализ Справедливо и обратное включение, поскольку пои т с Fo l / , . , г, ' . , , I . и ’ * Р * 6 I2*», ( 2 fe + i ) я- или г € ( 2 fc + iW , (2ib + l)xj значение sin x (E [0, j J . Поэтому v 6' J lv- 6' " ( К ID ■ ( u [“ '■ (2‘ + г ) * ]) u ( и [(a + 1) + 1 )я- ( 1 ) 1 5 . Доказать, что если f : Е —> F и Л С £ Я г г , * л/, то справедливо равенство / ( Л и В ) = / ( д ) и д й | ^ Согласно определению 1 , п. 2.2, имеем f ( A U В) = {/(х) : х £ A U В}. Пусть f ( x ) € /(Л U В), тогда х € (Л U В), т. е. х € Л V г с д и ^ . .. ^ и / ( . ) 6 / Ц ) V / ( . ) 6 /(В ) » /(« ) € (/(Л ) и /< й » . э „ „ /(Л и В) с (/(Л ) U /(В )). ( 2 ) . € < а д ? / й £Л '( л ” “ ,/(; ) е Я А ) v « * > * '< * > . « ■ » » ■ « « « » . - . ( /( л ) и /(В )) с / ( л U В). ( 3 ) Из (2) и (3) непосредственно следует (1). ► 1 6 . Доказать, что если f : Е —> F и А с F В г F _ v г - 1 / л ^ г>\ , - 1 / .ч 1 г- l , г»\ „ЬИ ^ ^ > То справедливы равенства: а ) / (Л П В) = / (Л) П / ‘(В); б) / ‘( Л ^ а / ^ ш Н ш . B i r ^ U B j a f ' ^ u r ' t B ) . V 1 ’ ’ с f - i) 1 5 yA CTbcI т - С ! А П В ) ’ ТОГДа /(Г ) 6 У П, В )- т- е‘ /(* ) е Л Л / ( . ) € в . Но тогда I € / (Л) Л г € / (В), а следовательно, г € ( / " ‘(Л) П / - 1 (В)). Таким образом, доказано включение Г ' ( л п в ) с ( Г 1 ( а ) п г 1 (в)). Для доказательства обратного включения предположим, что * е П f _1fBH гда J - f / L m 6 /_1(В ); отсюда / ( г ) е Л л /(* ) € В, а поэтому Д х ) € (Л П 1 х € / (Л П В ) . (Следовательно, То- В) и ( / - 1 ( Л ) П Г , ( В ) ) С / - 1 ( ЛПВ) . Из доказанных включений следует равенство а). бХх 1 К <;ТЬ * ТОГда 6 т- е- /(* ) € Л Л Д х ) £ В. Но тогда * € / (Л) Л г 0 / (В), а следовательно, х € ( / “ 1 ( . 4 ) \ / ~ 1 ( В )) . Таким образом, f ~ 4 A \ B ) С ( / - 1 ( Л ) \ / - 1 (В)). Т° - Х1 € А * ^ / ” Х(В). Отсюда Д х ) е Л л' /(* ) £ В, т. е. /(£■] € (Л \о ). Но тогда х € / (Л \В ), что доказывает справедливость включения ( Г ‘( А ) \ Г ‘( В ) ) С Г 1 (А\В), обратного доказанному выше. Из этих включении следует равенство б). ^ f \(А и то / ( г ) € (Л U В). Отсюда / ( г ) € Л V Д х) € В, а тогда х € f (А ) V ж € / (В), т. е. х € ( / *(Л) U / _ 1 (В)). Таким образом, / - 1 ( Л и В ) с ( / - 1 ( л ) и / " 1 (В)). Если же предположить, что х € ( / _1(л ) и / ~ ‘(5 ))> то х € / _ 1 (Л) V х € / _1(5 ) и /(х ) € Л V Д х) £ В или /(х ) € (Л U В), откуда х € / -1 (Л U В). Следовательно, ( / - ‘(Л) и / - ‘(В)) с / - ‘(Л U В), что вместе с обратным включением равносильно в). ► жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|